河北邯郸市第一中学三角函数与解三角形多选题试题含答案

河北邯郸市第一中学三角函数与解三角形多选题试题含答案
一、三角函数与解三角形多选题
1．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2a =，sin 2sin B C =，有以下
四个命题中正确的是（ ）
A ．满足条件的ABC 不可能是直角三角形
B ．AB
C 面积的最大值为
43
C ．当A =2C 时，ABC 的周长为2+
D ．当A =2C 时，若O 为ABC 的内心，则AOB 【答案】BCD 【分析】
对于A ，利用勾股定理的逆定理判断；
对于B ，利用圆的方程和三角形的面积公式可得答案； 对于C ，利用正弦定理和三角函数恒等变形公式可得答案
对于D ，由已知条件可得ABC 为直角三角形，从而可求出三角形的内切圆半径，从而可得AOB 的面积 【详解】
对于A ，因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得，2b c =，若b 是直角三角形的斜边，
则有222a c b +=，即2244c c +=，得3
c =
，所以A 错误； 对于B ，以BC 的中点为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则
(1,),(1,0)B C -，设(,)A m n ，
因为2b c ==， 化简得22
516()3
9m n ++=
，所以点A 在以5,03⎛⎫
- ⎪⎝⎭
为圆心，43为半径的圆上运动， 所以ABC 面积的最大值为144
2233
⨯⨯=，所以B 正确； 对于C ，由A =2C ，可得3B C π=-，由sin 2sin B C =得2b c =，
由正弦定理得，
sin sin b c
B C
=，即2sin(3)sin c c C C π=-，
所以sin32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=， 因为sin 0C ≠，所以化简得2
3
cos 4
C =
，
因为2b c =，所以B C >，所以cos C =
，则1sin 2C =，
所以sin 2sin 1B C ==，所以2
B π
=，6
C π
=
，3
A π
=
，
因为2a =，所以c b =
=
，
所以ABC 的周长为2+，所以C 正确； 对于D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且2
B π
=
，6
C π
=
，3
A π
=
，
c b =
=
，
所以ABC 的内切圆半径为1212r ⎛=
+= ⎝⎭，
所以AOB 的面积为111
122333cr ⎛=⨯-= ⎝⎭
所以D 正确， 故选：BCD 【点睛】
此题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化能力和计算能力，属于难题.
2．（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（ ） A ．22sin 2sin 1y x =+ B ．22sin 2sin 1
y x =-- C ．22sin 2sin 1y x =-
D ．22sin 12cos y x =-
【答案】CD 【分析】
对原式进行切化弦，整理可得：2
2
2
2
2
2
sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，结合因式分解代数式变形可得选项. 【详解】
∵2
2
tan 2tan 10x y --=，2222
sin sin 210cos cos x y
x y
-⋅-=， 整理得222222
sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，
∴(
)(
)
(
)
2
2
22
22
2
1cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+， 即2
2
2
2
2
2
2
1cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=， 即2
2
2
sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确. 故选：CD
【点睛】
此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.
3．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++，则（ ） A ．()f x 的最小正周期是π
B ．()f x 的图像可由函数()22g x x =+的图像向左平移
8
π
个单位而得到 C ．4
x π
=
是()f x 的一条对称轴
D ．()f x 的一个对称中心是,08π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【答案】AB 【分析】
首先化简函数()224f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，再根据三角函数形式的公式，以及代入的方
法判断选项. 【详解】
()
1sin 2cos 21224f x x x x π⎛
⎫=+++=++ ⎪⎝
⎭，
A.函数的最小正周期22
T π
π=
=，故A 正确；
B.根据图象的平移变换规律，可知函数()22g x x =+的图像向左平移
8
π
个单位而得
到()222284f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，故B 正确；
C.当4
x π
=
时，324
4
4
π
π
π
⨯
+
=
，不是函数的对称轴，故C 不正确； D.当8
x π
=-
时，2084
ππ
⎛⎫⨯-
+= ⎪⎝⎭，此时函数值是2，故函数的一个对称中心应是,28π⎛⎫
- ⎪⎝⎭，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】
思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数
的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.
