高三理科数学一轮单元卷：第十三单元 不等式 B卷

一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ）
第十三单元 不等式
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如果b a >，则下列各式正确的是（ ） A ．x b x a lg lg > B ．2
2bx ax >
C ．2
2b a >
D ．x
x b a 22⋅>⋅
2．若
11
0a b
<<，则下列不等式中，正确的不等式有（ ） ①a b ab +<；②22a b >；③a b <；④2b a a b +>；⑤33a b >；⑥1b
a
<； A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．若函数()f x =[1,2]，则a b +的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．1-
D ．2-
4．已知0a >，0b >，a ，b 的等差中项是12，设1x a a
=+，1
y b b =+，则x y +的最小值是（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
5．在R 上定义运算⊗：2x
x y y
⊗=
-，若关于x 的不等式()()10x a x a -⊗+-≥的解集是集合}{22x x -<≤的子集，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．21a -<<
B ．21a -≤<
C ．21a -<≤
D ．21a -≤≤
6．以原点为圆心的圆全部都在平面区域360
20x y x y -+≥⎧⎨-+≥⎩
内，则圆的面积最大值为（ ）
A ．
18π
5
B ．
9π5
C ．2π
D ．π
7．已知函数2log 0()3
0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则满足1
()3f x >的x 的取值范围（ ）
A
．)+∞ B ．(,1)-∞- C ．3(1,0](2,)-+∞ D ．(1,)-+∞
8．已知平面直角坐标系xoy 上的区域D
由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪
≤⎨⎪
≤⎩给定，若(,)M x y 为D
上动点，
点A 的坐标为，则z OM OA =⋅的最大值为（
） A
．B ．
C ．4
D ．3
9．若2()f x x -=，2m f a b ⎛⎫=
⎪+⎝⎭，n f =，2a b r f ab +⎛⎫
= ⎪⎝⎭，（a ，b 为正数）， 则m ，n ，r 的大小关系是（ ） A ．m n r ≥≥
B ．m r n ≥≥
C ．r n m ≥≥
D ．n r m ≥≥
10．若正数a ，b ，c 满足42=+++bc ac ab a ，则c b a ++2的最小值为（ ）． A ．3
B ．4
C ．9
D ．16
11．设x ，y 满足约束条件10
100x y y x --≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为4，
则ab 的最大值为（ ） A ．4
B ．2
C ．6
D ．8
12．若1>a ，设函数()4x f x a x =+-的零点为m ，()log 4a g x x x =+-的零点为n ，则n
m 1
1+的取值范围是（ ）． A ．7,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
B ．[)1,+∞
C ．),4(+∞
D ．9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．若关于x 的不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有1、2、3，则b 的取值范围是_________．
14．已知1(3)
3
m a a a =+
>-，2
14x n -=，则m ，n 之间大小关系是_________． 15．对于任意的实数2x >-，不等式245
2
x x a x ++≥+恒成立，a 的取值范围是_________．
16．已知x ，y 满足35
4e
x
x y x y y ⎧+≥⎪
+≤⎨⎪≥⎩，则x y 的取值范围为是_________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）解关于x 的不等式()110x x a ⎛
⎫+-< ⎪⎝
⎭，0a a ∈≠R 且．
18．（12分）已知2()3(6)f x x a a x b =-+-+；
（1）当不等式()0f x >的解集为(1,3)-时，求实数a ，b 的值； （2）解关于a 的不等式(1)0f >．
19．（12分）已知函数3)(2
++=ax x x f ．
（1）当x ∈R 时，a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围； （2）当]2,2[-∈x 时，a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围．
20．（12分）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的一个零点为1=x ，另外两个零点可分别作为一个椭圆和一个双曲线的离心率． （1）求c b a ++的值； （2）求a
b
的取值范围．
21．（12分）某宾馆有一房间，室内面积共计2180m ，拟分割出两类房间作为旅游客间，大房间面积为218m ，可住游客5人，每人每天住宿费40元；小房间每间面积为215m ，可以住游客3人，每人每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果宾馆只有8000元用于装修，且游客能住满客房，该宾馆应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？(不记隔墙面积)．
