数学23数学归纳法
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数学23数学归纳法
第一页，共30页。
问题提出
1.归纳推理的基本特征是什么？
由个别事实概括出一般结论.
2.综合法，分析法和反证法的基本思
想分别是什么？ 综合法：由已知推可知，逐步推出未知. 分析法：由未知探需知，逐步推向已知.
反证法：假设结论不成立，推出矛盾得
证明.
第二页，共30页。
3.归纳推理能帮助我们发现一般结论，
+[(k+1)-2]·3+[(k+1)-1]·2+(k+1)
=f(k)+1+2+3+……+k+(k+1)
பைடு நூலகம்
1k(k1)(k2)1(k1)(k11)
6
2
1(k1)(k2)(k3)
∴由（1）（2）可知 当n∈N*时等式都成
6
立。
第二十五页，共30页。
课
堂 数学归纳法优点：克服了完全归纳法
小 结
的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完 全归纳法结论不可靠的不足，是一种科 学方法，使我们认识到事情由简到繁、
例1.用数学归纳法证明：
1222 n2n(n1 )2 (n1 ) 6
(n∈N*).
第十页，共30页。
例2 已知数列：
1, 1, 1 , , 1 , , 1447710 (3n2)3 (n1)
计的算表达S1式,S，2,并S3数,S学,4根归据纳计法算证结明果. ，试猜想Sn
Sn
n 3n 1
第十一页，共30页。
第二十三页，共30页。
证明：设f(n)= 1 n 2 (n 1 ) 3 (n 2 ) (n 1 )2 n 1
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式
成立
第二十四页，共30页。
(2)假设当n＝k,时等式成立，即 f(k)1k(k1)(k2)
则n=k+1时，
6
f(k+1)=1·(k+1)+2[(k+1)-1]+3[(k+1)-2]+ …
小结
递推依据
递推基础
1.数学归纳法证明一个及正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当 n取第一个值 （n如0 n0 或12等）时结论
正确； “找准起点，奠基要稳” （2）假设时 n k (k N 且 k n 0 结)论正确，证
明 nk1 “用上假设，递推才真”
时结论也正确．
注 意：1、一定要用到归纳假设；
那么n=k+1时, 左边 (11)(11)( 1 1 )
2 2 3 k1 k2
(1 1 ) k1
即n=k+1时,命题k也2成立(k.1)1
=右边,
由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.
第十七页，共30页。
证明中需要注意的问题
(1)在第一步中的初始值不一定从1取起 ，证明时应根据具体情况而定.
2、看清从k到k＋1中间的变化。
第十二页，共30页。
2.归纳推理能发现结论，数学归纳法能 证明结论，二者强强联合，优势互补，在 解决及正整数有关的问题时，具有强大的
功能作用.但在数学归纳法的实施过程中， 还有许多细节有待进一步明确和认识.
第十三页，共30页。
练习1:欲用数学归纳法证明2n>n2,试问n的 第一个取值应是多少?
第十五页，共30页。
练习3.下面是某同学用数学归纳法证明命 题
11 1 n 1•2 2•3 n•(n1) n1
的过程.你认为他的证法正确吗?为什么？
第十六页，共30页。
解：
(1)当n=1时,左边=
1 1• 2
1 2
(2)假设n=k时命题成立 即
, 右边=1
11
1 2
11 1 k 12 23 k(k1) k1
由特殊到一般、由有限到无穷．
第二十六页，共30页。
课
堂 数学归纳法的核心:
小 结
在验证命题n=n0正确的基础上, 证明命题具有传递性,而第二步实际
上是以一次逻辑的推理代替了无限
的验证过程.所以说数学归纳法是一
种合理、切实可行的科学证题方法
，实现了有限到无限的飞跃。
第二十七页，共30页。
用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
项.
第十九页，共30页。
练习：4
1.已知: f(n) 1 1 ... ,1则
等于( C ) n1 n2 3n1
f(k1)
A f(k) 1
3(K1)1
B
f (k) 1 3K 2
C f(k) 1 1 1 1 D f(k) 1 1
3K23K33K4K1
3K4 K1
第二十页，共30页。
数学归纳法口诀 重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少， 归纳假设要用到，
成立；
（2）假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成 立，证明当n＝k＋1时命题也成立.
第八页，共30页。
思考4：数学归纳法由两个步骤组成，其中 第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，
完成这两个步骤的证明，实质上解决了什 么问题？
逐一验证命题对从n0开始的所有正整数n 都成立.
第九页，共30页。
理论迁移
(2)在第二步中,证明n=k+1命题成立时, 必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否 则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑 递推关系,造成推理无效.
第十八页，共30页。
(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成
立时,要分析命题的结构特点,分析 “n=k+1时”命题是什么，并找出及 “n=k”时命题形式的差别.弄清应增加的
作业：
P96习题A组：1，2.
第二十九页，共30页。
谢谢观赏
第三十页，共30页。
答:对n=1,2,3,…,逐一尝试,可知初始值为n=5.