4．设函数()()31sin sin 022f x x x πωωω⎛⎫
=++> ⎪⎝⎭
，已知()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则（ ）
A ．在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=
B ．()f x 在()0,π有且仅有1个最小值点
C ．()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增 D ．ω的取值范围是1723,66⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【答案】AD 【分析】
化简函数()f x 的解析式为()sin 6f x x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，令6
t x πω=+，由[]
0,x π∈可求得
,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫
=≤≤+> ⎪⎝⎭
的图象，可判断AB 选项
的正误；由图象得出346
π
πωππ≤+
<可判断D 选项的正误；取3ω=，利用正弦型函
数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】
()3131sin sin sin cos sin 2226f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=
++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 当[]
0,x π∈时，,666x π
ππωωπ⎡⎤+
∈+⎢⎥⎣⎦，令6t x πω=+，则,6
6t π
πωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，
作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫
=≤≤+>
⎪⎝⎭
的图象如下图所示：
对于A 选项，由图象可知，max 1y =，min 1y =-，
所以，在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=，A 选项正确； 对于B 选项，()f x 在()0,π上有1个或2个最小值点，B 选项错误； 对于D 选项，由于函数()f x 在[]
0,π有且仅有3个零点，则346
π
πωππ≤+
<，解得
1723
66
ω≤<，D 选项正确； 对于C 选项，由于
172366ω≤<，取3ω=，当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，53663x πππ<+<，
此时，函数()f x 在区间0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上不单调，C 选项错误. 故选：AD. 【点睛】
关键点点睛：本题考查利用正弦型函数在区间上的零点个数判断正弦型函数的基本性质，解本题的关键在于换元6t x π
ω=+
，将问题转化为函数sin y t =在区间,66π
πωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
上的
零点个数问题，数形结合来求解.
5．如图，已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，||2
π
ϕ≤）的图象与x 轴
交于点,A B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，,||23
OCB OA π
∠==，221
||AD =
.则下列说法正确的有（ ）
A ．()f x 的最小正周期为12
B ．6
π
ϕ=-
C ．()f x 的最大值为163
D ．()f x 在区间(14,17)上单调递增
【答案】ACD 【分析】
3sin |2A π
ϕω
=+
，sin(2)0ωϕ+=，可得A ，B ，C ，D 的坐标，根据
221
||AD =
，可得方程22228(1)243A sin πϕω-+=，进而解出ω，ϕ，A ．判断出结论． 【详解】
由题意可得：||3||OB OC =，3sin 2A π
ϕω
∴=+
，sin(2)0ωϕ+=， (2,0)A ，(2B π
ω+，0)，(0,sin )C A ϕ，sin 1,22A D πϕω
⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭， 2213AD =，2
22sin 281243A πϕω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭
，把|sin |(2)3A πϕω=+代入上式可得：2()2240π
π
ω
ω-⨯
-=，0>ω.解得6πω=，6πω∴=，可得周期212T ω
π==，
sin()03π
ϕ∴+=，||2π
ϕ≤，解得3π
ϕ=-.可知：B 不对，3sin 263A π⎛⎫
∴-=+ ⎪⎝⎭
，
0A >，解得16
3
A =
，函数16()sin()363
f x x ππ
=
-，可知C 正确. ()14,17x ∈ 时，52,
6
32x π
πππ⎛⎫⎛⎫
-∈
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，可得：函数()f x 在()14,17x ∈单调递增. 综上可得：ACD 正确.
故选：ACD 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是表示点,,B C D 的坐标，并利用两点间距离表示等量关系后，求解各点的坐标，问题迎刃而解.
6．已知函数()()sin 22sin cos 644f x x x x x πππ⎛⎫
⎛
⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭R ，现给出下列四个命题，其中正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数()f x 3C ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增 D ．将函数()f x 的图象向左平移
512
π
个单位长度，得到的函数解析式为()()32g x x =
【答案】BD 【分析】
首先利用三角恒等变形化简函数()323f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，再根据函数的性质依次判断选
项，AB 选项根据解析式直接判断，C 选项可以先求23
x π
-的范围，再判断函数的单调
性，D 选项根据平移规律直接求解平移后的解析式. 【详解】
()12cos 2sin 222f x x x x π⎛
⎫=
--+ ⎪⎝
⎭
132cos 2cos 22cos 222
x x x x x =
--=-
23x π⎫⎛
=- ⎪⎝
⎭，
函数()f x 的周期22
T π
π==，故A 不正确；B.B 正确； C.,44x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当52,362x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣
⎦时函数单调递减，即,412x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，,124x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，函数单调递增，故C 不正确；
D. ()23f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭向左平移
512
π
个单位长度，得到()5
2221232g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确. 故选：BD 【点睛】
思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.
7．已知函数()
()tan (0)6
ωωπ
=->f x x ，则下列说法正确的是（ ） A ．若()f x 的最小正周期是2π，则1
2
ω=
B ．当1ω=时，()f x 的对称中心的坐标为()
π0()
6π+∈Z k k ， C ．当2ω=时，π2π()()125
-<f f D ．若()f x 在区间()
π
3π，上单调递增，则203
ω<≤
【答案】AD 【分析】
根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】
解:对于A 选项，当()f x 的最小正周期是2π，即：2T ππω==，则1
2
ω=，故A 选项正确；
对于B 选项，当1ω=时，()
()tan 6f x x π
=-，所以令,6
2
k x k Z π
π
-
=
∈，解得：,6
2
k x k Z π
π=
+
∈，所以函数的对称中心的坐标为()
0()62k k π
π+∈Z ，，故B 选项错误； 对于C 选项，当2ω=时，()
()tan 26f x x π
=-，
()()()()ππ10tan 2tan tan 12126330f πππ⎡⎤-=⨯--=-=-⎢⎥⎣⎦
，
()()()2π2π1911tan 2tan tan 5563030f πππ=⨯-==-，由于tan y x =在,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭单调递增，故()()π2π125
f f ->，故C 选项错误； 对于D 选项，令,2
6
2
k x k k Z π
π
π
πωπ-
+<-
<
+∈，解得：233k k x ππππ
ωωωω
-
+<<+ 所以函数的单调递增区间为：2,,33k k k Z ππππωωωω⎛⎫-
++∈ ⎪⎝⎭
，因为()f x 在区间()
π3π，
上单调递增，所以33
,23k k Z k πππ
ωωπππ
ωω
⎧-+≤⎪⎪∈⎨
⎪+≥⎪⎩，解得：213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，另一方面，233T ππππω=
≥-=，32ω≤，所以2332k +≤，即56
k ≤，又因为0>ω，所以0k =，故2
03
ω<≤，故D 选项正确.
