高考数学 专题02 函数与方程及函数的应用热点难点突破 文

专题02 函数与方程及函数的应用
1．已知函数f (x )＝x －a x
，若
116<a <1
2
，则f (x )零点所在区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1
解析 根据零点存在性定理，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12<0，故选C.
答案 C
2．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2
x
的零点所在的大致区间是( )
A ．(0，1)
B ．(1，2)
C ．(2，e)
D ．(3，4)
解析 利用零点存在性定理得到f (1)·f (2)＝(ln 2－2)·(ln 3－1)<0，故选B. 答案 B
3．函数f (x )＝ln x ＋x 3
－9的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4) 解析 利用零点存在性定理得到f (3)·f (2)<0，故选C. 答案 C
4．设x 1，x 2是方程ln|x －2|＝m (m 为实常数)的两根，则x 1＋x 2的值为( ) A ．4 B ．2
C ．－4
D ．与m 有关
答案 A
5．直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，
x 2＋4x ＋2，x ≤m
的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( )
A ．[－1，2)
B ．[－1，2]
C ．[2，＋∞)
D ．(－∞，－1]
解析 直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m
的图象恰有三个公共点，即方程x 2
＋4x ＋2＝x (x ≤m )与x
＝2(x >m )共有三个根．∵x 2
＋4x ＋2＝x 的解为x 1＝－2，x 2＝－1，∴－1≤m <2时满足条件，故选A. 答案 A
6．在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12 000元，
旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是( ) A ．32人 B ．35人 C ．40人 D ．45 人
解析 设旅行团的人数为x 人，每张机票收费为m 元，旅行社获得的机票利润为y ， 当1≤x ≤30且x ∈N 时，m ＝800，y max ＝800×30－12 000＝12 000， 当30<x ≤45且x ∈N 时，m ＝800－20(x －30)＝1 400－20x ，
则y ＝(1 400－20x )x －12 000＝－20x 2
＋1 400x －12 000，对应的抛物线开口向下，
因为x ∈N ，所以当x ＝－ 1 400
2×（－20）＝35，函数取得最大值．所以当旅行社人数为35时，旅行社可获得
最大利润．故选B. 答案 B
7．一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t 内的路程为s ＝12t 2
米，那么，此人( )
A ．可在7秒内追上汽车
B ．可在9秒内追上汽车
C ．不能追上汽车，但其间最近距离为14米
D ．不能追上汽车，但其间最近距离为7米
答案 D
8．某人在三个时间段内，分别乘摩托车、汽车和火车走了整个行程的三分之一，如果该人乘摩托车、汽车和火车的速度分别为v 1，v 2，v 3，则该人整个行程的平均速度是( )
A.
v 1＋v 2＋v 3
3
B.
1
v 1＋1v 2＋
1v 3
3
C.3
v 1v 2v 3
D.
31
v 1＋1
v 2＋
1v 3
解析 设整个行程为3S ，乘摩托车、汽车和火车的时间分别为t 1，t 2， t 3，则t 1＝S v 1，t 2＝S v 2，t 3＝S v 3
，整
个行程的平均速度为
3S
t 1＋t 2＋t 3＝
3S
S
v 1＋S v 2＋S v 3＝
31v 1＋1
v 2＋1v 3
，选D.
答案 D
9．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元，8万元，那么要使这两项费用之和最小，则仓库应建在离车站( ) A ．5 km 处 B ．4 km 处 C ．3 km 处
D ．2 km 处
解析 设仓库建在离车站x km 处，则y 1＝k 1
x
，y 2＝k 2x ，根据已知数据可得k 1＝20，k 2＝0.8，两项费用之和
y ＝20x
＋0.8x ≥2
20
x
×0.8x ＝8，当且仅当x ＝5时，等号成立，故仓库应建在离车站5 km 处．
答案 A
10．设函数f (x )＝x |x －a |，若对∀x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2
＞0恒成立，则
实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3]
B ．[－3，0)
C ．(－∞，3] D
．(0，3]
答案：C
11．在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2
－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( )(导学号 55460092) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
解析：y ＝x cos x 为奇函数，y ＝lg x 2
－2与y ＝x sin x 为偶函数，y ＝e x ＋x 2
是非奇非偶函数． 答案：B
12．函数f (x )＝1－3x
x －1的定义域为( )
A ．(－∞，0]
B ．[0，1]∪[1，＋∞)
C ．[1，＋∞)
D ．(1，＋∞)
解析：由题意知⎩
⎪⎨⎪⎧1－3x
≥0，
x ≠1，解得x ≤0且x ≠1，即x ≤0.
