2019-2020学年苏教版选修2-2第3章 3.2 第一课时 复数的加减与乘法运算

第1课时复数的加法、减法、乘法运算
学习目标 1.掌握复数代数形式的加减运算.2.理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算.3.掌握共轭复数的概念及应用．
知识点一复数的加减运算
思考1类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？
答案两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i.
思考2复数的加法满足交换律和结合律吗？
答案满足．
梳理(1)运算法则
设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
知识点二复数的乘法运算
思考复数的乘法与实数的乘法有何联系与区别？
答案类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，运算过程中要把i2换成－1，然后把实部与虚部分别合并．
梳理(1)复数的乘法法则
设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，
z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)乘法运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
知识点三共轭复数
思考复数3＋4i与3－4i，a＋b i与a－b i(a，b∈R)有什么特点？
答案这两组复数的特点：①实部相等，②虚部互为相反数．
梳理(1)把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数．
(2)复数z＝a＋b i的共轭复数记作z，即z＝a－b i.
(3)当复数z＝a＋b i的虚部b＝0时，z＝z，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．
类型一复数的加减运算
例1计算：
(1)(3＋5i)＋(3－4i)；
(2)(－3＋2i)－(4－5i)；
(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．
解(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.
(2)(－3＋2i)－(4－5i)
＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.
(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)
＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.
反思与感悟复数加减运算法则的记忆方法
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．
跟踪训练1(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；
(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.
解(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)
＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)
＝(3－7i)－(3＋4i)
＝(3－3)＋(－7－4)i＝－11i.
(2)由z＋1－3i＝5－2i，得
z＝(5－2i)－(1－3i)＝(5－1)＋(－2＋3)i＝4＋i.
类型二复数的乘法
例2计算：
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
解(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
反思与感悟(1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．
(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i2＝－1，(1±i)2＝±2i.
跟踪训练2(1)若复数(m2＋i)(1＋m i)是实数，则实数m＝________.
答案－1
解析∵(m2＋i)(1＋m i)＝m2－m＋(m3＋1)i，
∵(m 2＋i)(1＋m i)是实数，∴m 3＋1＝0，则m ＝－1.
(2)已知复数z 1＝⎝⎛⎭⎫
12－32i (1＋i)(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2. 解 设z 2＝x ＋2i ，z 1＝(12－3
2i)(1＋i)＝2－i ，
z 1·z 2＝(2－i)(x ＋2i)＝(2x ＋2)＋(4－x )i. ∵z 1·z 2为实数，∴4－x ＝0，∴x ＝4， z 2＝4＋2i.
类型三 共轭复数的概念
例3 复数z 满足z ·z ＋2i z ＝4＋2i ，求复数z 的共轭复数． 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i. ∵z ·z ＋2i z ＝4＋2i ， ∴x 2＋y 2＋2i(x ＋y i)＝4＋2i ， 因此(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝4＋2i.
得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2
－2y ＝4，2x ＝2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝－1，
∴z ＝1＋3i 或z ＝1－i.
因此z 的共轭复数z ＝1－3i 或z ＝1＋i.
反思与感悟 (1)有关复数z 及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：①设z ＝a ＋b i ，则z ·z ＝a 2＋b 2；②z ∈R ⇔z ＝z .
(2)紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础．
跟踪训练3 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R )．
由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，
则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝3，
所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.
1．已知复数z 1＝12－3
2i 和复数z 2＝cos 60°＋isin 60°，则z 1＋z 2＝________.
答案 1 解析 z 1＋z 2＝1.
2．已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________. 答案 －1＋3i
解析 (－1＋i)(2－i)＝－2＋3i －i 2＝－1＋3i.
3．设复数z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，若z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________. 答案 －1＋10i
解析 ∵z 1＋z 2＝x ＋2i ＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ， ∴(x ＋3)＋(2－y )i ＝5－6i(x ，y ∈R )， 由复数相等定义，得x ＝2且y ＝8， ∴z 1－z 2＝2＋2i －(3－8i)＝－1＋10i. 4．计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)(－12＋32i)(32＋1
2i)(1＋i)．
解 (1)原式＝1－i 2＋(－1)＋i ＝1＋i. (2)原式＝[(－34＋34i 2)＋(34－1
4
)i](1＋i) ＝(－
32＋12i)(1＋i)＝－32－32i ＋12i －12
＝－1＋32＋1－32
i.
1．复数的加减运算
把复数的代数形式z ＝a ＋b i 看作关于“i ”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就行，不需要记加法、减法法则． 2．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数，例如(3－2i)＋2i ＝3. 3．复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部、虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数． 4．理解共轭复数的性质 (1)z ∈R ⇔z ＝z .