第十四页，共30页。
练习2:用数学归纳法证明3n>n2. 此题在第二步的证明过程中在假设n=k 时,3k>k2成立的基础上, 当n=k+1时,
3k1(k1)2 33k (k22k1)3k2(k22k1) (k1)2k22 要说明此式大于零,则必须k≥2.故在证明的 第一步中,初始值应取1和2两个值.
但得出的结论不一定正确，即使正确也需 要经过严格的证明才能肯定其真实性. 综
合法，分析法和反证法虽可证明某些结论 ，但都有其局限性，因此，我们非常需要
一个及归纳推理相匹配的证明方法，使之 成为无与伦比的“黄金搭档”.
第三页，共30页。
第四页，共30页。
探究（一）：数学归纳法的感性认识
思考1：有若干块骨牌竖直摆放，若将它们 全部推倒，有什么办法？一般地，多米诺 骨牌游戏的原理是什么？
1.明确首取值n0并验证真假。（必不可少） 2.“假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 3.分析“n=k+1时”命题是什么，并找出及“n=k”时
命题形式的差别。弄清左端应增加的项。
4.明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的 方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等， 并 用上假设。
第二十八页，共30页。
思考3：已a知n 数1 列1{aann}a满n 足
（n∈N*），假设当n＝k时，
a k，
1 k
则当n＝k＋1时，ak＋1等于什么？
ak 1
1 k1
第七页，共30页。
定义
上述证明方法叫做数学归纳法，一般地，
用数学归纳法证明一个及正整数n有关的命 题，其证明步骤为：
（1）证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题
结论写明莫忘掉。
第二十一页，共30页。
例3．对于n∈N*用数学归纳法证明
：
1n2(n1)3(n2)(n1)2n1 1n(n1)n(2)
6
第二十二页，共30页。
分析：
f (k) 1 k 2 ( k 1 ) 3 ( k 2 ) ( k 1 ) 2 k 1
有几项？
f (k 1) 是什么,它比 f (k ) 多出了多少？ f(k+1)=f(k)+1+2+3+…+k+k+1
（1）推倒第一块骨牌；
（2）前一块骨牌倒下时能
碰倒后一块骨牌.
第五页，共30页。
思考2：某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？ 某家族所有男人世代都姓王的条件是什么？
（1）始祖姓王； （第1代姓王） （2）子随父姓. （如果第k代姓王，则第k+1代也姓王）
第六页，共30页。
探究（二）：数学归纳法的基本原理
第一页，共30页。
问题提出
1.归纳推理的基本特征是什么？
由个别事实概括出一般结论.
2.综合法，分析法和反证法的基本思
想分别是什么？ 综合法：由已知推可知，逐步推出未知. 分析法：由未知探需知，逐步推向已知.
反证法：假设结论不成立，推出矛盾得
证明.
第二页，共30页。
3.归纳推理能帮助我们发现一般结论，
+[(k+1)-2]·3+[(k+1)-1]·2+(k+1)
=f(k)+1+2+3+……+k+(k+1)
பைடு நூலகம்
1k(k1)(k2)1(k1)(k11)
6
2
1(k1)(k2)(k3)
∴由（1）（2）可知 当n∈N*时等式都成
6
立。
第二十五页，共30页。
课
堂 数学归纳法优点：克服了完全归纳法
小 结
的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完 全归纳法结论不可靠的不足，是一种科 学方法，使我们认识到事情由简到繁、
例1.用数学归纳法证明：
1222 n2n(n1 )2 (n1 ) 6
(n∈N*).
第十页，共30页。
例2 已知数列：
1, 1, 1 , , 1 , , 1447710 (3n2)3 (n1)
计的算表达S1式,S，2,并S3数,S学,4根归据纳计法算证结明果. ，试猜想Sn
Sn
n 3n 1
第十一页，共30页。
第二十三页，共30页。
证明：设f(n)= 1 n 2 (n 1 ) 3 (n 2 ) (n 1 )2 n 1
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式
成立
第二十四页，共30页。
(2)假设当n＝k,时等式成立，即 f(k)1k(k1)(k2)
则n=k+1时，
6
f(k+1)=1·(k+1)+2[(k+1)-1]+3[(k+1)-2]+ …
小结
递推依据
递推基础
1.数学归纳法证明一个及正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当 n取第一个值 （n如0 n0 或12等）时结论
正确； “找准起点，奠基要稳” （2）假设时 n k (k N 且 k n 0 结)论正确，证
明 nk1 “用上假设，递推才真”
时结论也正确．
注 意：1、一定要用到归纳假设；
那么n=k+1时, 左边 (11)(11)( 1 1 )
2 2 3 k1 k2
(1 1 ) k1
即n=k+1时,命题k也2成立(k.1)1
=右边,
由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.
第十七页，共30页。
证明中需要注意的问题
(1)在第一步中的初始值不一定从1取起 ，证明时应根据具体情况而定.
