山东省青岛理工大学附中高考数学一轮复习 推理与证明精品训练 新人教A版

青岛理工大学附中三维设计2014年高考数学一轮复习：推理与证明
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一个质点从A 出发依次沿图中线段到达B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 、J 各点，最后又回到A （如图所示），其中：AB BC ⊥，////////AB CD EF HG IJ ，
////BC DE ////FG HI JA ．欲知此质点所走路程，至少需要测量n 条线段的长度，则n =( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B
2．已知a ,b ,m ∈R ，则下面推理中正确的是( )
A ．a>b 1>⇒
b
a
B ．22bm am b a >⇒>
C ．b
a a
b b a 110,33<⇒
>> D ． b
a a
b b a 110,22<⇒
>> 【答案】C
3．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：
1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列{}*
()n a n N ∈的
前12项，如下表所示：
按如此规律下去，则200920102011a a a ++=( )
A ．1003
B ．1005
C ．1006
D ．2011 【答案】B
4．设a 、b 是两个实数，给出的下列条件中能推出“a 、b 中至少有一个数大于1”的条件是( )
①a ＋b ＞1 ②a ＋b ＝2 ③a ＋b ＞2 ④a 2＋b 2
＞2 ⑤ab ＞1
A ．②③
B ．③⑤
C ．③④
D ．③ 【答案】D
5．记I 为虚数集，设a ，R b ∈，,x y I ∈。

则下列类比所得的结论正确的是( )
A ．由R b a ∈⋅，类比得I y x ∈⋅
B ．由02≥a ，类比得02≥x
C ．由2222)(b ab a b a ++=+，类比得2
222)(y xy x y x ++=+
D ．由b a b a ->⇒>+0，类比得y x y x ->⇒>+0 【答案】C 6．已知222233+
=，333388+=，…，66a a b b
+=，则可推测实数a ，b 的值分别为( )
A ．6,35
B ．6,17
C ．5,24
D ．5,35 【答案】A
7．如图，第n 个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1、2、3、…),则在第n 个图形中共有（ ）个顶点。

A ．(n+1)(n+2)
B ． (n+2)(n+3)
C ． 2
n D ． n 【答案】B
8．给出定义：若函数)(x f 在D 上可导，即)('x f 存在，且导函数)('
x f 在D 上也可导，
则称)(x f 在D 上存在二阶导函数，记)("x f ＝'')]([(x f .若0)("
<x f 在D 上恒成立，
则称)(x f 在D 上为凸函数. 以下四个函数在)2
,0(π
上不是．．
凸函数的是( )
A ．x x x f cos sin )(+=
B ．x x x f 2ln )(-=
C ．)(x f =-123
-+x x
D ．)(x f =-x xe -.
【答案】D 9．集合{}
32,m A n m n m n N =+>∈且，若将集合A 中的数按从小到大排成数列
{}n a ，则
有
113203a =+⨯=，
223209a =+⨯=，
2332111
a =+⨯=，
34327
a ==，……依
此类推，将数列依次排成如图所示的三角形数阵，则第六行第三个数为( )
A ．247
B ．735
C ．733
D ．731 【答案】C
10．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a ≠
⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，
这是因为( )
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．非以上错误
【答案】A 11．
，经计算得
f(32)>7
2
．推测：当n ≥2时，有( )
A ．f(2n －1)>n ＋12
B ．f(2n )>n ＋22
C ．f(2n )>n 2
D ．f(2n －1
)>n 2
【答案】B
12．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式3
16
9
d V ≈。

人们还用过一些类似的近似公式．根据π =3.14159L 判断，下列近似公式中最精确的一个是( ) A ．3
16
9
d V ≈
B ．3
2d V ≈
C ．3
300
157
d V ≈
D ．3
2111
d V ≈
【答案】D
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．若不等式1
(1)(1)2n n
a n
+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是
． 【答案】3[2,)2
-
14．设()1
22
*
,0,3,n n
x R x x x x x n N --∈≠+=+∈且若归纳猜想的个位数字是
【答案】7
15．若数列{}n a 是等差数列，则有：
0)()()(=-+-+-n m p a m p a p n a n m （其中
p n m ,,是互不相等的正整数）。

