多元函数微分学例题

比值判别法, 根植判别法及积分判别法; 4) 利用绝对收敛与收敛的关系; 5) 利用莱布尼判别法; 6) 利用幂级数与傅立叶级数的收敛域.
2、求级数和的一般方法
1)
利用
S
=
lim
n→∞
Sn;
2) 利用级数的性质;
3) 利用等比级数求和公式;
4) 利用逐项求导或逐项积分;
5) 利用常用的麦克劳林级数;
≠ 0,
证明: 对任意常数C, f (x, y) = C为一直线的充要条件是
( f y )2 f xx − 2 f x f y f xy + f yy ( f x )2 = 0.
f xx
+
f xy
dy dx
+
f yx
dy dx
+
f yy
⎛⎜⎝
dy dx
⎞⎟⎠2 +
fy
d2 y dx 2
=
0,
将 dy = − fx dx f y
6) 利用傅立叶级数的和函数; 7) 利用方程或常微分方程; 8) 利用定积分定义.
二、典型例题
∑∑ 例1. 求 lim m→+∞ n→+∞
解 因为 0
∫−1
m
i =1
xi
n (−1)i+ j j=1 i + j
+ j−1dx = −
.
( −1)i + i+ j
j
,
所以部分和
∑∑ ∑∑ ∫ Sm,n
=
m i =1
n (−1)i+ j j=1 i + j
m
=−
i =1
n j =1
0 xi+ j−1dx
−1
∑∫ ∑ ∑∫ m
=−
i =1
0 −1
⎛ ⎜
n
x i+ j−1
⎞ ⎟dx
=
−
m
⎝ j=1
⎠
i =1
0 −1
xi (1 − xn ) dx 1− x
∫ ∑ ∫ = −
0 −1
⎛1 − xn ⎜⎝ 1 − x
m
xi
i =1
⎞⎟⎠dx = −
0 −1
⎛⎜⎝
1− xn 1− x
⋅
x(1 − 1−
xm x
) ⎞⎟⎠ dx
∫0
=− −1
x(1
− xn )(1 − (1 − x)2
xm
)
dx
∑∑ 例1. 求lim m→+∞ n→+∞
m i =1
n j =1
(−1)i+ i+ j
j
.
∑∑ ∫ Sm,n
=
m i =1
y
在时间[0, a]内的任一时
刻s, 飞机作为主声源都
B
A
在发出球面波, 该球面波 O
x
到a时刻的波前半径为 z (a - s) v0, 球心位置为s时刻飞机的位置B(vs, 0, 0).
以t = 0时飞机的位置作为坐标原点, 以飞机飞行的方向
作为x轴, 建立空间直角坐标系. 设t = a时飞机的位置
解 设雨水流下的路线在xOy面上的投影曲线的方程为
f ( x, y) = 0, 则在它上面的任一点处的切向量为
(dx,dy), 它应与gradz
∂z ∂x
=
−
4
x
1
−
x2 16
−
y2 36
= ,
⎝⎛⎜∂∂∂∂yzxz=,
∂z ∂y
−
⎞⎟⎠
9
平行,
y
1
−
x2 16
由于 ,
− y2 36
故
dy dx
=
4 9
当 2a2 − b2 > 0, a > 0时, f (x, y)有唯一极大值.
例10 设一礼堂的顶部是一个半椭球面, 其方程为
z=4
1− x2 − y2 , 16 36
求下雨时过房顶上点 P(1,3,
11)
处的雨水流下的路线方程(不计摩擦).
分析 雨水应沿着z下降最快的方向下流, 即沿着z的
梯度
gradz
fx
+
fy
dy dx
=
0,
dy = − fx , 两边再关于x求导, dx f y
f xx
+
f xy
dy dx
+
f yx
dy dx
+
f yy
⎛⎜⎝
dy dx
⎞⎟⎠2 +
fy
d2 y dx 2
=
0,
将 dy = − fx dx f y
例8. 设函数z = f (x,
y)具有二阶连续偏导数, 且
∂f ∂y
=
∂z ∂x
G i
+
∂z ∂y
G j.
的反方向下流, 因而雨水从椭球面上流下的路线在
xOy面上的投影曲线上的任一点处的切线 应与gradz
平行.
