3.3.3 点到直线的距离 两条平行直线间的距离课件(人教A版必修2)
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解：由8xx－＋y＋y＋2＝34＝0 0 ，得 C(－4，－2)； 由xx－ ＋y2＋y－2＝7＝00 ，得 A(1,3)； 由8xx＋＋2yy＋ －37＝4＝00 ，得 B(－5,6)，
∴点 C 到直线 AB 的距离是 hC＝|－4＋21×2＋－222－7|＝3 5， A、B 两点间的距离为|AB|＝ 1＋52＋3－62 ＝3 5， ∴S△ABC＝12×(3 5)2＝425.
d＝|x0| d＝ |x0－a|
d＝ |y0－b|
写出点(2，－3)到下列直线的距离． ①x＝3；②y＝4；③y＝－x； ④x轴；⑤y轴；⑥x－2y＋4＝0.
提示：(1)2 (2)5 (3)5 (4) 29
2．两条平行直线间的距离 (1)两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间
公垂线段的长．
(2)两条平行线Ax＋By＋C1＝0、Ax＋By＋C2＝0间的
法二：设所求直线的方程为 5x－12y＋C＝0， 由两平行直线间的距离公式得 2＝ 52|＋C－－6|122， 解得 C＝32，或 C＝－20. 故所求直线的方程为 5x－12y＋32＝0 和 5x－12y－20＝0.
2．求到两条平行直线 2x－y＋2＝0 和 2x＋ny＋4＝0 的距离
相等的直线的方程． 解：∵两直线平行，∴22＝－n1≠24，解得 n＝－1，
|C1－C2|
距离d＝ A2＋B2 .
在求两平行线间的距离时，应注意什么？用到了什么思 想方法？
提示：在求平行线间的距离时，要把方程化为一般式且x， y项的系数要相等，其中用到了转化的思想，可以将平行 线间的距离转化为点到直线的距离．
探究点一
点到直线的距离公式
求点到直线的距离时，首先把直线方程化成一般式， 然后直接套用公式计算．公式适合于任何情况下的点到 直线的距离计算．
3．3. 3
点到直 线的距 离 两条 平行直 线间的
距离
新知全景扫描直线间的距离
1．点到直线的距离
点的坐标 直线方程
点到直线的距离
Ax＋By＋C＝0
d＝
|Ax0＋By0＋C| A2＋B2
P(x0，y0)
x轴 y轴 x＝a y＝b
d＝|y0|
求与直线l1：5x－12y＋6＝0平行，且到l1的 距离为2的直线的方程． [提示] 根据两条直线平行可设出所求直线方程为5x －12y＋C＝0，再根据两直线间的距离求C.
[解] 法一：设所求直线的方程为 5x－12y＋C＝0. 在直线 5x－12y＋6＝0 上取一点 P0(0，12)， 点 P0 到直线 5x－12y＋C＝0 的距离为|－512＋2×－12＋12C2|＝|C1－36|. 由题意得|C1－3 6|＝2. 所以 C＝32，或 C＝－20. 故所求直线的方程为 5x－12y＋32＝0 和 5x－12y－20＝0.
法二：当 l∥AB 或 l 过 AB 中点时， 满足点 A，B 到 l 的距离相等． 若 l∥AB，由于 kAB＝－12，则直线 l 的方程为 x＋2y＝0. 若 l 过 AB 的中点 N(1,1)，则直线 l 的方程为 y＝1. ∴直线 l 的方程为 y＝1，或 x＋2y＝0.
1．已知直线BC、CA、AB的方程分别为8x＋y＋34 ＝0，x－y＋2＝0，x＋2y－7＝0，求此三条直 线围成的△ABC的面积．
∴M(32，32)．又 l 过点 A(2,4)， 故由两点式得直线 l 的方程为 5x－y－6＝0.
探究点二
两条平行线间的距离
求两平行直线间的距离有两种思路 1．利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意
一点到另一条直线的距离． 2．直接利用两平行线间的距离公式，当直线 l1：y＝kx＋b1，l2：y
＝kx＋b2，且 l1∥l2 时，d＝|b1k－2＋b21|；当直线 l1：Ax＋By＋C1 ＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，且 l1∥l2 时，d＝ |CA1－2＋CB2|2.但必须注 意两直线方程中 x，y 的系数对应相等．
已知直线l经过点A(2,4)，且被平行直线l1：x－y＋ 1＝0与l2：x－y－1＝0所截得的线段的中点M在直线x＋y －3＝0上．求直线l的方程． [提示] 根据题目条件可直接设出方程，利用待定系数法， 但求交点很复杂，因此由数形结合可以采用另外两种方 法：一是利用点到直线的距离公式求M，也可利用平行 线间的距离公式求M，再由两点式得出直线．
设所求的直线方程为 2x－y＋c＝0，
根据题意有
|22－2＋c|1＝
|4－c| 22＋1.