类比上述性质，写出等比数列的一个性质：对等比数列
{}n b ，有____________
【答案】
1
=⋅⋅---m p n p n m n m p b b b （其中p n m ,,是互不相等的正整数）。

16．将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第行
从左向右的第3个数为____________。

【答案】
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知a ，b ，c 均为实数，且2πa =x 2y +2-，2πb =y 2z +3-，2π
c =z 2x +6
-，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.
【答案】假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，得a+b+c ≤0，
而a+b+c=(x －1)2+(y －1)2+(z －1)2
+π－3>0，
即a+b+c>0，与a+b+c ≤0矛盾，故假设a ，b ，c 都不大于0是错误的， 所以a ，b ，c 中至少有一个大于0.
18．已知四边形ABCD 是圆内接四边形，直线AC,BD 相交于P 点，并且AB AD ＝CB
CD ．设E 为AC
的中点.求证：EB ED ＝PB
PD
．
【答案】由托勒密定理，得AB ×CD ＋AD ×BC ＝AC ×BD.因为AB ×CD ＝AD ×BC ，AE ＝EC ，所以有2AB ×CD ＝2AE ×BD ＝2EC ×BD ，即有AB ×CD ＝AE ×BD ＝EC ×BD.在△CED 与△BAD 中，因为∠ABD ＝∠ECD ，AB ×CD ＝EC ×BD ，故△CED ∽△BAD ，从而有∠CED ＝∠BAD.同理可得△ABE ∽△DBC ，∠AEB ＝∠DCB.于是得到∠AEB ＝∠DCB ＝180°－∠BAD ＝180°－∠CED ＝∠AED ，此即EP 平分∠BED.因此由角平分线定理，得 BP PD ＝BE ED ． AB AD CB
CD
19．已知实数a b c d ，，，满足1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证a b c d ，，，中至少有一个
是负数．
【答案】假设a b c d ，，，都是非负实数，因为1a b c d +=+=， 所以a b c d ，，，[01]∈，，所以2a c ac ac +≤≤，2
b c
bd bd +≤≤， 所以122
a c
b d
ac bd ++++=≤
， 这与已知1ac bd +>相矛盾，所以原假设不成立，即证得a b c d ，，，中至少有一个是负数．
20．用反证法证明：如果1
2
x >
，那么2210x x +-≠. 【答案】假设2210x x +-=，则12x =-±容易看出1122--<
，下面证明1122
-+<.要证明：1122-+<成立，只需证：322<成立，只需证：9
24<成立，上式显然成立，
故有1122-+<成立. 综上，1122x =-±<，与已知条件1
2
x >矛盾.因此，
2210x x +-≠
21．求证：222
2,2,2y ax bx c y bx cx a y cx ax b =++=++=++（,,a b c 是互不相等的实
数），三条抛物线至少有一条与x 轴有两个交点．
【答案】假设这三条抛物线全部与x 轴只有一个交点或没有交点，则有
⎪⎩
⎪⎨⎧≤-=≤-=≤-=0440********
221bc a Δab c Δac b Δ 三式相加，得a 2+b 2+c 2－ab －ac －bc ≤0⇒ (a －b ）2
+（b －c ）2
+（c －a ）2
≤0．
∴a=b=c 与已知a ，b ，c 是互不相等的实数矛盾， ∴这三条抛物线至少有一条与x 轴有两个交点． 22．通过计算可得下列等式： 22-12
=2×1+1 32-22
=2×2+1 42-32
=2×3+1 ……
(n+1）2-n 2
=2×n+1
将以上各式分别相加得：（n+1）2-12
=2×（1+2+3+…+n ）+n 即：1+2+3+…+n=n(n+1)2
类比上述求法：请你求出12
+22
+32
+…+n 2
的值.
【答案】证明：23-13=3×12
+3×1+1，
33-23=3×22
+3×2+1
43-33=3×32
+3×3+1 ……
(n+1）3-n 3=3×n 2
+1+3×n+1
将以上各式分别相加得：（n+1）3-13=3×(12+22+32+…+n 2
)+3×（1+2+3…+n ）+n （6分）.
∴12+22+32+…+n 2
=1
3
[(n+1)3-1-n-3
1+n
2
n]
=1
6
n(n+1)(2n+1) .。