高中数学 2.12.1.5 平面上两点间的距离课件 苏教版必修2

短．
第十八页，共18页。
栏 目
链
接
分析(fēnxī)：这是一个对称问题，点A关于河的对称点A′与点B 的连线，交小河于点P，则PA′＋PB＝PA＋PB，此点即为所求(证明 略)．
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变式
训练
解析：如右图，以小河所在直线为 x 轴，过点 A 的垂线为 y 轴，建
立直角坐标系，则点 A(0,400)，点 B(a,100)，过点 B 作 BC⊥AO 于点
栏 目 链
2．利用两点间的距离公式解决相关平面几何问题的基本步 接
骤可归纳(guīnà)为：第一步建，立_(j_ià_n_l_ì)_坐__标_系__用__坐__标__表__示__有_关__的__量_；
第 二 步 ，进行__有__关__(_y_ǒ_u_g_u_ā_n_)_代__数__运_ ；算第 三 步 ， 把 代 数 运 算 结 果 “翻译”成几何关系．
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链
等关系．
接
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变式
训练
2．A、B 两个厂距一条河分别为 400 m 和 100 m，且在河的同侧，
A、B 两厂之间距离 500 m，把小河看做一条直线，今在小河边上建
一座抽水站，供 A、B 两厂用水，要使抽水站到 A、B 两厂铺设的水
管长度之和最短，问抽水站应建在什么地方？
题型1 两点间的距离(jùlí)问题
例1 已知四边形ABCD各顶点坐标分别为A(－7，
0)、B(2，－3)、C(5,6)、D(－4,9)，判断这个四边形的
栏
形状．
目 链
接
分析：结合四边形的有关知识，判断边的长度以 及边所在(suǒzài)直线的平行及垂直关系．
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解析：∵kAB＝－31，kCD＝－13，kAD＝3，kBC＝3，
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变式
训练
1．已知点 A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，求证：△ABC 是等腰三角形．
分析：求出三边之长，比较三边的大小下结论．
证明：∵AB＝ 4－22＋3－12＝ 8，
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链
AC＝ 0－22＋5－12＝ 20，
接
BC＝ 5－32＋0－42＝ 20，∴AC＝BC.
又∵A、B、C 不共线，∴△ABC 是等腰三角形．
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题型2 用解析(jiě xī)法解决平面几何问题
例2已知Rt△ABC，∠B为直角，AB＝a，BC＝b，建立适
当的坐标系，写出顶点A，B，C的坐标，并求证斜边AC的中点
M到三个顶点的距离相等．
栏 目
链
接
分析：取直角边所在(suǒzài)的直线为坐标轴建立坐标系，
再写出各顶点坐标，给出证明．
目
个是原点时，则有 OP＝ x21＋y21或 OP＝ x22＋y22.
链 接
两点间的距离公式可用来计算平面直角坐标系内任意两已知
பைடு நூலகம்
坐标点间的距离，公式的推导体现解析几何中常用的数学思想方法
——坐标法．通过学习应当深刻理会用坐标法解决几何问题的基本
思路.
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接
MB＝ 0－a22＋0－b22＝21 a2＋b2，
MC＝ 0－a22＋b－b22＝21 a2＋b2， ∴MA＝MB＝MC.
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规律总结：在建立坐标系时，适当的坐标系能使运
算更加简便(如本例以两直角边为坐标轴建立坐标系)，故
在建坐标系时要有效地利用(lìyòng)条件中的垂直、对称
∴AB∥CD，AD∥BC，AB⊥AD，CD⊥BC，即四边形 ABCD
为矩形．
又∵AB＝3 10，AD＝3 10，
栏 目
链
AC＝6 5，BD＝6 5，
接
∴AB＝AD，AC＝BD，即四边形 ABCD 为正方形．
规律总结：根据斜率判断对边是否平行邻边是否垂直，再根据
对角线的长度、边的长度来确定是哪种四边形．
从水厂向两个村庄铺设的管道最短，则水厂应当建在什么地方？ 栏
目
我们知道平面上两点间的连线的长中线段的长最短，那么，应
链 接
当铺设的管道最短是多少？
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1.掌握在平面直角坐标系下的两点间的距离公式. 2.初步学会用坐标法证明(zhèngmíng)简单的平面几何问题.
C.在△ABC 中，AB＝500，AC＝400－100＝300，
由勾股定理得 BC＝400，∴B(400,100)．
点 A(0,400)关于 x 轴的对
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链
称点 A′(0，－400)，由两点式，
接
得直线 A′B 的方程为 y＝45x－400.
令 y＝0，得 x＝320，即点 P(320,0)．
故抽水站(点 P)在距 O 点 320 m 处时，到 A、B 两厂的水管长度之和最
特 别 ， 当 直 线 P1P2 垂 直 于 y 轴 时 ，P1_P_2_＝__|x_2_－__x_1|； 当 直 线
P1P2垂直于x轴时，_P_1_P_2_＝__|y_2_－_y；1| 当P1，P2中有一个是原点时，
则有_______O_P_＝____x_21＋__y_21或___O_P_＝____x22_＋．y22
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1 ． P1(x1 ， y1) ， P2(x2 ， y2) 两 点 间 的 距 离 公 式 为 ：
_____________P_1_P_2_＝____x_2_－__x_1__2＋___y_2_－__y_1_2___________.
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两点间的距离(jùlí)公式
P1(x1 ， y1) ， P2(x2 ， y2) 两 点 间 的 距 离 公 式 为 ： P1P2 ＝
x2－x12＋y2－y12.特别：当直线 P1P2 垂直于 y 轴时，P1P2＝|x2
－x1|；当直线 P1P2 垂直于 x 轴时，P1P2＝|y2－y1|；当 P1，P2 中有一 栏
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解析：取边 BA 所在的直线为 x 轴，边 BC 所在的直线为 y 轴，建立直
角坐标系，如右图，则三个顶点的坐标分别为 A(a,0)，B(0,0)，C(0，b)．
由中点坐标公式得斜边 AC 的中点 M 的坐标为a2，2b.
∴MA＝ a－a22＋0－b22＝21 a2＋b2，
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第2章 平面(píngmiàn)解析几何初步 2．1 直线与方程
2．1.5 平面(píngmiàn)上两点间的距离
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第二页，共18页。
在 一 条 直 线 型 的 河 流 l 的 同 侧 有 两 个 村 庄 A 、 B. 现 在
(xiànzài)要在河流旁边共建造一水厂C向两个村庄供水，要求