即|2－c|＝|4－c|.
∴c＝3.故所求直线的方程为 2x－y＋3＝0.
探究点三
距离公式的应用
点到直线的距离公式及两平行线间的距离公式是解析 几何的基本公式之一，在解析几何中具有重要的作用．
在使用距离公式时要首先把直线方程化为一般式．
[解] 法一：∵点 M 在直线 x＋y－3＝0 上，
∴设点 M 坐标为(t,3－t)，则点 M 到 l1，l2 的距离相等，
即|t－3－t＋1|＝|t－3－t－1|，
2
2
解得 t＝32，∴M(32，32)．
又 l 过点 A(2,4)，
由两点式得4y－－3232＝x2－ －3232，即 5x－y－6＝0，
故直线 l 的方程为 5x－y－6＝0.
法二：设与 l1、l2 平行且距离相等的直线 l3：x－y＋C＝0，
由两平行直线间的距离公式得|C－1|＝|C＋1|，
2
2
解得 C＝0，即 l3：x－y＝0.
由题意得中点 M 在 l3 上，点 M 在 x＋y－3＝0 上．
解方程组xx－ ＋yy＝ －03， ＝0， 得xy＝＝3232.，
求过点M(－2,1)，且与A(－1,2)，B(3,0)两点距离 相等的直线的方程． [提示] 直接应用待定系数法求直线方程，也可以根据 平面几何的知识，先判断直线与直线AB的位置的关系 再求解．
[解] 法一：设直线的方程为 y－1＝k(x＋2)， 即 kx－y＋2k＋1＝0. 由|－k－k22＋＋21k＋1|＝|3k＋k22＋k＋1 1|， 解得 k＝0，或 k＝－12. 故直线的方程为 y＝1，或 x＋2y＝0. 当直线的斜率不存在时，不存在符合题意的直线 l.
∴点 C 到直线 AB 的距离是 hC＝|－4＋21×2＋－222－7|＝3 5， A、B 两点间的距离为|AB|＝ 1＋52＋3－62 ＝3 5， ∴S△ABC＝12×(3 5)2＝425.
d＝|x0| d＝ |x0－a|
d＝ |y0－b|
写出点(2，－3)到下列直线的距离． ①x＝3；②y＝4；③y＝－x； ④x轴；⑤y轴；⑥x－2y＋4＝0.
提示：(1)2 (2)5 (3)5 (4) 29
2．两条平行直线间的距离 (1)两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间
公垂线段的长．
(2)两条平行线Ax＋By＋C1＝0、Ax＋By＋C2＝0间的
法二：设所求直线的方程为 5x－12y＋C＝0， 由两平行直线间的距离公式得 2＝ 52|＋C－－6|122， 解得 C＝32，或 C＝－20. 故所求直线的方程为 5x－12y＋32＝0 和 5x－12y－20＝0.
2．求到两条平行直线 2x－y＋2＝0 和 2x＋ny＋4＝0 的距离
相等的直线的方程． 解：∵两直线平行，∴22＝－n1≠24，解得 n＝－1，
|C1－C2|
距离d＝ A2＋B2 .
在求两平行线间的距离时，应注意什么？用到了什么思 想方法？
提示：在求平行线间的距离时，要把方程化为一般式且x， y项的系数要相等，其中用到了转化的思想，可以将平行 线间的距离转化为点到直线的距离．
探究点一
点到直线的距离公式
求点到直线的距离时，首先把直线方程化成一般式， 然后直接套用公式计算．公式适合于任何情况下的点到 直线的距离计算．
3．3. 3
点到直 线的距 离 两条 平行直 线间的
距离
新知全景扫描直线间的距离
1．点到直线的距离
点的坐标 直线方程
点到直线的距离
Ax＋By＋C＝0
d＝
|Ax0＋By0＋C| A2＋B2
P(x0，y0)
x轴 y轴 x＝a y＝b
d＝|y0|
求与直线l1：5x－12y＋6＝0平行，且到l1的 距离为2的直线的方程． [提示] 根据两条直线平行可设出所求直线方程为5x －12y＋C＝0，再根据两直线间的距离求C.