答案：A
13．函数y ＝2x
sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π2＋6x 4x
－1
的图象大致为( )
解析：∵f (x )＝2x
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋6x 4x －1＝2x cos 6x
4x －1，∴f (－x )＝2－x cos （－6x ）4－x
－1＝－2x
cos 6x 4x －1
＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，排除A ；当x →＋∞时，总会存在x ，使cos 6x ＜0，故排除B ，C ，选D. 答案：D
14．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2
，f 4(x )＝log 2(2x )，则“同根函数”是( ) A ．f 2(x )与f 4(x ) B ．f 1(x )与f 3(x ) C ．f 1(x )与f 4(x )
D ．f 3(x )与f 4(x )
答案：A
15．已知函数f (x )＝x 2
＋1－ax (其中a ＞0)在区间[0，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围为________．
解析：∵f (x )＝x 2
＋1－ax ，∴f ′(x )＝
x
x 2＋1
－a .
又函数f (x )＝x 2
＋1－ax (其中a ＞0)在区间[0，＋∞)上是单调函数，且当a ≥1时，f ′(x )＜0，而0＜a ＜1时，f ′(x )的符号不确定，
故当a ∈[1，＋∞)时，f (x )在[0，＋∞)上单调递减． 答案：[1，＋∞)
16．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2
－2，x ≤0，
2x －6＋ln x ，x ＞0
的零点个数是________．
答案：2
17．已知函数f (x )＝a x
＋b (a ＞0，a ≠1)．
图① 图②
(1)若f (x )的图象如图①所示，求a 、b 的值； (2)若f (x )的图象如图②所示，求a 、b 的取值范围；
(3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求实数m 的取值范围． 解：(1)f (x )的图象过点(2，0)，(0，－2)，
∴⎩
⎪⎨⎪
⎧a 2
＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，解得a ＝3，b ＝－3. (2)∵f (x )单调递减， ∴0＜a ＜1，
又f (0)＜0，即a 0
＋b ＜0，[ ∴b ＜－1.
即a 的取值范围是(0，1)，b 的取值范围是(－∞，－1)． (3)画出y ＝|f (x )|的草图(图略)，
知当m ＝0或m ≥3时，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解． ∴实数m 的取值范围是{0}∪[3，＋∞)． 18．已知二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋1(a ＞0)，
F (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立．
(1)求F (x )的表达式；
(2)当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．
19．已知函数f (x )＝a －22x ＋1.
(1)求f (0)；
(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论；
(3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )＜f (2)的x 的范围． 解：(1)f (0)＝a －2
20＋1＝a －1.
(2)∵f (x )的定义域为R ， ∴任取x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝a －22x 1＋1－a ＋2
2x 2＋1＝
2·（2x 1－2x 2）（1＋2x 1）（1＋2x 2）
∵y ＝2x
在R 上单调递增且x 1＜x 2， ∴0＜2x 1＜2x 2，[]
∴2x 1－2x 2＜0，2x 1＋1＞0，2x 2＋1＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在R 上单调递增． (3)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即a －
22－x
＋1＝－a ＋2
2x ＋1
， 解得a ＝1(或用f (0)＝0去解)． ∴f (ax )＜f (2)即为f (x )＜f (2)， 又∵f (x )在R 上单调递增， ∴x ＜2.
∴不等式的解集为(－∞，2)．
20．设函数f (x )＝x ＋1
x
的图象为C 1，C 1关于点A (2，1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．
(1)求g (x )的解析式；
(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．。