第07讲 等差数列综合 三年级奥数超常班讲义综述

第七讲等差数列综合
由于第一讲我写的比较细，本讲和第一讲重复内容参见第一讲。

等差数列公式繁多，而一道题有可能考了2‐4个甚至更多的公式，这就要求一定要熟记公式，唯有理解并且多练。

公式复习：
（一）首项，第n 项，项数n ，公差，知三求一。

1. 第n 项=首项+（n ‐1）×公差
2. 首项=第n 项‐（n ‐1）×公差
3. 项数n=（第n 项－首项）÷公差+1
4. 公差=（第n 项－首项）÷（项数n －1）
公差=（第n 项－第m 项）÷（n －m ）
（二）求和公式
前n 项和=（首项+第n 项）×项数n ÷2
（三）中项定理
中间项=（首项+末项）÷2
和=中间项×项数n
（一）公式综合运用
作业1：求项数：本题较简单，都可用公式来求，但也有其他求法：
（1）3、4、5、6、……76、77、78
连续的自然数列：项数=末项‐首项+1=78‐3+1
（2）2、4、6、8、……98，100
首项和公差相等的等差数列：项数=末项÷公差=100÷2
特别地，偶数列：项数=末项÷2=100÷2
3,6,9,12， (99)
首项和公差相等的等差数列：项数=末项÷公差=99÷3
变化一下，33,36,39, (99)
相当于3的11,12,13……33倍共33‐11+1项
（3）1,3,5,7， (91)
奇数列：项数=（末项+1）÷2=（91+1）÷2
（4）4,7,10,13， (46)
每项都减1，变成3,6,9,12……45，共45÷3=15项
小结：还是希望同学们熟记公式，但不要死记公式，遇到题目是多想想有没有更为简单的办法。

我们来看个小例子：
3、 7、 11、 15、19、23、27 首项3，公差4
2、 5、 8 、 11、14、17、20 首项2，公差3
和：5、12、 19、 26、33、40、47 首项3+2，公差4+3
差：1、 2、 3、 4、 5、 6、 7 首项3‐2，公差4‐3
两个等差数列的对应项的和与差依然为等差数列。

并且首项和公差为原数列
首项和公差的和或差。

这个知识点很好理解，它对我们做很多题时会提供一些思路。

例4：（10年迎春杯中年级复赛）张杰从27起写了26个连续奇数，王强从26起写了26个连续自然数，然后分别将自己写的26个数求和，那么这两个和的差是多少？
分析与答：方法一：分别算出张杰与王强的和再相减。

王强写的最后一个数为26+（26‐1）×1=51
和为（26+51）×26÷2=(77×13=11×7×13=可以巧算1001
张杰写的最后一个数为27+（26‐1）×2=77
和为（27+77）×26÷2=1352
两个和的差值为1352‐1001=351
方法二：根据两个等差数列的差，那么结果一定是等差数列。

张杰：27, 29, 31……
王强：26, 27, 28……
对应的差值为1, 2, 3，……
共26项，那么和为（1+26）×26÷2=351
小结：希望体会一下方法二的优越与简便。

例2：按规律写出一些算式：1000‐1,993‐4,986‐7,979‐10，……，如果要保证被减数比减数大，最多能写出几个算式？请写出最后的算式。

分析与答：我们发现这是两个等差数列的差，那么结果一定是等差数列。

依次算出结果：
1000‐1,993‐4,986‐7,979‐10，……，
999， 989，979，969，公差为10，如果要保证被减数比减数大，最终会写到9。

最多能写出几个算式相当于求项数。

项数n=（999‐9）÷10+1=100，即最多写100个算式。

最后是一个减法算式，差为9，即只要找出被减数或减数之一，问题即可解决。

观察被减数1000,993,986,979，……
减数：1,4,7,10，……
都是100项，发现用减数算计算量相对小些。

第100项=1+(100‐1 ×3=298
则被减数为298+9=307
最后的算式为307‐298
小结：本题运用了项数公式及公差公式。

例6 ：1,1,4,2,7,3,10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,3，……，100问：
（1）这个数列一共有多少项？
（2）这个数列所有数之和是多少？
分析与答：当直接找规律不明显时，可以试着跳着看：
1, 1, 4, 2,7,3, 10,1, 13, 2, 16, 3, 19,1,22,2, 25,3，……，100为双重数列：
奇数位：是首项为1，公差为3的等差数列；
偶数位：1,2,3循环数列，周期为3
（1）求项数显然要通过奇数位来求，奇数位比偶数位多一项。

奇数位：1,4,7,10，……，100共有（100‐1）÷3+1=34项
则偶数位共34‐1=33项
共34=33=67项
（2）分别求和奇数和为：（1+100）×34÷2=1717
偶数位（1+2+3）×33÷3=66（每三数一组共33÷3恰好分组）
所有数总和为：1717+66=1783
作业6：已知一个等差数列的前15项的和为450，前20项的和为750，请问：这个数列的公差是多少？首项是多少？
分析与答：想求公差，公差=（第n 项－第m 项）÷（n －m ）
如果已知这个数列的任意两项那么公差就可以求了。

根据中项定理：前15项的和为450，可推出第8项为450÷15=30
前15项的和为450，前20项的和为750，第16项到20项之和为
750‐450=300 可推出第18项为300÷5=60
公差=（第18项－第8项）÷（18－8）=（60－30）÷（18－8）=3
首项=第n 项‐（n ‐1）×公差=30‐（8‐1）×3=9
小结：（1）本题考了公差公式，及首项公式，此公式平时练得少，所以孩子们不熟悉。

