高一数学上学期期中联考试题含解析试题2

卜人入州八九几市潮王学校平和一中、南靖一中等五校二零二零—二零二壹高一数学上
学期期中联考试题〔含解析〕
一.选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕
{}11A x x =-<<，集合{}04B x x =<<，那么A B 等于〔〕．
A.{}14x x <<
B.{}10x x -<<
C.
{}14x x -<<
D.
{}01x x <<
【答案】D 【解析】 【分析】
根据交集的概念和运算，求得两个集合的交集. 【详解】交集是两个集合的公一共元素，故A B {}01x x =<<.
应选D.
【点睛】本小题主要考察两个集合交集的概念和运算，属于根底题. 2.以下各组函数中，表示同一函数的是〔〕．
A.
()1f x =，()0
g x x
= B.
()2f x x =+，()24
2
x g x x -=-
C.
()f x x =，()g x = D.
()f x x =，()2
g x =
【答案】C 【解析】 【分析】
对选项逐一分析函数的定义域、值域和对应关系，由此判断出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数
()f x 的定义域为R ，函数()g x 的定义域为{}|0x x ≠，故不是同一函数.
对于B 选项，函数()f x 的定义域为R ，函数()g x 的定义域为{}|2x x ≠，故不是同一函数.
对于C 选项，函数()f x 的定义域为R ，函数()g x 的定义域为R ，且()()g x x f x ==，故是同一函
数.
对于D 选项，函数()f x 的定义域为R ，函数()g x 的定义域为{}|0x x ≥，故不是同一函数.
应选C
【点睛】本小题主要考察两个函数是否是同一函数的判断，考察函数的定义域、值域和对应关系，属于根底题.
()1,1
2,0
x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩，那么()3f f -⎡⎤⎣⎦
的值是〔〕 A.0 B.2
C.4
D.6
【答案】D 【解析】 【分析】 利用分段函数求出
()3f -，然后求解()3f f -⎡⎤⎣⎦的值．
【详解】
()1,12,0x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩
应选：D
【点睛】此题考察分段函数的应用，函数值的求法，考察计算才能，属于根底题。

()223x f x a -=+〔0a >且1a ≠〕的图象恒过定点P ，那么点P 的坐标是〔〕．
A.
()0,3
B.
()1,3
C.
()0,4
D.
()1,4
【答案】D 【解析】 【分析】
根据0
1a =，求得函数所过定点P 的坐标.
【详解】当220x -=时，1x =，即()2213134f a -=+=+=，故()1,4P .
应选D.
【点睛】本小题主要考察指数型函数过定点问题，属于根底题.
()a f x kx =的图象经过点()27,3，那么()8f 的值等于〔〕．
A.2
B.2-
C.4
D.4-
【答案】A 【解析】 【分析】 根据幂函数的概念和()f x 所过点()27,3，求得,k a 的值，由此求得()8f 的值.
【详解】由于函数
()f x 为幂函数，故1k =，即()a f x x =，将()27,3代入得1
273,3
a a ==，所以()13
f x x
=，故
()13
882f ==.
应选A
【点睛】本小题主要考察幂函数的定义，考察幂函数函数值的求法，属于根底题. 6.0.50.2a
=，ln0.2b =，lg11c =，那么〔〕．
A.a b c >>
B.c a b >>
C.a c b >>
D.c b a >>
【答案】B 【解析】 【分析】
利用0,1分段法，比较出三者的大小关系. 【详解】依题意可知()0.5
0.20,1,ln0.20,lg11lg101a b c =∈=<=>=，故c a b >>.
应选B.
【点睛】本小题主要考察利用0,1分段法比较对数、幂的大小，属于根底题.
