2024-2025学年四川省成都市石室中学高三上学期10月月考数学试题及答案

成都石室中学2024～2025学年度上期高2025届十月考试
数学试卷
一、
选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请
把
正确的选项填涂在答题卡相应位置.
1. 已知集合{}1,2,4A =,2
{|20}B x N x x =∈+-≤,则A B =
A.{}2,1,0,1,2,4--
B. {}0,1,2,4
C.{}1,2,4
D. {}
12. 2024年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一,奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在10米气步枪混合团体赛中获得,两人在决赛中14次射击环数如右图,则A.盛李豪的平均射击环数超过10.6B.黄雨婷射击环数的第80百分位数为10.65
C.盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差
D.黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差
3.已知0.10.6a =,0.6log 0.3b =,0.6log 0.4c =,则a ,b ,c 的大小关系为A. b c a >> B. a b c >> C. c b a >> D. a c b >>
4.已知实数a ,b ,c 满足a b c >>，且0a b c ++=，则下列说法正确的是
A.2
2
ab cb > B.
222a c c a
+≥ C. ||||a b > D. 0ab bc +>5.“函数2
()ln(22)f x x ax =-+
的值域为R”的一个充分不必要条件是
A.[
B.(
C
．(
)
-∞+∞
U D ．)
+∞6. 核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡. 已知氚的半衰期约为12年，则氚含量变成初始量的1
10000
大约需要经过( )年.
（lg 20.3010≈）
A. 155
B.159
C. 162
D. 166
7.若函数()y f x =的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是
A. (12)y f x =-
B. 1
(1)2y f x =-
C. (12)y f x =--
D. 1
(1)
2
y f x =--8. 已知函数11,0,()22
21,0.
x x x f x x ⎧+>⎪
=⎨⎪-≤⎩,则方程()(3)2f x f x +-=的所有根之和为A ．0 B ．3
C ．6
D ．9
二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。

全部选对的得6分,
部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．已知函数()f x 的定义域为R ,()()()22f x y f x f y +=+，则
A ．()00f =
B ． ()11f =
C ．f (x )是奇函数
D ．f (x )在R 上单调递增10．已知复数12z ,z 的共轭复数分别为21,z z ，则下列命题为真命题的是A ．121
z z z +=+ B ．1212
z z z z ⋅=⋅C ．若12z z 0->，则12z z > D ．若2
22
12
12z z z z =++，则2121z z z z 0
+⋅⋅=11.设函数
()()(ln f x x a x b =++,则下面说法正确的是
A. 当0,1a b ==时，函数()f x 在定义域上仅有一个零点
B. 当0,0a b ==时，函数
()f x 在(1,)+∞上单调递增
C.若函数
()f x 存在极值点,则a b ≤ D.若()0f x ≥,则22a b +的最小值为
12
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若函数2
()23f x x kx =++在[1,2]上单调，则实数k 的取值范围为_____．
13.若()y f x =是定义在R 上的奇函数，()(2)f x f x =-，(1)2f =，则(1)(2)(3)(2025)f f f f ++++= __ __________．
14. 若过点
1,)b （作曲线e x
y x =的切线有且仅有两条，则b 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数()1ln 1
kx
f x x -=-为奇函数．（1）求实数k 的值；
（2）若函数()()2x
g x f x m =-+，且()g x 在区间[]2,3上没有零点，求实数m 的取值范围．
16.（15分）已知三棱锥D-ABC ，D 在平面ABC 上的射影为△ABC 的重心O ，15AC AB ==，24BC =.（1）证明：BC ⊥AD ；
（2）E 为AD 上靠近A 的三等分点，若三棱锥D-ABC 的体积为432，求二面角E CO B --的余弦值．
17. （15分）某小区有3000名居民，想通过验血的方法筛选乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占%a .为减轻工作量，随机地按n 人一组分组，然后将各组n 个人的血样混合在一起化验.若混合血样呈阴性，说明这n 个人全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次。

（1）若0.2,20,a n ==试估算该小区化验的总次数；
（2）若0.9a =，且每人单独化验一次花费10元，n 人混合化验一次花费9n +元，求当n 为何值时，每个居民化验的平均费用最少.
注：假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.当00.01p <<时，(1)1n
p np -≈-.
