浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题

浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020-2021学年高一上
学期期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合{}0A x x =>，{}
1B x x =≤-，则R
A B =（ ）
A ．∅
B ．{}
10x x -<<
C ．{}
0x x >
D ．{}
1x x >-
2．以下形式中，不能表示“y 是x 的函数”的是（ ）
A ．
B ．
C ．2y
x
D ．()()0x y x y +-=
3．设函数12
()log (1)f x x =-，则（ ）
A ．()f x 在(0,)+∞单调递增
B ．()f x 在(0,)+∞单调递减
C ．()f x 在(1,)+∞单调递增
D ．()f x 在(1,)+∞单调递减
4．下列函数中，值域是[)0,+∞的是（ ）
A ．2x y = B
．y =
C ．()
2
ln 1y x =+
D ．2
1y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
5．函数()()2ln 1x f x x
-=的图象关于（ ）
A ．x 轴对称
B ．原点对称
C ．y 轴对称
D ．直线y x =对称
6．函数2x y a a a =-+（0a >且1a ≠）的图象不可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．设10,
2a ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭，则11221
log ,log log ,log 2a a
a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
之间的大小关系是（ ） A ．112
21
log log log log 2a
a a a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭
B ．112
2
1
log log log log 2
a a
a a ⎛⎫>> ⎪⎝
⎭
C ．11221
log log log log 2a
a a a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭
D ．1122
1
log log log log 2a
a a a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭ 8．设函数()()
2
ln 1f x x x =++，则使得()()21f x f x >-的x 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞
B ．1
,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭
C ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪
⎝⎭
D ．1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
9．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，
例如函数2
y x =，x ∈[1，2]与函数.2
y x =，[]2,1x ∈--即为同族函数，下面函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（ ）
A ．y =x
B ．1
y x x
=+
C ． 22x x y -=-
D ．y ＝log 0.5
x 10．已知函数()f x ＝4
1
t x --在区间[2，5]的最大值为2，则t 的值为（ ） A ．2 B ．3
C ．2或3
D ．-1或6
二、填空题
11．已知()f x 为幂函数，且图象过3,3⎛ ⎝⎭
，则()4f =________
12．已知函数()lg 1,01
32,1x x x f x a a x -+<≤⎧=⎨+->⎩
，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为
[)1,+∞，则实数a 的取值范围是________
13．已知二次函数()()2
2,f x x ax b a b R =++∈，,M m 分别是函数()f x 在区间
[]0,2的最大值和最小值，则M m -的最小值是________
三、双空题
14+=________；22log 32-=________
15．函数()f x =________，值域为________
16．函数()13,0
3,0
x x
a x f x
b
c x +-⎧+≥=⎨⋅+<⎩为奇函数，则a =________，9b c +=________
四、解答题
17．已知集合{3A x x =≤-或}4x ≥，{}
43B x a x a =≤≤+. （1）若1a =-，求A
B ，A B
（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围. 18．已知函数()24
x
f x x =
-. （1）判断函数()f x 在()2,+∞上的单调性并证明；
（2）判断函数()f x 的奇偶性，并求()f x 在区间[]
6,3--上的最大值与最小值.
19．已知函数()21
21
x x
a f x ⋅+=-.
（1）当1a =时，解方程()() lg 2lg 1lg18f x f x -=-.
（2）当(]0,1x ∈时，()()21f x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围. 20．设函数()2
2f x ax x a =--.
（1）当1
2
a =
时，求函数()f x 的值域； （2）若对任意[]
1,2x ∈，恒有()1f x ≥-，求实数a 的取值范围.
参考答案
1．C 【解析】 【分析】 根据题意直接求出B R
，进而可得R
A
B 的答案.
【详解】
由集合{}|1B x x =≤-，得{}|1R
B x x =>-，又{}0A x x =>，
所以{}|0R
A B x x =>.