[解] 法一：设所求直线的方程为 5x－12y＋C＝0. 在直线 5x－12y＋6＝0 上取一点 P0(0，12)， 点 P0 到直线 5x－12y＋C＝0 的距离为|－512＋2×－12＋12C2|＝|C1－36|. 由题意得|C1－3 6|＝2. 所以 C＝32，或 C＝－20. 故所求直线的方程为 5x－12y＋32＝0 和 5x－12y－20＝0.
法二：当 l∥AB 或 l 过 AB 中点时， 满足点 A，B 到 l 的距离相等． 若 l∥AB，由于 kAB＝－12，则直线 l 的方程为 x＋2y＝0. 若 l 过 AB 的中点 N(1,1)，则直线 l 的方程为 y＝1. ∴直线 l 的方程为 y＝1，或 x＋2y＝0.
1．已知直线BC、CA、AB的方程分别为8x＋y＋34 ＝0，x－y＋2＝0，x＋2y－7＝0，求此三条直 线围成的△ABC的面积．
∴M(32，32)．又 l 过点 A(2,4)， 故由两点式得直线 l 的方程为 5x－y－6＝0.
探究点二
两条平行线间的距离
求两平行直线间的距离有两种思路 1．利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意
一点到另一条直线的距离． 2．直接利用两平行线间的距离公式，当直线 l1：y＝kx＋b1，l2：y
＝kx＋b2，且 l1∥l2 时，d＝|b1k－2＋b21|；当直线 l1：Ax＋By＋C1 ＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，且 l1∥l2 时，d＝ |CA1－2＋CB2|2.但必须注 意两直线方程中 x，y 的系数对应相等．
已知直线l经过点A(2,4)，且被平行直线l1：x－y＋ 1＝0与l2：x－y－1＝0所截得的线段的中点M在直线x＋y －3＝0上．求直线l的方程． [提示] 根据题目条件可直接设出方程，利用待定系数法， 但求交点很复杂，因此由数形结合可以采用另外两种方 法：一是利用点到直线的距离公式求M，也可利用平行 线间的距离公式求M，再由两点式得出直线．
设所求的直线方程为 2x－y＋c＝0，
根据题意有
|22－2＋c|1＝
|4－c| 22＋1.
即|2－c|＝|4－c|.
∴c＝3.故所求直线的方程为 2x－y＋3＝0.
探究点三
距离公式的应用
点到直线的距离公式及两平行线间的距离公式是解析 几何的基本公式之一，在解析几何中具有重要的作用．
在使用距离公式时要首先把直线方程化为一般式．
[解] 法一：∵点 M 在直线 x＋y－3＝0 上，
∴设点 M 坐标为(t,3－t)，则点 M 到 l1，l2 的距离相等，
即|t－3－t＋1|＝|t－3－t－1|，
2
2
解得 t＝32，∴M(32，32)．
又 l 过点 A(2,4)，
由两点式得4y－－3232＝x2－ －3232，即 5x－y－6＝0，
故直线 l 的方程为 5x－y－6＝0.
法二：设与 l1、l2 平行且距离相等的直线 l3：x－y＋C＝0，
由两平行直线间的距离公式得|C－1|＝|C＋1|，
2
2
解得 C＝0，即 l3：x－y＝0.
由题意得中点 M 在 l3 上，点 M 在 x＋y－3＝0 上．
解方程组xx－ ＋yy＝ －03， ＝0， 得xy＝＝3232.，
求过点M(－2,1)，且与A(－1,2)，B(3,0)两点距离 相等的直线的方程． [提示] 直接应用待定系数法求直线方程，也可以根据 平面几何的知识，先判断直线与直线AB的位置的关系 再求解．
[解] 法一：设直线的方程为 y－1＝k(x＋2)， 即 kx－y＋2k＋1＝0. 由|－k－k22＋＋21k＋1|＝|3k＋k22＋k＋1 1|， 解得 k＝0，或 k＝－12. 故直线的方程为 y＝1，或 x＋2y＝0. 当直线的斜率不存在时，不存在符合题意的直线 l.