计算方法论文

计算方法课程论文
周伟00904012042 计本二班
1、课程介绍
随着计算机的飞速发展，数值计算方法已深入到计算物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等各个领域，并在航天航空、地质勘探、桥梁设计、天气预报和字形字样设计等实际问题领域得到广泛的应用。

同时随着计算机在科学和工程设计中应用日益广泛，它已经成为工程师、大学生和各类管理人员极为有用的工具。

因此将数值计算与计算机相结合解决实际应用中的数学问题的数值近似是一种显而易见的趋势。

计算方法是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法，是在计算机上使用的解数学问题的方法。

本课程主要介绍了近代计算机常用的计算方法及其基础理论。

内容包括插值法、曲线拟合的最小二乘法、数值积分、非线性方程的数值解法、方程组的数值解法、常微分方程的数值解法等，除此之外，很重要的就是如何通过编程实现这些方法，培养我们的动手能力及工程计算能力。

1、主要内容以及重点难点
首先我们学习的是数值计算中的误差，在这部分内容中我们要了解误差的四种类型：模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差。

重点学习绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限。

另外还需重点掌握的是有效数字及其与误差的关系。

掌握了以上内容后，就可以利用以上知识进行误差的估计了，针对一些问题进行误差分析，但在此，我们需要注意误差在算数运算中的传播，需要掌握的有对加、减、乘、除、开方等算术运算中数据误差的传播规律的分析。

之后我们便正式进入了数值计算的学习。

首先学习的是插值法，主要学习了两种：
（1）拉格朗日插值法
我们需要掌握插值基函数、拉格朗日插值多项式、插值余项等概念，最重要的是要掌握利用朗格朗日插值法解决实际问题。

（2）牛顿插值
在此部分内容中，我们首先学习的是差商的概念及其性质，在理解了差商的基础上学习了牛顿插值基本多项式及其插值余项，插值余项与拉格朗日相同。

之后又学习了差分的概念和牛顿向前插值公式。

重点掌握如何利用牛顿插值法进行运算解决问题。

给出一组离散点，确定一个函数逼近原函数，插值是这样的一种手段。

事实上，数据不可避免的会有误差，插值函数会将这些误差也包括在内。

因此，需要一种新的逼近原函数的手段：
①不要求过所有的点（可以消除误差影响）；
②尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。

基于这种问题，我们采用了曲线拟合的最小二乘法。

在这部分内容中，我们需要重点掌握最小二乘法则和法方程组的计算。

第四章开始介绍数值积分的问题。

我们要知道构造数值求积公式的基本方法、求积公式的余项以及代数精度。

重点掌握N-C 求积公式（梯形公式、Simpson 公式、Cotes 公式-系数、代数精度、截断误差）、复合N-C 公式（复合梯形公式、复合Simpson 公式、收敛阶、截断误差）、龙贝格算法的计算公式，这些既是重点也是难点。

第五章介绍了非线性方程的数值解法，主要有两种方法：二分法和迭代法。

二分法只要会用即可，重点是迭代法的计算方法。

本章主要介绍了三种迭代方法，第一种是牛顿—雷扶生方法，我们要掌握牛顿法的公式及其误差分析，还要掌握它的局部收敛性。

第二种是牛顿下山法，它是针对牛顿法的对初值的要求比较高的局限性而提出的一种迭代法，它引入了下山因子t ，解决了初值选择不合理的问题。

另外为了解决函数的导数难求的问题，我们又引入了第三者迭代方法——正割法，即用差商近似代替导数，从而节约计算量。

第六章主要介绍了方程组的数值解法，在学习此章内容之前，需要好好复习一下矩阵计算的知识。

首先我们学习的是集中消去法，主要有高斯消去法、完全主元消去法、列主元消去法、矩阵的三角分解等等，通过这些方法求取方程组的解。

这些方法计算起来并不难，关键是要细心，有耐心，对于复杂的计算不能不算，只有多算才能提高正确率。

之后又介绍了线性方程组的迭代法。

有雅可比迭代法、高斯——赛德尔迭代法和SOR 迭代法，在使用迭代法求解方程组的近似解之前，我们需要判断三种方法收敛性，判断收敛性可以从不同方面着手：从系数矩阵判断、从迭代矩阵判断或者从谱半径判断，但是要分清哪个是充分条件哪个是充要条件。

最后一章主要是讲常微分方程的数值解法，我们重点掌握的内容主要的只有欧拉方法，其中包括欧拉公式、向后欧拉公式、改进的欧拉公式，重点掌握欧拉公式和改进欧拉公式的应用。