故选：C. 【点睛】
本题考查交集与补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题． 2．D 【分析】
根据函数的定义即可得到结论． 【详解】
根据函数的定义可知A 、B 、C 选项都能表示“y 是x 的函数”， D 选项表示两条相交直线不能表示函数. 故选：D. 【点睛】
本题考查函数定义的理解和应用，根据函数的定义是解决本题的关键，属于基础题. 3．D 【分析】
求出()f x 定义域，根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】
12
()log (1)f x x =-定义域为(1,)+∞，
所以()f x 的递减区间是(1,)+∞. 故选:D. 【点睛】
本题考查函数的性质，研究函数要注意定义域优先原则，属于基础题. 4．C 【分析】
根据基本初等函数的图象与性质，对各项中的函数依次求出值域，即可得到答案. 【详解】
对于A ：2x
y =，因x ∈R ，所以函数的值域为()0,∞+，故A 不正确；
对于B
：y 因x ∈R ，则2
11x +≥，所以函数的值域为[)1,+∞，故B 不正确；
对于C ：(
)
2
ln 1y x =+，因x ∈R ，则211x +≥，所以(
)
2
ln 10x +≥，即函数的值域为
[)0,+∞，故C 正确；
对于D ：2
1y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，因0x ≠，则2
10x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以函数的值域为()0,∞+，故D 不正确.
故选：C. 【点睛】
本题给出几个函数，考查基本初等函数的图象与性质，函数值域的求法，属于基础题. 5．B 【分析】
求出函数的定义域，判断函数为奇函数，即可得到答案. 【详解】
由题意得210
x x ⎧->⎨≠⎩，解得11x -<<且0x ≠，
所以函数()f x 的定义域为()
()1,00,1-，
()()
(
)()()2
2
ln 1ln 1x x f x f x x
x
---∴-=
=-=--，
即()f x 为奇函数，其图象关于原点对称. 故选：B. 【点睛】
本题考查根据函数的奇偶性判断函数图象的问题，属于基础题. 6．D
【分析】
分两类，当01a <<时，和1a >进行讨论，即可得到答案. 【详解】
当01a <<时，函数2
x
y a a a =-+为减函数，取0x =时，函数值
2
2
155244y a a a a ⎛
⎫=-+=--+= ⎪⎝
⎭，又01a <<，所以
2
021551244a a a a ⎛
⎫<-+=--+≤ ⎪⎝
⎭故C 选项符合题意，D 选项不符合题意；
当1a >时，函数2
x
y a a a =-+为增函数，取0x =时，函数值
2021524y a a a a ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，又1a >，所以2
0215124a a a a ⎛
⎫-+=--+< ⎪⎝
⎭，
故A 选项符合题意，B 选项也符合题意. 故选：D. 【点睛】
本题考查函数的图象的识别，分类讨论，属于基础题. 7．A 【分析】
根据对数函数的单调性和a 的范围，可判断出12
log log 0a a ⎛⎫< ⎪⎝
⎭
，
10log 12
a <<，
12log 1a >，从而得选项. 【详解】 令
112
log y x =，则112
log y x =在0,
上单调递减，
因为10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以12121log log 12
a >=，即12log 1a >， 因为10,
2a ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭
，令2log a y x =，则2log a y x =在0,上单调递减，
所以121log log log 10log 2a a a a ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭
，1
log log 12a
a a <=，
所以12log log 0a a ⎛⎫< ⎪⎝⎭
，10log 12a
<<，12log 1a >， 所以112
21
log log log log ,2a
a a a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭
故选：A. 【点睛】
本题考查比较对数值的大小，关键在于根据对数函数的单调得出各对数值的符号，尤其是与中介值“0”和“1”的大小关系，属于中档题. 8．D 【分析】
由题意利用函数的单调性和奇偶性可得21x x >-，由此求得取值范围. 【详解】
由函数()()
2
ln 1f x x x =++知，定义域为R ，
又()()()()
()2
2
ln 1ln 1f x x x x x f x -=-+-+=++=，即()f x 为R 上的偶函数，
当0x >时，()f x 是增函数， 由()()21f x f x >-，即()()21f x f x >-，所以21x x >-，解得113
x <<. 故选：D. 【点睛】
本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于中等题. 9．B 【分析】
由题意，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调，由此判断各个函数在其定义域上的单调性即可. 【详解】
对A ：y x =在定义域R 上单调递增，不能构造“同族函数”，故A 选项不正确；
对B ：1
y x x
=+在(),1-∞-递增，在()1,0-递减，在()0,1递减，在()1,+∞递增，能构造“同族函数”，故B 选项正确；
对C ：22x x
y -=-在定义域上递增，不能构造“同族函数”，故C 选项不正确； 对D ：0.5log y x =在定义域上递减，不能构造“同族函数”，故D 选项不正确. 故选：B. 【点睛】
本题给出“同族函数”的定义，要求我们判断几个函数能否被用来构造“同族函数”，考查基本初等函数的单调性的知识点，属于基础题. 10．C 【分析】
根据绝对值函数的特性对t 进行讨论即可得到答案. 【详解】 由函数()41f x t x =
--，令()0f x =，得4
1x t
=+， 当
4
12t
+≤，即4t ≥时，()f x 去绝对值后的函数在区间[]2,5上为单调递增函数， ∴函数()f x 的最大值()4
5251
f t =
-=-，解得3t =（舍）或1t =-（舍）， 当
4
15t
+≥，即1t ≤，()f x 去绝对值后的函数在区间[]2,5上为单调递减函数， ∴函数()f x 的最大值()4
2221
f t =
-=-，解得6t =（舍）或2t =（舍）， 当4
215t
<
+<，即14t <<， ()f x 在区间[]2,5上的最大值为()42221f t =
-=-或()45251
f t =-=-， 解得3t =或2t =.