16题图
A
C
18. （17分）在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,1A ，()1,1B -，动点P 满足OP mOA nOB =+
，且1mn =.设动点P
形成的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；
（2）过点()2,2T 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，试判断是否存在直线l ，使得A ，B ，M ，N 四点共圆.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
19. （17分）在高等数学中，我们将()y f x =在0x x =处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：()()()())
()()()
2
000000!
n n
f x f x f x f x x x x x x x n =+'--+⋅⋅⋅+
-+⋅⋅⋅（其中()
()n f
x 表示()f x 的n 次导数
*3,N n n ≥∈）
，以上公式我们称为函数()f x 在0x x =处的泰勒展开式.当00x =时泰勒展开式也称为麦克劳林公式.比如e x 在0x =处的麦克劳林公式为：22111
e 12!3!
x n x x x x n =++++++ ！，由此当0x ≥时，可以非常容易得到不等式223111e 1,e 1,e 1,226
x x x x x x x x x ≥+≥++≥+++ 请利用上述公式和所学知识完成下列问题：(1)写出sin x 在0x =处的泰勒展开式;
(2)若30,2x ⎛⎫
∀∈ ⎪⎝⎭
，sin e 1a x x >+恒成立，求a 的范围;（参考数据5ln 0.92≈）
(3)估计5
ln 3
的近似值.（精确到0.001）
成都石室中学2024～2025学年度上期高2025届十月月考
数学参考答案
一、
选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置.1. 已知集合{}1,2,4A =,2
{|20}B x N x x =∈+-≤,则A B =
A.{}2,1,0,1,2,4--
B. {}
0,1,2,4
C.{}
1,2,4
D. {}
1【答案】B
【解析】{0,1}B =，故{0,1,2,4}A B = ，故选B.
2. 2024年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一,奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在10米气步枪混合团体赛中获得,两人在决赛中14次射击环数如右图,则A.盛李豪的平均射击环数超过10.6B.黄雨婷射击环数的第80百分位数为10.65
C.盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差
D.黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差【答案】C
【解析】盛李豪的射击环数只有两次是10.8环，5次10.6
其余都是10.6环以下，所以盛李豪平均射击环数低于10.6，故A 错误；由于140.811.2⨯=，故第80百分位数是从小到大排列的第12个数10.7，故B 错误；由于黄雨婷的射击环数更
分散，故标准差更大，故C 正确；黄雨婷射击环数的极差为10.8-9.7=1.1，盛李豪的射击环数极差为10.8-10.3=0.5，故D 错误.故选C.
3.已知0.10.6a =,0.6log 0.3b =,0.6log 0.4c =,则a ,b ,c 的大小关系为A. b c a >> B. a b c >>
C. c b a >>
D. a c b
>>【答案】A
【解析】由于0.6log y x =在(0,)+∞单调递减，故0.6log 0.61b c >>=，又因为1a <，所以b c a >>，故选A.4.已知实数a ,b ,c 满足a b c >>，且0a b c ++=，则下列说法正确的是A.22ab cb > B.
222a c c a
+≥ C. ||||a b >
D. 0
ab bc +>【答案】C
【解析】由题，0,0a c ><，取1,0,1a b c ===-，则22ab cb =，故A 错误；
2522
a c c a +=-，故B 错误；0a
b b
c +=，故D 错误；因为22()()()0a b a b a b c a b -=+-=-->，所以22a b >，即||||a b >，故C 正确.故
选C.
5. “函数2
()ln(22)f x x ax =-+的值域为R”的一个充分不必要条件是
A.[
B.(
C
．
(
)-∞+∞U D
．)
+∞【答案】D
【解析】因为函数2
()ln(22)f x x ax =-+的值域为R ，所以在方程2220x ax -+=中，0∆≥，即2480a -≥，
解得a ≥
a ≤
)+∞是“函数2
()ln(22)f x x ax =-+的值域为R”的充分不必要条件.故选
D.
6. 核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡。

已知氚的半衰期约为12年，则氚含量变成初始量的1
10000
大约需要经过( )年.
（lg 20.3010≈）A. 155 B.159 C. 162 D. 166
【答案】B
【解析
1211210000t =，1
2
1log 1210000t =，即36
159lg 2
t =
≈，故选B.7.若函数()y f x =的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是A. (12)y f x =- B.