（2）题中给了前二十项的和，而20为偶数，不能直接用中项公式，
因此想到求第16项到20项之和，进而求出第18项，这也算是一个难点。

（二）运用鸡兔同笼思想解决等差数列问题
作业5：把248表示成8个连续偶数的和，其中最大的那个偶数是多少？方法一：如果是最小的8个连续偶数的和，和为2+4+6+8+10+12+14+16=72 少算了248‐72=176，
每个数少算了176÷8=22，
那么每个数都应加上22，
最大的数应为16+22=38
方法二：假设所有的数都和最大的数一样大，那么和应增加
（1+2+3+4+5+6+7）×2=56
即和为248+56=304
最大的数为304÷8=38
方法三：等差数列为偶数项时，是成对存在的共8÷2=4对，每对和为
248÷4=62
这时又有两种方案：算出中间两数，或算出首末，如
首+末=62
首‐末=7×2=14（第8项比第1项多7个公差）
为和差问题，可分别求出首末最大数应为（62+14）÷2=38
方法四：算出平均数：248÷8=31，可推算出中间两数为30,32进而求出最大数为38.
小结：本题也较简单，但希望同学们多思考不同的方法。

方法一二用的是鸡兔同笼的方法（假设法）方法三四是运用中项定理。

例5（2011年迎春杯中年级复赛）有37人排成一行报数，第一个人报1，以后每个人报的数都是把前一个人报的数加3，报数过程中有一个人报错了，把前一个人报的数减3报了出来，最后这37个人报的数加起来恰好等于2011，那么是第几个报数的人报错了？
分析与答：遇到复杂问题，可以自己先举简单例子：假设共有6个人，第5个人报错，那么
正确报法为：1、4、7、10、13、16
错误报法为：1、4、7、10、7 、10
通过这个例子我们发现：虽然只有一个人报错，但在报错的人的影响下，后面的人都跟着报错，并且从此人开始，后面每个人都少6，（本来应该+3，结果
‐3，所以差了3+3=6）
这样想来我们就可以用鸡兔同笼（即假设法的思想）来做这道题了
如果这37个人全部报对的话，第37个人应报1+（37‐1）×3=109
37个人报数之和为（1+109）×37÷2=2035
这比实际的和多2035‐2011=24，
从开始报错的人起，每个人比正确的数少3+3=6,
说明倒数第24÷6=4人报错，即正数第34人。

（最后一步如果数字比较大，可以这样列算式：
报对的人数为37‐4=33，所以第33+1=34人报错）
巩固练习（超常学案4）：100个人排成一行报数，第一个人报1，后面每一个人报的数都是在前一个人的基础上加3，中间有一个人报错了，应该加3结果加了1，最后把这100个人报的数加起来等于14884，那么是第几人报错了。

分析与答：假设100人全部报对，第100人应报1+3×（100‐1）=298
和应为（1+298）×100÷2=14950
比实际多14950‐14884=66
从报错的那个人开始，每个人应加3结果加1，差了3‐1=2
共66÷2=33人，即倒数第33人出错，
报对人数：100‐33=67，所以第68人出错。

超常123班学案4（2011学而思超常1A 班选拔考试中年级试题）：小马虎计算51+52+53+……+60，抄写时不慎漏写一个加号，把两个两位数当成一个四位数，计算结果正好是6000，这个四位数是多少？
分析与答：
方法一：（假设法，与例题类似）
举个小例子如果是51+52中间的加号漏掉，这时变成
5152=5100+52=51×100+52,则多算了51×100+52‐（51+52）=99×51即多算了99个加号前的数字。

假设没有漏掉加号，和为（51+60）×10÷2=555，
算错之后多算了6000‐555=5445
5445÷99=55，所以漏掉了55+56之间的加号，即这个四位数为5556
方法二：（尾数分析）假设没有漏掉加号个位为1+2+3+4+5+6+7+8+9+0=45的个位5，漏掉了一个加号之后个位为6000的个位0，漏掉了一个加号个位相当于漏加了一个数字，只能是55的个位5.
小结：方法一是通用方法，方法二比较巧妙，因本题只有十个数字，个位没有重复，如果有重复此方法就不行了。

（三）与等差数列相关的应用题
例7：盒子里装有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出1只球，将它变成3只球后放回盒子里；第2次又从盒子里拿出2只球，将每只球各变成3只球放回到盒子里……第十次从盒子里拿出10只球，将每只球各变成3只放回到盒子里，这时盒子里共有多少只球？
分析与答：一只球变成3只球，其实增加2只球，第一次增加了2只，第2次增加了2×2只，第三次增加2×3只，……，第十次增加2×10只。

共有：
3+2+2×2+2×3+……+2×10=3+2×（1+2+3+……10）=113
小结：本题运用到的等差数列工具很简单，难点在仔细分析题意后，发现实际上是按等差数列的规律递增的。

例8：用3跟等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按图所示，铺满一个大的三角形，如果这个大的等边三角形的底边放10跟火柴，那么一共要放多少根火柴？
分析与答：方法一：只看正立的三角形就会发现，所有的火柴棒就是正立三角形的边数之和。

正立三角形个数为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，那么共有
3×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
）=165根火柴棒。

2011 春季班三年级超常
班学而思侯晓琳方法二：题中的火柴棒共有三个方向，算出每个方向的个数，然后再×3 就可以了，每个方向有 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，那么共有 3×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）=165 根火柴棒。

小结：多种方法算式相同但意义不同。