(2)当a ，b ∈R 时，有a 2＋b 2＝(a ＋b i)(a －b i)，这是虚数问题实数化的一个重要依据．
课时作业
一、填空题
1．复数z 满足z －(1－i)＝2i ，则z ＝________. 答案 1＋i
解析 ∵z －(1－i)＝2i ， ∴z ＝1－i ＋2i ＝1＋i.
2．若复数(1＋b i)(2＋i)是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b ＝________. 答案 2
解析 (1＋b i)(2＋i)＝(2－b )＋(2b ＋1)i ， 令2－b ＝0，且2b ＋1≠0， ∴b ＝2.
3．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________. 答案 －1
解析 z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2－a －2＝0，a 2
＋a －6≠0，解得a ＝－
1.
4．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是________． 答案 －1－i
解析 ∵z ＝i(i ＋1)＝i 2＋i ＝－1＋i. ∴z 的共轭复数是z ＝－1－i.
5．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z 的实部是________． 答案 6
解析 ∵z ＝1－2i ， ∴z ＝1＋2i ，
∴z ·z ＝(1－2i)(1＋2i)＝5， ∴z ·z ＋z ＝5＋1－2i ＝6－2i. ∴z ·z ＋z 的实部是6. 6．复数z ＝32－a i ，a ∈R ，且z 2＝12－3
2
i ，则a ＝________. 答案 12
解析 ∵z 2＝(
32－a i)2＝(3
4
－a 2)－3a i ， ∴(34－a 2)－3a i ＝12－3
2
i(a ∈R )，则⎩
⎨⎧
34－a 2＝12，3a ＝32
，
∴a ＝12
.
7．把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 答案 2＋i
解析 设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i(a ，b ∈R )， (1＋2i)z ]＝(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，
由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝1.
∴z ＝2＋i.
8．已知－1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则复数z ＝p ＋q i(p ，q ∈R )＝________. 答案 2＋2i
解析 (－1＋i)2＋p (－1＋i)＋q ＝0， 整理得(q －p )＋(p －2)i ＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
q －p ＝0，p －2＝0，
∴p ＝q ＝2. 故z ＝p ＋q i ＝2＋2i. 9．已知z 1＝
3
2
a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33
b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则z 1·z 2＝________. 答案 －18－63i 解析 z 1－z 2＝3
2
a ＋(a ＋1)i －[－33
b ＋(b ＋2)i] ＝(
3
2
a ＋33
b )＋(a －b －1)i ＝4 3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧
32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝1，
∴z 1＝3＋3i ，z 2＝－33＋3i.
z 1·z 2＝(3＋3i)(－33＋3i)＝－18－63i.
10．已知3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)，则z ＝________. 答案 5＋5i
解析 ∵3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)， ∴z ＝3＋i －(4＋3i)＋(6＋7i) ＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i ＝5＋5i.
11．若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. 答案 2
解析 由题意，得x ＋i ＝－1＋2i i ＝－i ＋2i 2i 2
＝－i －2
－1
＝2＋i ，所以x ＝2. 二、解答题
12．已知z －1＋2z i ＝－4＋4i ，求复数z .
解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入z －1＋2z i ＝－4＋4i ，整理，得(x －2y －1)＋(2x ＋y )i ＝－4＋4i ，
故有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －1＝－4，2x ＋y ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝2，
所以复数z ＝1＋2i.
13．已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i ，若z 2＋az ＋b ＝1－i(a ，b ∈R )，求b ＋a i 的共轭复数． 解 z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i ， 由z 2＋az ＋b ＝1－i ，得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，
∴a ＋b ＋i(a ＋2)＝1－i(a ，b ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝1，a ＋2＝－1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－3，
b ＝4.
则b ＋a i 的共轭复数是4＋3i. 三、探究与拓展
14．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________. 答案 34
解析 ∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i ， ∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4t i －4i 2 ＝(3t ＋4)＋(4t －3)i. 又∵z 1·z 2是实数， ∴4t －3＝0，即t ＝3
4
.
15．已知复数z ＝1＋i ，实数a ，b 满足az ＋2bz ＝(a ＋2z )2成立，求a ，b 的值． 解 az ＋2bz ＝(a ＋2b )＋(a ＋2b )i ，
(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i ， ∴(a ＋2b )＋(a ＋2b )i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝a 2
＋4a ，a ＋2b ＝4(a ＋2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－22，b ＝4－32，或⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝22，
b ＝4＋3 2. ∴所求实数a ＝－22，b ＝4－32或a ＝22，b ＝4－3 2.。