22．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米． （1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长度应在什么范围内？ （2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小?并求出最小值．
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B ）
第十三单元 不等式
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】D
【解析】∵02>x
，b a >，x x b a 22⋅>⋅，∴x
x b a 22⋅>⋅，故选D ．
2．【答案】C 【解析】∵110a b <<，∴0b a <<，∴0a b +<，0ab >，22a b <，33a b >，1b
a
>， 又
b a 与a b 为正且不等，∴2b a
a b
+>，∴①④⑤正确，②③⑥错误，故选C ． 3．【答案】A
【解析】依题意，20x ax b -++≥的解集为[]1,2，∴1212a b +=⎧⎨⨯=-⎩
，即3a =，2b =-，∴1a b +=，
故选A ． 4．【答案】C
【解析】由题意知，1a b +=，∴1a b ≤+=，故14ab
≥，∴11
x y a b a b +=+++
111145a b ab ab +=+
=+≥+=，当且仅当1
2
a b ==是取等号，故选C ． 5．【答案】C
【解析】由()()()1021x a x a x a x a --⊗+-=
≥-+-得1
x a
x a -≤--0，解得1a x a ≤<+，
由题设知212
a
a -⎧⎨+≤⎩，解得21a -<≤，故选C ．
6．【答案】C
【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图所示，
可知当圆的面积最大时，它与直线20x y -+=
相切，此时圆的半径r =
∴圆的面积为2π，故选C ． 7．【答案】C
【解析】当0x >时，由1()3f x >
得，21log 3x >
，∴x 0x ≤时，由1()3f x >得1
33
x >， ∴10x -<≤，综上知，x 的取值范围是3(1,0](2,)-+∞，故选C ．
8．【答案】C
【解析】
作出不等式组02x y x ⎧≤≤
⎪
≤⎨⎪
≤⎩所表示的区域D ，如图所示，
由题设知，(,)OM x y =，(2,1)OA =，∴2z OM OA x y =⋅=
+，由图形可得，目标函数
z y +过点A 时，取得最大值为4，故选C ． 9．【答案】A
【解析】∵0a
>，0b >，a
b +≥2
a b ≤+，又由a b
+≥2a b ab
+≥， 即
2a b ab
+≥，∴有202a b
a b ab +<≤≤+，∵2()f x x -=在0x
>时为减函数，
∴22a b f f f a b ab +⎛⎫⎛⎫
≥≥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，即m n r ≥≥，故选A ． 10．【答案】B
【解析】∵4))((2=++=+++c a b a bc ac ab a ，
∴2()()4a b c a b a c ++=+++≥=，故选B ． 11．【答案】B
【解析】作出可行域，如图所示，
当直线z ax by =+过直线10x y --=与直线1y =的交点(2,1)A 时，目标函数z ax by =+(0,0)a b >>取得最大值4，∴24a b +=，∵0a >，0b >，
∴24a b +=，则2ab ≤，当且仅当1a =，2b =时取等号，故选B ． 12．【答案】B
【解析】函数4)(-+=x a x f x
的零点m 为x a y =与x y -=4图象交点的横坐标，
4log )(-+=x x x g a 的零点n 为x y a log =与x y -=4图象交点的横坐标，因为函数x a y =
与函数x y a l o g =互为反函数，其图像关于直线x y =对称，所以4=+n m
，111111111()(2)(1442424m n m n m n m n m n n m n m ++=+=++=+++⨯≥，故选B ． 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】(5,7)
【解析】由题意得，44
3443433
b b x b x b x -+-<⇒-<-<⇒
<<
，若不等式的整数解只有1、2、3，则b 应满足：4013
4343b b -⎧
≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，即4758b b ≤<⎧⎨<≤⎩，解得57b <<．
14．【答案】m n >
【解析】∵3a >，∴30a ->，∴11
3323533
m a a a a =+
=-++≥+=--，又211x -≤， ∴由指数函数的性质知，2
144x n -=≤，故m n >． 15．【答案】(,2]-∞．
【解析】∵2x >-，∴20x +>，故2245(2)11
(2)2222
x x x x x x x ++++==++≥+++，
即2452x x x +++的最小值为2，当且仅当1x =-时取等号，∵不等式2452x x a x ++≥+恒成立，∴2a ≤．
16．【答案】[e,7]
【解析】作出),(y x 所在平面区域，如图所示，
求出e x y =的切线的斜率e ，设过切点),(00y x P 的切线为()e 0y x m m =+≥， 则
00000e e y x m m x x x +==+，要使它最小须0=m ，∴y
x
的最小值在00(,)P x y 处为e ； 此时，点00(,)P x y 在e x y =上A ，B 之间，
当),(y x 对应点C 时，由45205775342012y x y x y
y y x y x
x =-=-⎧⎧⇒⇒=⇒=⎨
⎨=-=-⎩⎩， ∴
y x 的最大值在C 处为7，∴y x
的取值范围为[]e,7，即b
a 的取值范围是[]e,7．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】见解析．