7.函数y=f 〔x 〕在R 上为奇函数，且当x≥0时，f 〔x 〕=x 2
﹣2x ，那么当x ＜0时，f 〔x 〕的解析式是〔〕 A.f 〔x 〕=﹣x 〔x+2〕 B.f 〔x 〕=x 〔x ﹣2〕 C.f 〔x 〕=﹣x 〔x ﹣2〕 D.f 〔x 〕=x 〔x+2〕
【答案】A 【解析】 因为函数
()
y f x =在
x ≥时，
()22f x x x
=-，所以0
x <时，0
x ->，所以22()()2()2f x x x x x
-=---=+，
因
为
函数
是
奇
函
数
，
所
以
22()()(2)2f x f x x x x x -=-=-+=--，所以选A
点睛：此题考察分段函数的性质，注意每段函数所对应的范围为其切入点. 8.今有一组实验数据如下：
现准备用以下函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是〔〕．
A.
22y x =-
B.21
2
x y -=
C.
21
x y =-
D.
2log y x =
【答案】B 【解析】 【分析】 令2,3x
=代入选项里面函数的解析式，由此判断最接近的函数.
【详解】对于A 选项，2x =时，2y =，与表格 1.5y =差距较大，故排除.
对于B 选项，2x =时， 1.5y =，3x =时，4y =，与表格数据较为吻合. 对于C 选项，2x =时，3y =，与表格 1.5y =差距较大，故排除. 对于D 选项，2x =时，1y =，与表格 1.5y =差距较大，故排除.
应选B.
【点睛】本小题主要考察根据实验数据选取函数模型，属于根底题.
9.
1()1x
f x x
=
-，那么()f x 的解析式为〔〕 A.1()(0x
f x x x -=
≠，且1)x ≠ B.1
()(01f x x x =
≠-，且1)x ≠ C.
1
()(01f x x x =≠-，且1)x ≠
D.
()(01x
f x x x =≠-，且1)x ≠
【答案】C 【解析】 令t =
1x ，得到x =1
t
，∵x ≠1，∴t ≠1且t ≠0， ∴
()1
1
(1111t f t t t t ==≠--且t ≠0)
∴
()1
(01
f x x x =≠-且x ≠0)，
应选C.
点睛：求函数解析式常用方法
(1)待定系数法：假设函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)方程法：关于f (x )与
1f x ⎛⎫
⎪⎝⎭
或者f (－x )的表达式，可根据条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．
10.假设函数f(x)＝a
x －1
的图象经过点(2，4)，那么函数()1
log 1
a
g
x x =+的图象是
A. B. C.
D.
【答案】D 【解析】
由条件知
4
14
1
(2)4;()log log (1)1f a g x x x ==∴==++；函数()g x 定义域为 (1,)-+∞，在定义域上是减函数；应选D
()x f x a =〔0a >且1a ≠〕在区间[]22-,
上的值不大于2，那么函数()2log g a a =的值域是〔〕． A.11,00,22⎡⎫⎛⎤
-
⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ B.11,0,22⎛
⎫⎛⎤-∞-
⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦
C.11,22⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦ D.11,0,22⎡⎫⎡⎫
-
+∞⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
根据指数函数的单调性列不等式，求得a 的取值范围，由此求得()g a 的值域.
【详解】由于
()f x 是指数函数，当1a >时，()f x 在[]22-,
上递增，()222f a =≤，解得12a <≤01a <<时，()f x 在[]22-,
上递减，()222f a --=≤，解得212
a ≤<.所以(
222a ⎫∈⋃⎪⎪
⎣⎭
.注意到2log y x =在()0,∞+上递增，故函数()2log g a a =的值域是
(
2222log 1log 1,log 2⎡⎫⋃⎪⎢⎪⎣⎭
，即11,00,22⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 应选A.
【点睛】本小题主要考察指数函数的单调性和最值，考察对数型函数的单调性和值域，属于根底题.
()()21,01,0
x
x f x f x x -⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，假设方程(
)f x =有且只有两个不等的实数根，那么实数a 的取值范
围为〔〕．
A.