2、看清从k到k＋1中间的变化。
第十二页，共30页。
2.归纳推理能发现结论，数学归纳法能 证明结论，二者强强联合，优势互补，在 解决及正整数有关的问题时，具有强大的
功能作用.但在数学归纳法的实施过程中， 还有许多细节有待进一步明确和认识.
第十三页，共30页。
练习1:欲用数学归纳法证明2n>n2,试问n的 第一个取值应是多少?
第十五页，共30页。
练习3.下面是某同学用数学归纳法证明命 题
11 1 n 1•2 2•3 n•(n1) n1
的过程.你认为他的证法正确吗?为什么？
第十六页，共30页。
解：
(1)当n=1时,左边=
1 1• 2
1 2
(2)假设n=k时命题成立 即
, 右边=1
11
1 2
11 1 k 12 23 k(k1) k1
由特殊到一般、由有限到无穷．
第二十六页，共30页。
课
堂 数学归纳法的核心:
小 结
在验证命题n=n0正确的基础上, 证明命题具有传递性,而第二步实际
上是以一次逻辑的推理代替了无限
的验证过程.所以说数学归纳法是一
种合理、切实可行的科学证题方法
，实现了有限到无限的飞跃。
第二十七页，共30页。
用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
项.
第十九页，共30页。
练习：4
1.已知: f(n) 1 1 ... ,1则
等于( C ) n1 n2 3n1
f(k1)
A f(k) 1
3(K1)1
B
f (k) 1 3K 2
C f(k) 1 1 1 1 D f(k) 1 1
3K23K33K4K1
3K4 K1
第二十页，共30页。
数学归纳法口诀 重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少， 归纳假设要用到，
成立；
（2）假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成 立，证明当n＝k＋1时命题也成立.
第八页，共30页。
思考4：数学归纳法由两个步骤组成，其中 第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，
完成这两个步骤的证明，实质上解决了什 么问题？
逐一验证命题对从n0开始的所有正整数n 都成立.
第九页，共30页。
理论迁移
(2)在第二步中,证明n=k+1命题成立时, 必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否 则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑 递推关系,造成推理无效.
第十八页，共30页。
(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成
立时,要分析命题的结构特点,分析 “n=k+1时”命题是什么，并找出及 “n=k”时命题形式的差别.弄清应增加的
作业：
P96习题A组：1，2.
第二十九页，共30页。
谢谢观赏
第三十页，共30页。
答:对n=1,2,3,…,逐一尝试,可知初始值为n=5.
第十四页，共30页。
练习2:用数学归纳法证明3n>n2. 此题在第二步的证明过程中在假设n=k 时,3k>k2成立的基础上, 当n=k+1时,
3k1(k1)2 33k (k22k1)3k2(k22k1) (k1)2k22 要说明此式大于零,则必须k≥2.故在证明的 第一步中,初始值应取1和2两个值.
但得出的结论不一定正确，即使正确也需 要经过严格的证明才能肯定其真实性. 综
合法，分析法和反证法虽可证明某些结论 ，但都有其局限性，因此，我们非常需要
一个及归纳推理相匹配的证明方法，使之 成为无与伦比的“黄金搭档”.
第三页，共30页。
第四页，共30页。
探究（一）：数学归纳法的感性认识
思考1：有若干块骨牌竖直摆放，若将它们 全部推倒，有什么办法？一般地，多米诺 骨牌游戏的原理是什么？
1.明确首取值n0并验证真假。（必不可少） 2.“假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 3.分析“n=k+1时”命题是什么，并找出及“n=k”时
命题形式的差别。弄清左端应增加的项。
4.明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的 方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等， 并 用上假设。
第二十八页，共30页。
思考3：已a知n 数1 列1{aann}a满n 足
（n∈N*），假设当n＝k时，
a k，
1 k
则当n＝k＋1时，ak＋1等于什么？
ak 1
1 k1
第七页，共30页。
定义
上述证明方法叫做数学归纳法，一般地，
用数学归纳法证明一个及正整数n有关的命 题，其证明步骤为：
（1）证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题
结论写明莫忘掉。
第二十一页，共30页。
例3．对于n∈N*用数学归纳法证明
：
1n2(n1)3(n2)(n1)2n1 1n(n1)n(2)
6
第二十二页，共30页。
分析：
f (k) 1 k 2 ( k 1 ) 3 ( k 2 ) ( k 1 ) 2 k 1
有几项？
f (k 1) 是什么,它比 f (k ) 多出了多少？ f(k+1)=f(k)+1+2+3+…+k+k+1
（1）推倒第一块骨牌；
（2）前一块骨牌倒下时能
碰倒后一块骨牌.
第五页，共30页。
思考2：某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？ 某家族所有男人世代都姓王的条件是什么？
（1）始祖姓王； （第1代姓王） （2）子随父姓. （如果第k代姓王，则第k+1代也姓王）
第六页，共30页。
探究（二）：数学归纳法的基本原理