2018秋新版高中数学北师大版必修2习题：第二章解析几何初步 2.1.4

1.4　两条直线的交点
1.下列直线中,与直线2x-y-3=0相交的是( )
A.2ax-ay+6=0(a ≠0)
B.y=2x
C.2x-y+5=0
D.2x+y-3=0解析:选项A,B,C 中的直线均与直线2x-y-3=0平行.
答案:D
2.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+ky=0相交于一点,则k 的值等于( )
A.-2
B.-12
C.2
D.12
解析:由{2x +3y +8=0,x -y -1=0,
得{x =-1,y =-2.代入x+ky=0,有-1-2k=0,解得
k=-.12答案:B
3.已知点A (0,-1),点B 在直线x-y+1=0上,直线AB 垂直于直线x+2y-3=0,则点B 的坐标是( )
A .(-2,-3)
B .(2,3)
C .(2,1)
D .(-2,1)
答案:B
4.直线l 经过l 1:x+y-2=0与l 2:x-y-4=0的交点P ,且过线段AB 的中点Q ,其中A (-1,3),B (5,1),则直线l 的方程是( )
A .3x-y-8=0
B .3x+y+8=0
C .3x+y-8=0
D .3x-y+8=0
解析:由得两直线交点P 为(3,-1),又因为点Q 为(2,2),所以直线l 的斜率为-3,所以所求{x +y -2=0,
x -y -4=0,直线l 的方程为y+1=-3(x-3),即3x+y-8=0.
答案:C
5.若点A (3,-4)与点A'(5,8)关于直线l 对称,则直线l 的方程是( )
A.x+6y+16=0
B.6x-y-22=0
C.6x+y+16=0
D.x+6y-16=0
解析:AA'中点为(4,2),k AA'=
=6,所求直线为y-2=-(x-4),即x+6y-16=0.
8-(-4)5-316答案:D
★6.直线l :y=kx-1与不相交,则k 的值是( )y -2x -1
=12A .或3B .C .3D .或2
121213解析:表示直线x-2y+3=0去掉点(1,2),所以直线l :y=kx-1与不相交只有直线l 与x-y -2x -1=12y -2x -1
=122y+3=0平行或直线l 过点(1,2),所以k
的取值为或3.
12答案:A 7.过点A (ln 1,log 28)及直线3x-y+3=0与x 轴的交点的直线的一般式方程为 .
解析:点A 的坐标为(0,3),直线3x-y+3=0与x 轴的交点坐标为(-1,0),由截距式得所求直线方程为=1,即3x-y+3=0.
x -1+y 3答案:3x-y+3=0
★8.入射光线在直线l 1:2x-y-3=0上,经过x 轴反射的直线为l 2,再经过y 轴反射的直线为l 3,则直线l 3的方程为 .
解析:2x-y-3=0与x 轴交点为,所以2x-y-3=0关于x 轴的对称直线为2x+y-3=0,而直线经过互为(32
,0)直角的两直线反射后斜率不变,所以l 3的方程为2x-y+3=0.
答案:2x-y+3=0
9.求证:不论m 为何实数,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都过某一定点.
证明方法一:取m=1时,直线方程为y=-4;取m=时,直线方程为x=9,两直线的交点为P (9,-4),将点P
12的坐标代入原方程左边,得(m-1)×9+(2m-1)×(-4)=m-5=右边.
故不论m 为何实数,点P (9,-4)总在直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5上,即直线恒过点P (9,-4).
方法二:原方程可化为(x+2y-1)m+(-x-y+5)=0.
若对任意m 都成立,则有解得{x +2y -1=0,x +y -5=0,{x =9,
y =-4,
故不论m 为何实数,所给直线都过定点P (9,-4).
10.已知直线l 1:(a+3)x+4y=5-3a 与l 2:2x+(a+5)y=8,求当a 为何值时,
(1)直线l 1与l 2相交且交点在x 轴上方;
(2)直线l 1与l 2平行.
解(1)由{
(a +3)x +4y =5-3a ,
2x +(a +5)y =8,
消去x 得(a 2+8a+7)y=14(a+1),
即y=>0,
14(a +1)a 2+8a +7=14a +7且a+1≠0,所以a>-7且a ≠-1.
(2)若l 1∥l 2,
则解得a=-7.
{
(a +3)(a +5)-8=0,
8(a +3)-2(5-3a )≠0,11.已知直线l 经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点P ,且垂直于直线x-2y-1=0.
(1)求直线l 的方程;
(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S.
解(1)由解得{3x +4y -2=0,2x +y +2=0,{x =-2,y =2.
所以点P 的坐标是(-2,2).
又所求直线l 与直线x-2y-1=0垂直,
所以可设直线l 的方程为2x+y+C=0.因为直线l 过点P ,把点P 的坐标代入得2×(-2)+2+C=0,即C=2.故所求直线l 的方程为2x+y+2=0.
(2)由直线l 的方程知,它在x 轴、y 轴上截距分别是-1,-2,所以直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S=×1×2=1.
12★12.已知平面上两点A (4,1)和B (0,4),在直线l :3x-y-1=0上求一点M :(1)使||MA|-|MB||最大;(2)使|MA|+|MB|最小.
解(1)先作点B 关于l 的对称点B',连接AB'并延长交l 于点M ,则点M 即为所求.由图①知A ,B',M 三点共线且M 在线段AB'的延长线上时,||MA|-|MB||最大.
设线段BB'的中点坐标为(x ,3x-1),又由BB'关于l 对称得点B'的坐标为(2x ,6x-6),
且k BB'·k l =-1,即
=-,解得x=.6x -6-42x -01332∴点B'的坐标为(3,3).
∴AB'所在直线方程为,即2x+y-9=0.
y -1
3-1=x -4
3-4此时,由{2x +y -9=0,3x -y -1=0,得{x =2,y =5.
即点M 的坐标为(2,5).
图
①
图②
(2)连接AB ,交l 于点M ,则点M 即为所求.由图②知A ,M ,B 三点共线且M 在线段AB 上时,|MA|+|MB|最小.
由题意知AB 所在直线方程为,
y -1
4-1
=x -4-4即3x+4y-16=0.此时由解得{3x +4y -16=0,3x -y -1=0,{x =43
,y =3.所以点M 的坐标为.(43,3)。