2021-2022版高中数学 第三章 不等式 3.4.1 基本不等式素养评价检测新人教A版必修5

2021-2022版高中数学第三章不等式3.4.1 基本不等式素养评价检测新人教A版必修5
年级：
姓名：
基本不等式
(20分钟35分)
1.下列不等式中正确的是( )
A.≥
B.a2+b2≥4ab
C.≥
D.x2+<2
【解析】选C.A中,a<0,b<0时不成立,故A错误.
取a=1,b=1,则a2+b2<4ab,故B错误.
≥,所以≥,故C正确.x2+≥2=
2,当x=±时等号成立.
2.若a,b∈R,且a+b=0,则2a+2b的最小值是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选A.因为2a>0,2b>0,所以2a+2b≥2=2=2,当且仅当a=b=0
时,等号成立.所以2a+2b的最小值是2.
3.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为( )
A.16
B.25
C.9
D.36
【解析】选B.(1+x)(1+y)≤
===25,
因此当且仅当1+x=1+y,即x=y=4时,
(1+x)(1+y)取最大值25.
4.若lg a+lg b=0,则+的最小值是.
【解析】依题意lg a+lg b=0,所以a>0,b>0,且lg(ab)=0,
即ab=1,所以+≥2==2.
当且仅当=,
即a=,b=时,取得等号.
答案:2
5.若0<x<1,则的取值范围是.
【解析】由0<x<1知3-2x>0,故=·≤·=,
当且仅当x=时上式等号成立.
所以0<≤.
答案:
【补偿训练】
已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= . 【解析】f(x)=4x+≥2=4(x>0,a>0),
当且仅当4x=,即x=时等号成立,
此时f(x)取得最小值4.又x=3时,
f(x)min=4,
所以=3,即a=36.
答案:36
6.已知x>0,y>0,且2x+y=4.
(1)求xy的最大值及相应的x,y的值;
(2)求9x+3y的最小值及相应的x,y的值.
【解析】(1)4=2x+y≥2⇒xy≤2,
所以xy的最大值为2,当且仅当2x=y=2,
即x=1,y=2时取“=”;
(2)9x+3y=32x+3y≥2=18,
所以9x+3y的最小值为18,
当且仅当9x=3y,
即2x=y=2⇒x=1,y=2时取“=”.
【补偿训练】
已知x>0,y>0.
(1)若2x+5y=20,求u=lg x+lg y的最大值;
(2)若lg x+lg y=2,求5x+2y的最小值.【解析】(1)因为x>0,y>0,
由基本不等式得2x+5y≥2
=2·.
又因为2x+5y=20,所以20≥2·,
所以≤,所以xy≤10,当且仅当2x=5y时,等号成立.
由解得
所以当x=5,y=2时,xy有最大值10.
所以u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1.
所以当x=5,y=2时u max=1.
(2)由已知,得x·y=100,
5x+2y≥2=2=20.当且仅当5x=2y=,即当
x=2,y=5时,等号成立.所以5x+2y的最小值为20.
(30分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.在下列各函数中,能利用基本不等式求得最小值等于2的是( )
A.y=x+
B.y=sin x+
C.y=e x+-2
D.y=
【解析】选C.选项A,当x<0时,y=x+≤-2,故错误;选项B,由于0<x<,函数的最小值
取不到2,故错误;选项D,y==+≥2,但是=,
得x2+4=1不成立,故错误.
2.若0<x<,则函数y=x的最大值为( )
A.1
B.
C.
D.
【解析】选C.因为0<x<,所以1-4x2>0,
所以x=×2x≤×=,当且仅当2x=,即
x=时等号成立.
3.已知正数m,n满足m2+n2=100,则m+n ( )
A.有最大值10
B.有最小值10
C.有最大值10
D.有最小值10
【解析】选A.≥,
即≤50,又m>0,n>0,
所以≤5,
即m+n≤10.
4.已知x,y>0,x+y=1,若4xy<t恒成立,则实数t的取值范围是( )
A.(1,+∞)
B.(-∞,1)
C.(-∞,2)
D.(2,+∞)
【解析】选A.4xy≤4·=1,
当且仅当x=y=时,等号成立,。