1
例10 设一礼堂的顶部是一个半椭球面, 其方程为
z=4
1− x2 − y2 , 16 36
求下雨时过房顶上点 P(1,3,
11)
处的雨水流下的路线方程.
=
lim
n→∞
(n
+
1) n
p p
ln(n ln n
+
1)
( ) = lim n→∞
1
+
1 n
p ln(n + 1) ln n
= 1.
⎜⎝⎛
lim
x→+∞
ln(x ln
+ x
1)
=
lim
x→+∞
x
1 +
1
1 x
=
lim
x→+∞
x
x +
1
=
1⎞⎟⎠
所以收敛半径R = 1.
∑ 例2.
对p讨论幂级数
∞ n=2
{2ax + 2by = 3
2bx + 4ay = 4
当8a2 − 4b2 ≠ 0 时, f (x, y)有唯一驻点.
x0
=
3a − 2b 2a2 − b2
,
y0
=
4a − 3b 2(2a2 − b2 )
.
记 A = f xx ( x0 , y0 ) = −2a, B = f xy ( x0 , y0 ) = −2b, C = f yy ( x0 , y0 ) = −4a.
一的极小值? 当AC − B2 = 8a2 − 4b2 > 0, 即2a2 − b2 > 0 时, f (x, y)有 极值. 当A = −2a > 0, 即 a < 0时, f (x, y)有极小值; 当 a > 0时, f (x, y)有极大值.
综合上述:
当 2a2 − b2 > 0, a < 0时, f (x, y)有唯一极小值;
例9. 设 f ( x, y) = 3 x + 4 y − ax2 − 2ay2 − 2bxy, 试问参数 a, b满足什么条件时, f (x, y)有唯一极大值? f (x, y)有唯
一的极小值?
当8a2 − 4b2 ≠ 0 时, f (x, y)有唯一驻点
x0
=
3a − 2b 2a2 − b2
,
=
4y 9x
,
x ≠ 0,
这就是投影曲线满足的方程.
4
解之 y = Cx 9 , 令x = 1, y = 3, 得 C = 3. 故过房顶上
点P(1,3, 11) 的雨水流下的路线方程为
⎧ ⎪z = 4 ⎨
1− x2 − y2 , 16 36
⎪ ⎩
y
=
3x
4 9
.
例11 当一架超音速飞机在高空沿水平方向以速度v作 直线均速飞行时, 由于飞机的速度比音速快, 所以人们
常常是先看到飞机在空中掠过, 片刻之后才听到震耳的 隆隆声, 那么在同一时刻传播速度为v0, v0 < v) 解 以t = 0时飞机的位置作为坐标原点, 以飞机飞行
的方向作为x轴, 建立空间直角坐标系. 设t = a时飞机
的位置为 A(va , 0, 0),
(i) 当A = −2a > 0, 即 a < 0时, f (x, y)有极小值;
(ii) 当 a > 0时, f (x, y)有极大值.
例9. 设 f ( x, y) = 3 x + 4 y − ax2 − 2ay2 − 2bxy, 试问参数 a, b满足什么条件时, f (x, y)有唯一极大值? f (x, y)有唯
y
(a - s) v0
va
A
O vs
B
x
z
故波前的球面方程为
( x − vs)2 + y2 +z2 = v02(a − s)2 , (0 ≤ s ≤ a) (1) 当s由0变到a时, 这是一个含有参数s的球面族. 由于在 t = a 时的声音不会超出该球面, 所以这些球面所充斥的
区域就是所能听到飞机声音的区域, 而在球面族之外,
y2 + z2 = v2 这就是一个以A(va,
v0−02,v002)(为x顶− v点a),2x. 轴为对称轴的圆锥面.
y
(a - s) v0
va
A
O vs
B
x
z
故在该锥面内, 可以听到飞机的声音.
2
无穷级数及微分方程
一、内容要点 二、典型例题 三、作业
一、内容要点
1、判别级数敛散性的一般方法
1) 利用敛散性的定义; 2) 利用收敛与绝对收敛级数的性质; 3) 利用正项级数的收敛准则, 比较判别法,
n
xn p ln
n
的收敛区间.
所以收敛半径R = 1.