综上：t 的值为3t =或2t =. 故选：C. 【点睛】
本题考查绝对值函数的最值，利用单调性是关键，属于中档题. 11．
1
2
【分析】
根据幂函数的概念设()a
f x x =（a 为常数），将点的坐标代入即可求得a 值，从而求得函
数解析式，即可得到答案. 【详解】
由题意，设()a
f x x =（a 为常数），则1
233a
-==，所以12a =-，
即()1
2
f x x -
=，所以()12
144
2
f -
==
. 故答案为：12
. 【点睛】
本题考查待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题. 12．()(]0,11,2
【分析】
利用分段函数的表达式，结合函数的值域，列出不等式求解即可. 【详解】
当01x <≤时，()lg 1f x x =-+，()[)1,f x ∈+∞， 当1x >时，()32x
f x a a =+-，
若01a <<，则()f x 为减函数，又1x >，()f x 的值域为()32,3a a --， 所以321a -≥，解得1a ≤，故01a <<，
若1a >，则()f x 为增函数，由()f x 的值域为[
)1,+∞，
当1x >时，()323x
f x a a a =+->-，即函数()f x 在区间()1,+∞上的值域为
()3,a -+∞.
所以31a -≥，解得2a ≤，故12a <≤. 综上所述：实数a 的取值范围为()(]0,11,2.
【点睛】
本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，属于基础题. 13．2
【分析】
求出函数的对称轴，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出M m -的最小值即可. 【详解】
由题意，二次函数()2
22
2248a a f x x ax b x b ⎛⎫=++=++- ⎪⎝
⎭，其对称轴为4a x =-， 当04
a
-
≤，即0a ≥时，()f x 在区间[]0,2上为增函数， ∴()228M f a b ==++，()0m f b ==，
∴288M m a -=+≥，
当24
a
-
≥，即8a ≤-时，()f x 在区间[]0,2上为减函数， ∴()0M f b ==，()282m f a b ==++，
∴828M m a -=--≥，
当014a <-
≤，即40a -≤<时，()f x 在区间0,4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在区间,24a ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上为
增函数，
∴()228M f a b ==++，248a a m f b ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
，∴()21828M m a -=+≥；
当124a <-
<，即84a -<<-时，()f x 在区间0,4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在区间,24a ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上
为增函数，
∴()0M f b ==，248a a m f b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
，∴2
28a M m -=>.
综上所述：M m -的最小值是2. 故答案为：2. 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，函数的单调性，最值问题，分类讨论思想，转化思想，属于中档题． 14．1
3- 4
3
【分析】
化根式利用有理数指数幂，指数运算，对数运算即可得到答案. 【详解】
221
133333=+==-，
22224log 2log 3
log 4log 3
342
2
2
3
⎛⎫
⎪
--⎝⎭
===
. 故答案为：13-；43
. 【点睛】
本题考查有理指数幂的化简求值及对数的运算性质，属于基础题．
15．(],3-∞ 0,⎡⎣
【分析】
由根式内部的代数式大于等于0求解x 的取值集合得函数的定义域从而可得函数的值域. 【详解】
由820x -≥，得3x ≤，所以()f x 的定义域为(],3-∞，
因3x ≤，则30228x <≤=，所以0828x ≤-<，即0<
所以()f x 的值域为0,⎡⎣.