【解析】当10a -<<时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫
<<-⎨⎬⎩⎭；当1a =-时，不等式的解集为∅；
当0a >或1a <-时，不等式的解集为11x x a ⎧
⎫-<<
⎨⎬⎩
⎭
． 18．【答案】（1
）39a b ⎧=+⎨=⎩
39a b ⎧=-⎨=⎩（2
）(3．
【解析】（1）不等式()0f x >，即为：23(6)0x a a x b -+-+>，∵不等式()0f x >的解集为(1,3)-，
∴不等式23(6)0x a a x b -+-+>与(1)(3)0x x +-<同解，即23(6)0x a a x b ---<的解集为(1,3)-； ∴(6)
133
133
a a
b -⎧=-+⎪⎪⎨⎪-=-⨯⎪⎩，即26609a a b ⎧-+=⎨=⎩
，解得39a b ⎧=+⎨=⎩
或39a b ⎧=⎨=⎩
（2）∵2()3(6)f x x a a x b =-+-+，∴(1)3(6)f a a b =-+-+， 故(1)0f >，即为3(6)0a a b -+-+>，即2630a a b -+-<；
则364(3)244b b ∆=--=+；当6b ≤-时，0∆≤，此时不等式(1)0f >解集为∅； 当6b >-时，2630a a b -+-<
的解集为(3． 19．【答案】（1）26≤≤-a ；（2）27≤≤-a ．
【解析】（1）当x ∈R 时，a x f ≥)(恒成立，即a ax x ≥++32
，对x ∈R 恒成立， ∴032
≥-++a ax x ，∴24(3)0a a ∆=--≤，解得26≤≤-a ． （2）当]2,2[-∈x 时，a x f ≥)(恒成立，即]2,2[-∈x ，a x f ≥min )(．
函数3)(2
++=ax x x f 的对称轴为2
a x -
=． 当22
-<-
a
，即4>a 时，函数3)(2++=ax x x f 在]2,2[-∈x 单调递增， ∴min ()(2)423f x f a =-=-+，由a a ≥+-324，解得3
7
≤a ，此时无解；
当222≤-≤-a ，即44≤≤-a 时，函数2
min 12()()24a a f x f -=-=，由
a a ≥-4
122， 解得26≤≤-a ，此时24≤≤-a ； 当22
>-
a
，即4-<a 时，函数3)(2++=ax x x f 在]2,2[-∈x 单调递减， 函数min ()(2)423f x f a ==++，由a a ≥++324，解得7-≥a ，此时47-<≤-a ． 综上所述，a 的取值范围为27≤≤-a ． 20．【答案】（1）1-；（2）12,2⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭．
【解析】（1）由0)1(=f 得10a b c +++=，得1a b c ++=-．
（2）由1c a b =---，
∴()3
2
2
1(1)[(1)1]f x x ax bx a b x x a x a b =++---=-+++++，
从而另外两个零点是方程01)1(2=+++++b a x a x 的两个根，且一个根大于1，一个根小于1大于零．设1)1()(2+++++=b a x a x x g ，由零点的分布可得(0)0(1)0g g >⎧⎨<⎩，即10
230a b a b ++>⎧⎨++<⎩
，作出可行
域如图所示，
因为
--=a b a b 表示可行域内的点),(b a 与原点)0,0(连线的斜率k ， 直线OA 的斜率为2
1
1-=k ，直线032=++b a 的斜率为22-=k ，
所以12,2k ⎛
⎫∈-- ⎪⎝
⎭，即12,2b a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭．
21．【答案】应隔出小房间12间；或大房间3间，小房间8间，可以获得最大利润． 【解析】设隔出大房间x 房间，小房间y 间，收益为z 元， 则有1815180
100060080000
0.
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，设目标函数为：200150z x y =+， 作可行域6560534000
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，如图所示，
【大师珍藏】高考一轮总复习：单元训练卷-数学（理）
11
作直线:430l x y +=，由图可以看出，l 过B 点时，目标函数200150z x y =+时取得最大值， B 点坐标是直线1l ：1815180x y +=与直线2l ：10006008000x y +=的交点， 解得2060,77B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，但是它不是整点，可以验证取得最大值时，经过的整点是()0,12和(3,8)，此时可取得最大值为1800元，即应隔出小房间12间；或大房间3间，小房间8间，可以获得最大利润．
22．【答案】（1）82,(8,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）当AN 的长度是4米时，矩形AMPN 的面积最小，
最小值为24平方米．
【解析】设AN 的长为x 米（2>x ），由题意知：AM
DC AN DN =，2-=x DN ，3==AB DC ． 所以2
3-=x x AM ，∴2
32AMPN x S AN AM x =⋅=-矩形． （1）由32>AMPN S 矩形，得322
32>-x x ，又2>x ，于是0643232>+-x x ， 解得382<<x 或8>x ，即AN 长度的取值为82,(8,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
． （2
）2233(2)12(2)12123(2)121224222x x x y x x x x -+-+===-++≥=---， 当且仅当212)2(3-=-x x ，即4=x 时，2
32-=x x y 取得最小值是24 ∴当AN 的长度是4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．。