3、关于迭代法的讨论 （1）定义 考察方程 。

不能直接求出它的根，但如果给出根的某个猜测值 ， 代入 中的右端得到 ，再以 为一个猜测值，代入 的右端
得
反复迭代得 若 收敛，即
则得 是 的一个根
上述方法称为 基本迭代法
)(x x ϕ=)(x x ϕ=)(01x x ϕ=1x )(x x ϕ=,......1,0)(k 1k ==+k x x ϕ}{k x *∞→=x x k k lim *x )(x x ϕ=)()lim ()(lim lim 1n *=⇒==*∞→∞→+∞→x x x x x n n n n n ϕϕϕ )(12x x ϕ=
将 变为另一种等价形式 。

选取 的某一近似值 ，则按递推
关系 产生的迭代序列 。

这种方法算为迭代法。

（2）迭代函数、迭代初值对迭代法的影响 1）迭代函数对迭代法的影响
用迭代法求方程 012)(3=--=x x x f 的根。

方案一： 化012)(3=--=x x x f 为等价方程 )(2
1
3
x x x φ=+= 方案二： 化012)(3=--=x x x f 为等价方程 )(123x x x φ=-=
方案一
方案二
0 00=x 00=x 1 0.79370052598410 -1 2 0.96436175788706 -3 3 0.99402465940182 -55 4 0.99900311645372 -332751
5 0.99983382512973 -7.368652968112150e+01
6 6 0.99997230342119 -8.001921866539816e+050
7 0.99999538388222 -1.024738174056895e+153
8 0.99999923064645 -Inf 9 0.99999987177439 -Inf 10
0.99999997862906
-Inf
由计算结果可知，方案一的迭代效果比较好，而方案二中迭代的结果离方程的根偏离比较大。

可知迭代函数的选择对迭代法的计算是有影响的。

在迭代法的局部收敛性中规定：
若满足 1、 (),[,]
a g x
b x a b ≤≤∈(),[,]g x x a b ∈0)(=x f )(x x ϕ=],[0b a x ∈*
x ,......1,0)(k 1k ==+k x x ϕ}{k x
2、 可导，且存在正数L<1，使得对任意的x ，有
可知若才用第二种方法，不满足迭代法的局部收敛性，因此迭代结果不正确。

2） 初值的选取对迭代法的影响
用牛顿迭代法求方程 013=--x x 在x =1.5附近的根。

对牛顿迭代公式 1
31
2
31
----=+k k k k k x x x x x ，分别取00=x ，5.10=x 迭代10次，观察比较其计算值，并分析原因。

方案一
方案二
0 00=x 0 1.5x = 1 -1
1.34782608695652 2 -0.50000000000000
1.32520039895091 3 -3
1.32471817399905 4 -
2.03846153846154 1.32471795724479 5 -1.39028214721674 1.32471795724475 6 -0.91161189771793 1.32471795724475 7 -0.34502849674817 1.32471795724475 8 -1.42775070402727 1.32471795724475 9 -0.94241791250948 1.32471795724475 10
-0.40494935719938
1.32471795724475
有迭代的结果可知初值的选择会影响到迭代结果。

当初值越接近方程的根时，迭
()g x '()1g x L ≤<*011101()* 2[,],()lim ;1 3*;1 4*1k k
k k k k k k k x g x x x a b x g x x x x x x x L L x x x x L +→∞
+=∈==-<---≤--则： 、在区间[a,b]上有唯一解；
、对任意的迭代过程收敛，即：、、
代的次数越快。

4、心得体会
刚开始接触计算方法这门课程时，唯一的感受就是这门课程真的很难。

第一节课就听不懂，感觉一下子就想放弃了，就这样子浑浑噩噩的上了两个礼拜的课，突然想到后面的考试和实验，一下子就不敢玩了，就天天抱着课本一点一点的啃，一遍一遍的读，终于学懂了一些东西，并开始对这门课程产生兴趣。

本人感觉这门课程其实不难学，关键是肯下功夫，我不是一个有着课前预习课后复习的良好习惯的人，但是我很重视课堂上的听课效率和课后的自主学习。

因为如果课堂上你不认真听，你根本抓不住理解某个知识的关键点，而下课自主学习是让你深入理解和熟练应用数值计算法。

对于这门课程，我自己的学习方法是：查看书上的一些推导过程，并且做完课后习题，这些看起来似乎没什么，但是等你做完这些，其实就对书上的要求完成的七七八八了。

另外我觉得实验也很重要，做实验不仅能有助于你理解知识点，还有助于你培养解决实际问题的能力。

总之，只要努力并且有足够的细心与耐心，就一定能学好这门课程。