1
(1)2y f x =- C. (12)y f x =-- D. 1
(1)
2
y f x =--【答案】A
将函数()y f x =的图关于y =轴对称，得到()y f x =-的图，向右平移1个单位得到(1)y f x =-的图，最后纵坐
8.已知函数1
1,0,
()22
21,0.
x x x f x x ⎧+>⎪=⎨⎪-≤⎩,则方程()(3)2f x f x +-=的所有根之和为A ．0 B ．3
C ．6
D ．9
【答案】C
【解析】方程()(3)2f x f x +-=的根为函数
()y f x =和2(3)y f x =--的图象交点横坐标，
由函数11,0,()22
21,0.x x x f x x ⎧+>⎪
=⎨⎪-≤⎩得，31
,3,2(3)2
32,3,
x x x y f x x -⎧<⎪
=--=⎨⎪-≥⎩如下图所示，两函数图象共有4个交点，且由于两个函数图象关于点3
(,1)2
中心对称，故方程()(3)2f x f x +-=的所有根之和为6，故选C.
二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分。

在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。

全部选对的得6分, 部分选对的得部分分,有选错的得0分,。

9．已知函数()f x 的定义域为R ,)()()22f x y f x f y +=+，则A ．()00
f =
B ．()11
f =C ．f (x )是奇函数
D ．f (x )在R 上单调递增
【答案】 AC
【解析】由()()()22f x y f x f y +=+知，当0x y ==时， ()()300f f =，即()00f =，故A 正确；若()f x x =-，则()f x 满足条件()()()22f x y f x f y +=+，但()11f =-，且f (x )是在R 上单调递减，故B,D 错误；当
,x t y t =-=时，()()()2f t f t f t =-+，即()()f t t f -=-，故C 正确，故选AC.
10．已知复数12z ,z 的共轭复数分别为21,z z ，则下列命题为真命题的是A ．1212
z z z z +=+
B ．1212z z z z ⋅=⋅
C ．若12z z 0->，则12z z >
D ．若2
22
12
12z z z z =++，则2121z z z z 0
+⋅⋅=【答案】ABD
i,i z a b z c d =+=+,,,R a b c d ∈
12i i ()i z z a b c d a c b d +=+++=+++，12()i
a c z
b d z +=+-+所以12()i a
c z b
d z -=+++，所以1212z z z z +=+，故A 正确；
12i)(i)()i (()z z a b c d ac bd bc ad ++=--+=，12i)(i)()i (()z z a b c d ac bd bc ad --=--+=，故B 正确；当1212i,2i
z z =+=时，满足1210z z -=>，但不能得出12z z >，故C 错误；
222
121212121211221212121221()()()()z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z +++===++=++++++，故
11220z z z z +=，故D 正确，故选ABD.
11.设函数
()()()ln f x x a x b =++,则下面说法正确的是
A. 当0,1a b ==时，函数()f x 在定义域上仅有一个零点
B. 当0,0a b ==时，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增
C.若函数
()f x 存在极值点,则a b
≤D.若
()0f x ≥,则22a b +的最小值为
12
【答案】ABD
【解析】当0,1a b ==时， ()ln(1)f x x x =+，由()0f x =得，0x =，函数()f x 在定义域上仅有一个零
点，故A 正确；当0a b ==时，函数
()ln f x x x =,当1x >时，()ln 10f x x '=+>，故函数()f x 在(1,)+∞上
单调递增，故B 正确； ()ln()ln()1x a a b
f x x b x b x b x b
+-'=++
=+++++，当a b ≤时，函数()f x '在定义域上单调递增，且当x b →-时，()f x '→-∞，当x →+∞时，()f x '→+∞，此时函数()f x '存在零点0x ，即函数
函数
()f x 在0(,)b x -上单调递减，在0(,)x +∞上单调递递增，故此时函数()f x 存在极值点，当a b >时，
()2212()()
a b x b a
f x x b x b x b -+-''=
-=+++，故函数()f x '在(,2)b a b --上单调递减，在(2,)a b -+∞上单调递递增，故
()()2ln()2f x f a b a b '≥'-=-+，故当2
1
e b a b <<+
时，函数()f x '存在零点，函数()f x 存在极值点,综上，当函数()f x 存在极值点时，21
e
b a b <<+
或a b ≤，故C 错误；对于D ，()()ln 0x a x b ++≥恒成立,当
()0f x =时，x a =-或1x b =-，当且仅当两个零点重合时, 即1a b -=-，函数()f x 在(1,)a a ---上单调递
减，在(,)a -+∞上单调递增，满足()()ln 0x a x b ++≥, 则2
2
2
12212a b b b +=-+≥
,当1
2
b =时取“=”，故D 正确，故选ABD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。

12.若函数2
()23f x x kx =++在[1,2]上单调，则实数k 的取值范围为_____．
【答案】8k ≤-或4
k ≥-【解析】函数2
()23f x x kx =++的对称轴为04k x =-
，故当24k -≥或14
k
-≤时，函数()f x 在[1,2]上单调，即8k ≤-或4k ≥-，故答案为8k ≤-或4k ≥-.