故答案为：(],3-∞；0,⎡⎣. 【点睛】
本题考查函数的定义域和值域的求法，属于基础题． 16．3- 24- 【分析】
直接利用奇函数的定义可求得a 的值，观察知9b c +为()2f -的函数值，即可得到答案.
【详解】
由()f x 为R 奇函数，则()00f =，即()1
030f a =+=，所以3a =-，
所以()3
23324f =-=，
当2x =-时，()29f b c -=+，又()f x 为R 奇函数，则()()22f f -=-，
所以924b c +=-. 故答案为：3-；24-. 【点睛】
本题考查函数的奇偶性，利用()00f =为关键，属于基础题. 17．（1）见解析（2）(][),61,-∞-+∞
【分析】
（1）由题意和交集、并集运算求出A
B ，A B ；
（2）若B A ⊆，则集合B 为集合A 的子集，对集合B 讨论即可得到答案. 【详解】
（1）若1a =-，则{}
{}43|42B x a x a x x =≤≤+=-≤≤， 所以{}|43A
B x x =-≤≤-，{|2A B x x ⋃=≤或}4x ≥
（2）若B A ⊆，则集合B 为集合A 的子集， 当B =∅时，即43a a >+，解得1a >； 当B ≠∅时，即43a a ≤+，解得1a ≤，
又{
3A x x =≤-或}4x ≥，由B A ⊆，则33a +≤-或44a ≥， 解得6a ≤-或1a =.
综上所述：实数a 的取值范围为(][),61,-∞-+∞.
【点睛】
本题考查交集，并集的运算，集合与集合的包含关系，属于基础题. 18．（1）()f x 在()2,+∞上为减函数，理由见解析；（2）见解析. 【分析】
（1）利用单调性的定义判断函数()f x 在()2,+∞上的单调性； （2）利用奇函数的定义判断()f x 为奇函数，由单调性即可得最值. 【详解】
（1）()f x 在()2,+∞上为减函数，证明如下： 任取122x x >>，则
()()()()
()()()()()()
221221211212
12222222
121212444=444444
x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x ----+-=-=------， 122x x >>，
22
12211240,40,0,0x x x x x x ∴->->-<>，
()()
()()()(
)
2112122
21
2
4=0
44
x x x x f x f x x
x -+∴-<--，即()()12f x f x <，
∴()f x 在()2,+∞上为减函数.
（2）由题意得()f x 的定义域为()
(),22,-∞-+∞，
()()
()2
2
4
4
x
x
f x f x x x -∴-=
=-
=----， ∴()f x 为奇函数，
由（1）知，函数()f x 在[]
6,3--为减函数， 故当6x =-时，函数()f x 取得最大值为()()
2
4
66
316
6f ---=
=-
-， 当3x =-时，函数()f x 取得最小值为()()
2
3
35343f -==----. 【点睛】
本题考查函数的单调性的判断和证明，函数的奇偶性，利用函数的单调性求函数的最值，属于基础题．
19．（1）1x =；（2）5
2a ≤-或12
a ≥. 【分析】
（1）根据对数运算法则化简原方程得()()
2
2
21
5
9
2
1x x
+=
+，再令2x t =，则原方程化为()
22
1
5
9
1t t +=
+整理得22520t t -+=求解可得原方程的解，注意对数函数的定义域；
（2）由()()21f x f x -≥化简不等式为()
2
22
121
x x
x a --⋅≥-，令2x t =，当(]0,1x ∈时，
得(]1,2t ∈，所以当(]0,1x ∈时，()()21f x f x -≥恒成立，等价于21
1t a t
-+≥在
(]1,2t ∈时恒成立，再令()211
t g t t t t
-==-，证明函数g t 在(]1,2上单调递增，并得
出在(]1,2上的最值，建立关于a 的不等式3
12
a +≥，可得实数a 的取值范围. 【详解】
（1）当1a =时，()2121
2121
x
x
x
x a f x ⋅++=
=--，()()()2
222212122121x x
x x f x ++==--， 所以方程()() lg 2lg 1lg18f x f x -=-化为()()210
lg
lg 18
f x f x =且()()20,0f x f x >>，即()()25 9f x f x =且()()2
221
021x x +>-，21021
x x +>-，
所以()()2
221
215 219
21
x x x
x +-=
+-，即()()22
215 921x x
+=+， 令2x t =，则原方程化为()
22
1
5
9
1t t +=
+整理得22520t t -+=， 解得2t =或12t =，即22x =或122x =，解得1x =或1x =-，当1x =-时，()()2
221021x x +<-，21
021
x x
+<-，故舍去， 故原方程的解为：1x =；
（2）由()()21f x f x -≥得()()2
22121 12121x x x x a a ⋅+⋅+-≥--，即()222 121
x x
x
a --⋅≥-，
令2x t =，当(]0,1x ∈时，(]1,2t ∈，所以210t ->，
所以当(]0,1x ∈时，()()21f x f x -≥恒成立，等价于当(]1,2t ∈时，()2
1
11
a t
t +⋅≥-恒
成立，即21
1t a t
-+≥在(]1,2t ∈时恒成立，
令()211
t g t t t t
-==-，设112112220,10,012,t t t t t t t t <<<-><->，
()()()()121212121212
111 0t t t t g t g t t t t t t t --⎛⎫⎛⎫-=---=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
所以()()12 g t g t <，所以g t 在(]1,2上单调递增，
所以()()()13322 ,1110 ,0<222g g g t =-==-=≤，所以()30<2g t ≤，所以3 12a +≥， 解得5
2a ≤-或12
a ≥；
所以实数a 的取值范围是5
2a ≤-或12
a ≥.