()0,1
B.⎤
⎥⎝⎦
C.()
1,+∞
D.⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数
()f x 的分段表达式，画出()f x 的图像，画出(
)g x =的图像，根据
()f x 与
(
)g x =图像有两个不同的交点，求得实数a 的取值范围.
【详解】当[)0,1x ∈时，[)11,0x -∈-，所以()()112
1x
f x f x -=-=-；
当[)1,2x ∈
时，[)10,1x -∈，所以()()()
11212
121x x f x f x ---=-=-=-；
当[)2,3x ∈时，[)11,2x -∈，所以()()()21312121x x f x f x ---=-=-=-；
以此类推，画出
()f x 的图像如以下列图所示，在同一个图像中，画出(
)g x =要使
()f x 与(
)g x =()()1121g g ⎧≤⎪⎨>⎪⎩
，即11
a ≤⎧⎪
⎨>⎪⎩
，解得
12
a <≤. 应选B.
【点睛】本小题主要考察分段函数的图像与性质，考察方程的根、两个函数图像的交点的对应关系，考察数形结合的数学思想方法，属于中档题.
二.填空题〔本大题一一共5小题，每一小题4分，一共20分〕
3
的值等于______．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据根式运算公式，化简所求表达式.
【详解】依题意，原式()
22220
=-+-=-=.
故答案为0
【点睛】本小题主要考察根式运算，考察运算求解才能，属于根底题.
()1
2019
f x
x
=
-的定义域为______．
【答案】{}
2019
x x≠
【解析】
【分析】
根据分式分母不为零，求得函数的定义域.
【详解】由于()
f x为分式的形式，故20190
x-≠，即2019
x≠，所以函数的定义域为{}
2019
x x≠.故答案为{}
2019
x x≠
【点睛】本小题主要考察详细函数的定义域的求法，属于根底题.
()
f x=的定义域是一实在数,那么m的取值范围是______．
【答案】08
m
≤≤
【解析】
【分析】
对m 分成0,0m m =≠两种情况，根据函数()f x 的定义域为R ，求得m 的取值范围.
【详解】当0m =时，
()f x =R ，符合题意.
当0m ≠时，要使2
20mx mx ++≥在R 上恒成立，那么需2
80m m m >⎧⎨∆=-≤⎩
，解得08m <≤. 综上所述，实数m 的取值范围是08m ≤≤. 故答案为08m ≤≤
【点睛】本小题主要考察函数定义域，考察一元二次不等式恒成立问题的求解，属于根底题.
()()lg 2x f x b =-〔b 为常数〕，假设[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，那么b 的取值范围是______．
【答案】
(],1-∞
【解析】 【分析】
令()0f x ≥，别离常数b ，由此求得b 的取值范围. 【详解】依题意
[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，即()lg 20x b -≥，21x b -≥，21x b ≤-，在
[)1,x ∈+∞时成立.而在区间[)1,+∞上，21x y =-为单调递增函数，当1x =时有最小值为1211-=，
故
211x y =-≥，所以1b ≤.
故答案为
(],1-∞
【点睛】本小题主要考察不等式恒成立问题的求解，考察指数函数和对数函数的性质，属于根底题. 三.解答题〔一共6小题，一共70分〕
{}53117A x x =≤-<，{}39B x x =<<．
〔1〕求(
)
R
B A ；
〔2〕{}1C
x a x a =≤<+，假设C B ⊆，务实数a 的取值范围．
【答案】〔1〕
{6x x <或者}9x ≥．
〔2〕
(]3,8
【解析】 【分析】 〔1〕先求得
R
B 和A ，然后求得
(
)
R
B A .
〔2〕根据C B ⊆列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】〔1〕{}26A x x =≤<，因为
{3R
B x x =≤或者}9x ≥，
所以
(
)
{6R
B A x x ⋃=<或者}9x ≥． 〔2〕因为
C B ⊆，所以3
19
a a >⎧⎨
+≤⎩，得38a <≤，所以(]3,8a ∈．
【点睛】本小题主要考察集合并集、补集的运算，考察根据集合的包含关系求参数，属于根底题.