13.若()y f x =是定义在R 上的奇函数，()(2)f x f x =-，(1)2f =，则(1)(2)(3)(2025)f f f f +++= ________．【答案】2
【解析】因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，故()()f x f x -=-，又因为()(2)f x f x =-，
所以(2)()f x f x -=--,故(2)()f x f x +=-，所以，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即()y f x =的周期为4，由于()y f x =为定义在R 上的奇函数，故(0)0f =，(2)(0)0f f ==，(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，故
(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(1)(2)(3)(2025)f f f f +++= 506[(1)(2)(3)(4)](1)2f f f f f ⨯++++=，
故答案为2.
14. 若过点
1,)b （作曲线e x
y x =的切线有且仅有两条，则b 的取值范围是 ．
【解析】设切点为000(,)x
x x e ，()(1)x
f x x e '=+，故切线方程为0
0000(1)()x x y x e x e x x -=+-，将
1,)b （代入切线
方程得0
002
00000(1)(1),(1)x x x b x e
x e x b x x e -=+-∴=-+，令2
()(1)x
g x x x e =-+，则
2()(2)(1)(2)x x g x x x e x x e '=--=--+，
故()g x 的单调减区间(,2),(1,)-∞-+∞，增区间是(2,1)-.当x →-∞时，
()y g x =有且仅有两个交点时，
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）已知函数()1ln 1
kx
f x x -=-为奇函数．(1)求实数k 的值；
(2)若函数()()2x
g x f x m =-+，且()g x 在区间[]2,3上没有零点，求实数m 的取值范围．
【答案】(1) 1-;(2) (,4ln 3)(8ln 2,)
m ∈-∞--+∞ 【解析】（1）因为()1ln 1
kx
f x x -=-是奇函数，所以()()f x f x -=-，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分 即1
11ln ln ln 111kx kx x kx
x x +-=--=----，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 所以
1111
kx x kx
x +=----，故22211k x x -=-，则1k =±，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分 当1k =时，
111
x
x -=--显然不成立;经验证：1k =-符合题意；所以1k =-；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 （2）由1()ln
21x x g x m x +=-+-，22
()2ln 21
x g x x '=---，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分 当[2,3]x ∈时，()0g x '<，故()g x 在[2,3]上单调递减. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 故()[ln 28,ln 34]g x m m ∈-+-+.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分 因为()g x 在区间[]2,3上没有零点，所以ln 280m -+>或ln 340m -+<∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 所以(,4ln 3)(8ln 2,)m ∈-∞--+∞ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13分
16.（15分）已知三棱锥D-ABC ，D 在平面ABC 上的射影为△ABC 的重心O ，15AC AB ==，24BC =.(1)证明：BC ⊥AD ；
(2)E 为AD 上靠近A 的三等分点，若三棱锥D-ABC 的体积为432，求二面角E CO B --的余弦值．【答案】（1）见解答；（2
）【解析】（1）如图所示，连结AO 并延长交BC 于M ，因为O 为△ABC 的重心，所以M 是BC 的中点，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分 又因为AC AB =，所以由等腰三角形三线合一可得AM BC ⊥，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分 因为D 在平面ABC 上的射影为O ，所以OD ⊥平面ABC ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 又BC ⊂平面ABC ，所以OD BC ⊥，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分 又,,AM OD O AM OD =⊂ 平面AMD ，所以BC ⊥平面AMD ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分
又AD ⊂平面AMD ，所以BC AD ⊥，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 （2）由（1）知AM BC ⊥，OD ⊥面ABC ，过M 作z 轴平行于OD ，则z 轴垂直于面ABC ，A
C
在ABC 中，15AC AB ==，24BC =由（1）知，AM BC ⊥，
故
9AM ==，
1
1082
ABC S AM BC =
⋅= ，8分
所以三棱锥A-BCD 的体积为
11
10843233
ABC S OD OD ⋅=⨯⨯= ，则12OD = 因为O 为△ABC 的重心，故
133
OM AM ==，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 则()()()()()0,12,0,0,12,0,3,0,0,9,0,0,3,0,12C B O A D -，
()()()
6,0,0,6,0,12,3,12,0OA AD OC ==-=--
因为E 为AD 上靠近A 的三等分点，所以()12,0,43
AE AD ==-
，
故()14,0,43
OE OA AD =+=
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分
设(),,n x y z = 为平面ECO 的一个法向量，则4403120
n OE x z n OC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，取4x =，则1,4y z =-=-，故()4,1,4n =--
，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分
易得()0,0,1m =
是平面COB 的一个法向量，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13分 设二面角E CO B --的平面角为θ，则θ为钝角，
所以cos cos ,m n θ=-== 所以二面角E CO B --