【点睛】
本题考查指数、对数运算法则，参变分离的思想，证明函数的单调性，以及不等式恒成立的条件，属于难度题。

对于恒成立的问题可利用函数的最大值或最小值建立关于参数的不等式. 20．（1）[)3,-+∞（2）1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【分析】 （1）若12a =
，则()211222f x x x =--，根据12
x ≥和1
2x <得到分段函数，进而可得
()f x 的值域；
（2）对任意[]
1,2x ∈，恒有()1f x ≥-，即2
12ax x a +≥-恒成立，0a >，
则()
()2
2
121ax x a ax -+≤-≤+对任意[]
1,2x ∈，0a >恒成立，构造函数
()2212g x ax x a =++-和函数()2212h x ax x a =-++讨论即可.
【详解】
（1）当1
2a =时，()211222f x x x =--，即()221112,2221112,2
22x x x f x x x x ⎧⎛⎫--≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+-<
⎪⎪⎝⎭⎩
当12x ≥
时，()()2221111221212222f x x x x x x ⎛
⎫=--=-+=-- ⎪⎝
⎭，
此时()[)1,f x ∈-+∞， 当12x <
时，()()2221111221232222f x x x x x x ⎛
⎫=+-=+-=+- ⎪⎝
⎭，
此时()[)3,f x ∈-+∞， 综上：()f x 的值域为[)3,-+∞.
（2）对任意[]
1,2x ∈，恒有()1f x ≥-，即2
12ax x a +≥-恒成立，所以0a >，
所以()
()2
2
121ax x a ax -+≤-≤+对任意[]
1,2x ∈，0a >恒成立，
设()2212g x ax x a =++-，对任意[]
1,2x ∈，0a >恒有()0g x ≥，
因()g x 为开口向上，其对称轴为1
x a
=-
的二次函数，则()g x 在区间[]1,2上单调递增， 所以()11220g a a =++-≥，解得3a ≤，
故对任意[]
1,2x ∈，0a >恒有()0g x ≥时a 的取值范围为(]0,3
设()2
212h x ax x a =-++，对任意[]
1,2x ∈，0a >恒有()0h x ≥，因()h x 为开口向上，
其对称轴为1
x a
=的二次函数， 当
1
1a
≤，即1a ≥时，()h x 在区间[]1,2上单调递增， 所以()12120h a a =-++≥，解得1
3
a ≥，所以1a ≥，
当12a
≥，即1
02a <≤时，()h x 在区间[]1,2上单调递减，
所以()244120h a a =-++≥，解得12
a ≥，所以1
2a =，
当1
12a <
<，即112a <<时，()h x 在区间11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，在区间1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，
所以 2
1112120h a a a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得12a ≥或1a ≤-（舍） 所以
112a <<，故对任意[]1,2x ∈，0a >，()0h x ≥时a 的取值范围为1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
综上对任意[]
1,2x ∈，恒有()1f x ≥-时，a 的取值范围为1
,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题考查含有绝对值的不等式解法，二次函数含参的分类讨论思想，属于中档题．。