故选：AD 【点睛】
本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D 选项的解决先需根据正切函数单调性得2
13,3
k k k Z ω-+≤≤+∈，再结合233
T ππππω=
≥-=和0>ω得0k =，进而得答案.
8．已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫
=+<
⎪⎝
⎭，()()124F x f x f x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ）
A ．tan ϕ=
B ．()f x 在[]
,a a -上存在零点，则a 的最小值为6
π C ．()F x 在3,44ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增 D ．()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移2
π
个单位得到 【答案】ABC 【分析】
首先得到()()1224F x f x f x π⎛⎫=
++ ⎪⎝⎭
的解析式，再根据函数的奇偶性求出参数ϕ，最后结合三角函数的性质一一验证即可. 【详解】
解：因为()cos(2)f x x ϕ=+，所以
11()()+cos(2))cos 22423F x f x f x x x x ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=
=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 因为()F x 为奇函数，则(0)0F =，即cos 03πϕ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，所以32
k ππϕπ+=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<
，所以6
π
=ϕ；
对于A ，tan tan
6
π
ϕ==，故A 正确； 对于B ，令()cos 206f x x π⎛
⎫
=+
= ⎪⎝
⎭，得26
k x ππ
=+，k ∈Z ，若()f x 在[,]a a -上存在零点，则0a >且a 的最小值为
6
π
，故B 正确； 对于C ，()cos 2sin 263F x x x ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝
⎭，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，则
()F x 在3,
44
ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，故C 正确. 对于D ，因为()cos 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
， ()cos 266F x x ππ⎡⎤
⎛⎫=+
+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
，根据“左加右减”，()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移6
π个单位得到，故D 错误.
故选：ABC . 【点睛】
关键点点睛：本题解答的关键是先根据()(
)124F x f x f x π⎛⎫=
++ ⎪⎝⎭
为奇函数，确定参数ϕ的值，再结合三角函数的性质逐一判断即可.
二、数列多选题
9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设213
2
n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（ ） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若1
4q =-
，则n n T S > D ．若3
4
q =-
，则n n T S > 【答案】BD 【分析】
先求得q 的取值范围，根据q 的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系. 【详解】
由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠， 当1q =时，10n S na =>，符合题意； 当1q ≠时，()1101n n a q S q
-=
>-，即
101n
q q ->-，上式等价于1010
n q q ⎧->⎨->⎩①或10
10
n q q ⎧-<⎨
-<⎩②.解②得1q >.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.
综上所述，q 的取值范围是()
()1,00,-+∞.
2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，所以
()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛
⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，而0n S >，且()()1,00,q ∈-⋃+∞.
所以，当112q -<<-
，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错误. 当12(0)2
q q -<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <. 当12q =-或2q 时，0,n n n n T S T S -==，A 选项错误.
综上所述，正确的选项为BD.
故选：BD
【点睛】
本小题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
10．将()23n n ≥个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：
11a 12a 13a ……1n a
21a 22a 23a ……2n a
31a 32a 33a ……3n a
……
1n a 2n a 3n a ……nn a
该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知113a =，61131a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ）
A ．2m =
B ．767132a =⨯
C ．()1212j ij a i -=+⨯
D ．()()221n S n n =+- 【答案】ACD
【分析】
由题中条件113a =，61131a a =+，得23531m m +=+解得m 的值可判断A ；根据第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列可判断BC ；由等差数列、等比数列的前n 项和公式可判断D.
【详解】
由113a =，61131a a =+，得23531m m +=+，所以2m =或13
m =-
（舍去），A 正确； ()666735132a m m =+=⨯，B 错误；
()()112132212j j ij a i i --=-+⨯=+⨯⎡⎤⎣⎦
，C 正确；
()()()111212122212n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++
1121(12)(12)(12)121212
n n n nn a a a ---=+++--- ()()()11211332(1)21212n n n n a a a n ++-⎛⎫=+++-=⨯- ⎪⎝⎭
()()221n n n =+-，D 正确.
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：本题考查了分析问题、解决问题的能力，解答的关键是利用等比数列、等差数列的通项公式、求和公式求解，考查了学生的推理能力、计算能力.。