的余弦值为∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙15分 17. （15分）某小区有3000名居民，想通过验血的方法筛选乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占%a .为减轻工作量，随机地按n 人一组分组，然后将各组n 个人的血样混合在一起化验.若混合血样呈阴性，说明这n 个人全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次。

（1）若0.2,20,a n ==试估算该小区化验的总次数；
（2）若0.9a =，且每人单独化验一次花费10元，n 人混合化验一次花费9n +元，求当n 为何值时，每个居民化验的平均费用最少.
注：假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.当00.01p <<时，(1)1n
p np -≈-.
【答案】(1)270;(2)10
【解析】（1）设每组需要检验的次数为X ，若混合血样为阴性，则X=1，若混合血样呈阳性，则X=21，1分
C
所以20(1)(10.002)P X ==-，20
(21)1(10.002)P X ==--，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 所以20
2020
()1(10.002)
21[1(10.002)]2120(10.002)E X =⨯-+⨯--=-⨯-2120(1200.002) 1.8≈-⨯-⨯=∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分
一共有300020150÷=组，故估计该小区化验的总次数是1.8150270⨯=.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分
（2）设每组n 人总费用为Y 元，若混合血样呈阴性，则Y=n+9；若混合血样呈阳性，则Y=11n+9, 8分
故(9)(10.009)n P Y n =+=-，(119)1(10.009)n
P Y n =+=--∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分
()(9)0.991(119)(10.991)11100.9919n n n E Y n n n n =+⋅++⋅-=-⨯+∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分
每位居民的化验费用为()11100.991999
11100.9911110(10.009)n n E Y n n n n n n n
-⨯+==-⨯+≈-⨯-+
=911100.091 2.8n n -++
≥+=元∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14分 当且仅当9
0.09n n
=
，即10n =时取等号，故n=10时，每个居民化验的平均费用最少.15分 18. （17分）在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,1A ，()1,1B -，动点P 满足OP mOA nOB =+
，且1mn =.设动点
P 形成的轨迹为曲线C .
（1）求曲线C 的方程；
（2）过点()2,2T 的直线l 与曲线C M ，N 两点，试判断是否存在直线l ，使得A ，B ，M ，N 四点共圆.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
【答案】（1）22
144
x y -=；（2）不存在
【解析】（1）设(
),P x y ，则(),OP x y =u u u r
，()1,1OA = ，()1,1OB =- ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分 因为OP mOA nOB =+
，所以()()()(),1,11,1,x y m n m n m n =+-=+-，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分
所以x m n =+，y m n =-，所以2x y m +=
，2
x y
n -=，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 又因为122x y x y mn +-=⋅=，整理得22
144
x y -=，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分 所以曲线C 的方程为22
144x y -
=；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分 （2）易知当l 的斜率不存在时，直线l 与曲线C 没有两个交点，所以直线l 的斜率存在，
6分
设l ：()22y k x =-+，将直线l 与曲线C 联立，得22(2)2
14
4y k x x y =-+⎧⎪
⎨-=⎪
⎩，
消去y ，整理得()222
12(22)4880k x k k x k k ----+-=，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分
因为()()2222
4(22)4148832(1)0k k k k k k ∆=----+-=->且210k -≠，
所以1k <且1k ≠-，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分 设()11,M x y ，()22,N x y ，则1241k x x k +=+，2122488
1
k k x x k -+=-，
所以MN 的中点22,11k H k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，且1x M N =-=9分
将1241k x x k +=+，2122488
1
k k x x k -+=-代入上式，
整理得MN =∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分
当0k ≠时，线段MN 的中垂线方程为1l ：12214
111
k y x x k k k k k ⎛⎫=--+
=-+ ⎪+++⎝⎭， 11分
令y ＝0，解得41k x k =+，即1l 与x 轴的交点坐标为4,01k Q k ⎛⎫
⎪+⎝⎭，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 当k ＝0时，线段MN 的中垂线为y 轴，与x 轴交于原点，符合Q 点坐标，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13分
因为AB 的中垂线为x 轴，所以若A ，B ，M ，N 共圆，则圆心为4,01k Q k ⎛⎫
⎪+⎝⎭
，
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14分
所以()2222
2
81442211111(1)(1)
k k k k k k k k k +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-+=++ ⎪ ⎪ ⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙15分 整理得32622100k k k -++=，即()2
2(1)3450k k k +-+=，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙16分
因为1k <且1k ≠-，
所以上述方程无解，即不存在直线l 符合题意. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙17分
19. （17分）在高等数学中，我们将()y f x =在0x x =处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：()()()()()()
()()()
2
00000002!