(1) 当p < 0时,
lim
n→∞
n
p
1 ln
n
= lim n− p n→∞ ln n
= +∞.
故x = 1和x = −1时, 原级数发散.
于是, 当p < 0时, 原级数的收敛区间为(−1, 1).
(2) 当p > 1时,
(±1)n n p ln n
则听不到飞机的声音. 这就是球面族的 包络面.
为了消去参数s, (1)两边对s求偏导, 得
2( x − vs)(−v) = 2v02(a − s)(−1)
(2)
这由就此是解一出y个2 s+以=z 2vAvx=(2v−−vav2,vv020−02a02,v,002)(为x代顶−入v点a()1,2)x.,轴得为对称轴的圆锥面.
≤
1 np
,
故x = 1和x = −1时,
j
.
∑ ∑ Sm,n
=
m i =1
n (−1)i+ j j=1 i + j
∫ ∫ ∫ 0
=− −1
x (1 − x)2
dx
+
0 −1
x m+1 (1 − x)2
dx
+
0 −1
xn+1 − (1 −
x n+m+1 x)2
dx
∫ 故
lim
l →+∞
0 −1
(1
xl − x)2
dx
=
0.
∫ 于是,
原式 =
为A(va , 0, 0), 在时间[0, a]内的任一时刻s, 飞机作为主 声源都在发出球面波, 该球面波到a时刻的 波前半径为 (a - s) v0, 球心位置为s时刻飞机的位置 B(vs, 0, 0). 故波前的球面方程为
( x − vs)2 + y2 +z2 = v02(a − s)2 , (0 ≤ s ≤ a) (1)
y x
,
x ≠ 0,
这就是投影曲线满足的方程.
例10 设一礼堂的顶部是一个半椭球面, 其方程为
z = 4 1 − x2 − y2 , 求下雨时过房顶上点 P(1, 3, 11) 16 36
处的雨水流下的路线方程.
解 设雨水流下的路线在xOy面上的投影曲线的方程为
f ( x, y) = 0,
故
dy dx
从而
f (x, y) = C为一直线.
例9 设 f ( x, y) = 3 x + 4 y − ax2 − 2ay2 − 2bxy, 试问参数 a, b满足什么条件时, f (x, y)有唯一极大值? f (x, y)有唯
一极小值?
解 由极值的必要条件, 得方程组
fx = 3 − 2ax −2by = 0 f y = 4 − 4ay −2bx = 0
l
x)2
dx,
∫ ∫ ∫ ∫ 0 ≤
0 −1
(1
x −
l
x
)2
dx
≤
0 −1
| (1
x −
|l x
)2
dx
≤
0 −1
| x |l dx = l01+1t1ldt
∫ 故
lim
l →+∞
0 −1
(1
xl − x)2
dx
=
0.
∑ ∑ 例1.
求lim m→+∞ n→+∞
m i =1
n j =1
(−1)i+ i+ j
y0
=
4a 2(2a
− 3b 2 − b2
)
.
记 A = f xx ( x0 , y0 ) = −2a, B = f xy ( x0 , y0 ) = −2b, C = f yy ( x0 , y0 ) = −4a.
当AC − B2 = 8a2 − 4b2 > 0, 即
2a2 − b2 > 0 时, f (x, y)有极值;
lim
m→+∞
Sm ,n
n→+∞
=−
0 −1
(1
x −x
)2
dx
∫ ∫ ∫ 0
=− −1
x −1 +1 (1 − x)2
dx
=
0 −1
1
1 −
x
dx
−
0 −1
(1
1 − x)2
dx
=
ln 2
−
1 2
.
3
∑ 例2.
对p讨论幂级数
∞ xn n=2 n p ln n
的收敛区间.
解
R = lim n→∞
an an+1
代入上式, 即 f xx ( f
得 y )2
−
f xx 2 fx
−2
f x f xy fy
f y f xy + f
+ yy (
f yy ( f x )2 ( f y )2 fx )2 + ( f
+
fy
d2 y dx 2
y )3
d2 y dx 2
=
= 0. 0.
由已知, 得
d2 y dx 2
=
0.
故y = y( x) 是线性函数,
n (−1)i+ j j=1 i + j