()()32log 324f x x x x =+-+的图象在[]2,5-内是连续不断的，对应值表如下：
〔1〕计算上述表格中的对应值a 和b ； 〔2〕从上述对应填表中，可以发现函数()f x 在哪几个区间内有零点？说明理由．
【答案】〔1〕8a =，4b =
〔2〕函数()f x 分别在区间()2,1--，()1,0-，()1,2内有零点,理由见解析
【解析】 【分析】 〔1〕利用
()()2,1f f -，求得,a b 的值.
〔2〕根据零点的存在性定理，判断出有零点的区间. 【详解】〔1〕由题意可知()()()()3
22log 23224201688a f =
-=-+-⋅-+⋅-=+-=，
()21log 4244b f ==-+=．
〔2〕∵
()()210f f -⋅-<，()()100f f -⋅<，()()120f f ⋅<， ∴函数()f x 分别在区间()2,1--，()1,0-，()1,2内有零点．
【点睛】本小题主要考察根据函数解析式求函数值，考察零点存在性定理的运用，属于根底题. ()214
f x x =-． 〔1〕判断函数
()f x 在区间()2,+∞上的单调性，并用单调性定义证明； 〔2〕求函数()f x 在区间[]3,4上的值域．
【答案】〔1〕单调递减，证明见解析
〔2〕11,125⎡⎤⎢⎥⎣
⎦ 【解析】
【分析】
〔1〕利用函数单调性的定义，计算
()()120f x f x ->，由此证得函数在区间()2,+∞上递减. 〔2〕根据〔1〕中求得
()f x 的单调性，求得函数在区间[]3,4上的值域. 【详解】〔1〕函数
()214f x x =-在区间()2,+∞上单调递减，证明如下： 任取()12,2,x x ∈+∞，且12x x <，
那么()()()()()()()()
222121211222222212121211444444x x x x x x f x f x x x x x x x -+--=-==------， ∵12x x <，∴2
10x x ->， 又∵()12,2,x x ∈+∞，∴210x x +>，2140x ->，2240x ->，
∴()()()()21212
212044x x x x x x -+>--，即()()12f x f x >．
由单调性的定义可知函数在区间
()2,+∞上单调递减． 〔2〕由〔1〕知函数()f x 在区间[]3,4上单调递减，
所以函数()f x 的最大值为()135f =，最小值为()1412
f =， 所以函数()f x 在区间[]3,4上的值域为11,125⎡⎤⎢⎥⎣⎦
． 【点睛】本小题主要考察利用函数单调性的定义证明函数的单调性，考察利用函数的单调性求函数的值域，属于根底题.
20.()f x 是定义在R 的奇函数，当0x ≥时，()2f x x ax =-+．假设函数()f x 在[)0,+∞上单调递减．
〔1〕求a 的取值范围；
〔2〕假设对实数[]5,2m ∈
--，()()210f m f m t -++<恒成立，务实数t 的取值范围． 【答案】〔1〕0a ≤
〔2〕1t >-
【解析】
【分析】
〔1〕根据函数
()f x 为奇函数，结合()00f =以及二次函数的单调性，得到02a ≤，由此求得a 的取值范围.
〔2〕根据函数()f x 的奇偶性和单调性化简()()210f m f m t -++<，别离常数t ，根据m 的取值范围，求得t 的取值范围.
【详解】〔1〕①∵
()f x 是定义在R 上的奇函数 ∵
()00f =，()2f x x ax =-+在[)0,+∞上单调递减 ∴02
a ≤，∴0a ≤． 〔2〕∵
()f x 在[)0,+∞上单调递减且在R 上是奇函数，故()f x 在R 上递减， 由()()()221f m f m t f m t -<-+=--得21m m t ->--
∴21t
m m >--+恒成立，[]5,2m ∈--．
令()21h m m m =--+， ∵对称轴12m =-
，∴[]5,2m ∈--时，()h m 为增函数， ∴当2m =-时，()h m 取到最大值1-．∴1t >-．
【点睛】本小题主要考察函数的单调性与奇偶性，考察函数不等式的解法，考察不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.