!
n n
f x f x f x f x f x x x x x x x n ''=+'-+
-+⋅⋅⋅+
-+⋅⋅⋅（其中()
()n f
x 表示()f x 的n 次导数
*3,n n N ≥∈）
，以上公式我们称为函数()f x 在0x x =处的泰勒展开式.当00x =时泰勒展开式也称为麦克劳林公式.比如e x 在0x =处的麦克劳林公式为：22111
e 12!3!
x n x x x x n =++++++ ！，由此当0x ≥时，可以非常容易得到不等式2231111,1,1,226
x x x e x e x x e x x x ≥+≥++≥+++ 请利用上述公式和所学知识完成下列问题：(1)写出sin x 在0x =处的泰勒展开式.
(2)若30,2x ⎛⎫
∀∈ ⎪⎝⎭
，sin e 1a x x >+恒成立，求a 的范围;（参考数据5ln 0.92≈）
(3)估计5
ln 3
的近似值（精确到0.001）
【答案】（1）13521
11(1)sin 3!5!(21)!
n n x x x x x n --+-=-+++- ；（2）1a ≥；（3）0.511
【解析】(1)sin x 在0x =处的泰勒展开式为：
13521
11(1)sin 3!5!(21)!n n x x x x x n --+-=-+++- ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分
（2）因为13521
11(1)sin 3!5!(21)!
n n x x x x x n --+-=-++
+- 由sin x 在0x =处的泰勒展开式，先证3310,,sin 26x x x x ⎛⎫
∀∈>- ⎪⎝⎭
，
令3211
()sin ,()cos 1,()sin 62
f x x x x f x x x f x x x =-+
'=-+''=-，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 ()1cos f x x '''=-，易知()0f x '''>，所以()f x ''在30,2
⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增，
所以()(0)0f x f ''>''=，所以()f x '在30,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，所以()(0)0f x f '>'=，∙∙∙∙∙∙∙∙4分
所以()f x 在30,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，所以()(0)0f x f >=，
再令31()ln(1)6g x x x x =--+，30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，易得1
(1)(2)
2()1
x x x g x x --+'=+， 所以()g x 在(0,1)上单调递增，在31,2⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分
而3155(0)0ln 02162,g g ⎛⎫==
-> ⎪⎝⎭，所以30,,()02x g x ⎛⎫
∀∈> ⎪⎝⎭
恒成立，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分 当1a ≥时，3
1sin sin ln(1)6
a x x x x x ≥>-
>+ ，所以sin e 1a x x >+成立，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分 当1a <时，令()sin ln(1)h x a x x =-+，30,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，易求得(0)10h a '=-<，
所以必存在一个区间(0,)m ，使得()h x 在(0,)m 上单调递减，
所以(0,)x m ∈时，()(0)0h x h <=，不符合题意. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分 综上所述，1a ≥.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分
（3）因为1
154ln ln ,
1314
+
=-转化研究1ln 1x x +-的结构∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分
23456
ln(1)23456
x x x x x x x +=-+-+-+ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13分
23456
ln(1)23456
x x x x x x x -=-------
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14分 两式相减得35
122ln
2135
x x x x x +=+++- ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙15分
取
1
,
4
x=得35
512121
ln2(()0.5108
343454
=⨯+⨯+⨯+≈
所以估计
5
ln
3的近似值为
0.511（精确到0.001）.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙17分。