21.某家具厂消费一种办公桌，每张办公桌的本钱为100元，出厂单价为160元，该厂为鼓励销售商多订购，决定一次订购量超过100张时，每超过一张，这批订购的全部办公桌出厂单价降低1元．根据场调查，销售商一次订购量不会超过160张．
〔1〕设一次订购量为x 张，办公桌的实际出厂单价为P 元，求P 关于x 的函数关系式()P
x ； 〔2〕当一次性订购量x 为多少时，该家具厂这次销售办公桌所获得的利润
()f x 最大？其最大利润是多少
元？〔该家具厂出售一张办公桌的利润＝实际出厂单价－本钱〕 【答案】〔1〕()160,0100,260,100160,x x P x x x x <≤∈⎧=⎨-<≤∈⎩N N
〔2〕当第一次订购量为100张时，该家具厂在这次订购中所获得的利润最大，其最大利润是6000元．
【解析】
【分析】
〔1〕将订购量x 分为0100,100160x x <
≤<≤两种情况，求得办公桌的实际出厂单价的分段函数解析式.
〔2〕利用单价减去本钱，再乘以订购量，求得利润
()f x 的解析式.根据分段函数()f x 的解析式，结合函数的单调性，求得()f x 的最大值.
【详解】〔1〕依题意得()()160,0100,160100,100160,x x P x x x x <≤∈⎧=⎨--<≤∈⎩
N N 即()160,0100,260,100160,x x P x x x x <≤∈⎧=⎨-<≤∈⎩N N
．
〔2〕由〔1〕得()()60,0100,160,100160,x x x f x x x x x <≤∈⎧=⎨-<≤∈⎩
N N 即()260,0100,160,100160,x x x f x x x x x <≤∈⎧=⎨-+<≤∈⎩N N
〔i 〕当0100x <≤，那么100x =时，()()max 1006000f x f ==．
〔ii 〕当100150x <
≤，那么()f x 在(]100,150单调递减． ∴()()()150100f f x f ≤<
∴()15006000f x ≤<．
综上所述，
()f x 的最大值为6000． 答：当第一次订购量为100张时，该家具厂在这次订购中所获得的利润最大，其最大利润是6000元．
【点睛】本小题主要考察分段函数在实际生活中的应用，考察函数最值的求法，属于根底题.
R 上的函数()f x 满足()()
()22f f x x x f x x x -+=-+. 〔1〕当()3f x =时，求()1f ；当()0f a =时，求()f a .
〔2〕假设有且仅有一个实数0x ，使得
()00f x x =，求函数()f x 的解析式. 【答案】〔1〕
()f a a =；〔2〕()()21f x x x x =-+∈R 【解析】
【详解】〔1〕令2x
=，得()()()22222222f f f -+=-+. 因为()23f =，所以
()()2232232211f f -+=-+⇒=.
再令0x
=，得()()()00f f f =. 因为()0f a =，所以()f a a =.
〔2〕因为对任意的x R ∈，有()()
()22f f x x x f x x x -+=-+，又有且仅有一个实数0x ，使得()00f x x =，所以，()20f x x x x -+=.
令0x
x =，得()20000f x x x x -+=. 因为()00f x x =，那么2000x x -=.所以00x =或者01x =. 假设0
0x =那么()20f x x x -+=即()2f x x x =-.而2x x x -=有两个相等的实根，矛盾. 假设01x =那么()21f x x x -+=，即()21f x x x =-+.显然，方程21x x x -+=只有一个实根，满足要求.
综上，所求函数为()()21f x x x x R =-+∈.。