第三讲 逻辑函数的标准形式
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第三讲 逻辑函数的标准形式
例. 建立飞机允许滑跑信号的逻辑函数， 滑跑需满足以下条件： (1)发动机开关接通 (2)飞行员入座，保险带扣上 (3)乘客入座，保险带扣上；或座位上无乘客
解：假设①发动机开关接通S = 1 ②飞行员入座A = 1，保险带扣上B = 1 ③乘客入座Mi = 1，保险带扣上Ni = 1 ④允许滑跑F = 1 F = f(S,A,B,Mi,Ni)
= SAB(M1N1+M1)(M2N2+M2) ‥‥‥
= SAB(N1+M1)(N2+M2) ‥‥‥
（b）反演规则 用于求反函数。 Y
0
1 + A
·
A
（c）对偶规则 用于求对偶函数。 Y'
·
0
+ 1
逻辑函数的标准形式
内容： 最大项和最小项的定义及其性质 逻辑函数的标准形式及其求取方法 目的与要求： 理解并掌握最大项和最小项之间的关系； 掌握逻辑函数的标准形式及其求取方法； 重点与难点： 重点：最大项和最小项之间的关系； 难点：最大项的应用。
i0 2 1
n
Mi 0
。
④ n个变量的任何一个最大项有n个相邻最大项。
F(A，B，C) = ∏M(0，2，4，5)的真值表及其最大项、最小项
通过比较可以发现相同编号的最小项和最大项之 间存在互补关系，即： 所以： mi+Mi=1 mi·i=0 M
因此，同一函数的最小项表达式和最大项表达式之间的关 系为： F（A，B，C）= ∏M（0，2，4，5） = ∑m（1，3，6，7）
逻辑函数的标准形式
逻辑函数具有唯一的真值表，但它的逻辑表达式不是唯 一的。逻辑函数存在一个唯一的表达式形式即标准形式。
一、最小项与最大项
1. 最小项 设一逻辑函数为 F ( A , B , C ) AB AC 利用互补律 A+ A =1对函数进行扩展变换得：
F ( A , B , C ) AB ( C C ) AC ( B B )
逻辑函数的表达式
一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达 式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5 种表示形式。 (1)与或表达式：Y=AB+AC (2)或与表达式：Y=(A+B)(A+C)
(3)与非-与非表达式：Y=AB·AC
(4)或非-或非表达式：Y=A+B+A+C (5)与或非表达式：Y=AB+AC 一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽 管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑 功能是相同的。
பைடு நூலகம்
ABC AB C A BC A B C
最小项：与项中包含了全部的输入逻辑变量，每个 输入逻辑变量在与项中可以以原变量的形式出现， 也可以以反变量的形式出现，且只出现一次。 又 称为标准与项。
前述逻辑函数F可用最小项的代号表示为： 对于有n个输入变量（自变量）的逻辑函数，变量有 F（A，B，C） ABC AB C A BC A B C 2n 种取值组合，因此有2n 个最小项。全部由最小项构成 的与-或表达式称为函数的最小项表达式，又称为标准与 = m7+ m6+ m3+ m1 -或表达式或标准积之和式。 =∑m（1，3，6，7） 为简化书写，用mi来表示一个最小项。m的下标i实 际上是该最小项将其原变量用1、反变量用0代入构成的 二进制数转换为的十进制数。
推广到一般情况，同一逻辑函数从一种标准形式变 换为另一种标准形式时，只需将∑m和∏M符号互换，并 在其后的括弧中填入原标准形式缺少的数字即可。如：
F（A，B，C，D）=∑m（1，3，6，7，11，12，14） =∏M（0，2，4，5，8，9，10，13，15）
二、逻辑函数标准形式的求取方法 -----------代数变换法和真值表法 1. 代数变换法求函数的最小项表达式 首先将函数变换成一般与-或表达式。从一般与-或表 达式得到最小项表达式只须利用互补律（A+ A =1）将每 个与项乘上未出现的变量的原变量与反变量和的形式，展 开后即得到最小项表达式。
m3 m5 m6 m7
m ( 3 ,5 , 6 , 7 )
2.真值表法求函数的最小项表达式 将真值表中使函数值为1的变量取值组合对应的最小 项相加，即可得到函数F的最小项表达式。 F(A,B,C)= m0 + m1 + m4 + m5 + m 例2：写出下列真值表对应的最小项表达式。 6 = ∑m（0，1，4，5，6）
实际上是该最大项将其原变量用0、反变量用1代入构成的 二进制数转换为的十进制数。
i
最大项具有如下性质： ① n个变量构成的任何一个最大项Mi ，有且仅有一种变量 取值组合使其值为0，该种变量取值组合即序号i对应的二 进制数。 ② 相同变量构成的两个不同最大项相或为1，即Mi+Mj=1 （i≠j）。 ③ n个变量的全部最大项相与为0，即
最小项具有下列性质： ①n个变量构成的任何一个最小项mi，有且仅有一种变量取值 组合使其值为1，该种变量取值组合即序号i对应的二进制数。 ②任意两个不同最小项相与为0，即 mi·j=0 （i≠j）。 m ③n个变量的全部最小项相或为1，即
2 1
n
i0 ④n个变量的任何一个最小项有n个相邻最小项。所谓相邻最 小项是指两个最小项中仅有一个变量不同，且该变量分别为 同一变量的原变量和反变量。因此两个相邻最小项相加一定 能合并成一项并消去一对以原变量和反变量形式出现 的因子。如
m
。
i
1
2. 最大项
F ( A, B , C ) A B C A B C A B C A B C
( A B C )( A B C )( A B C )( A B C )
最大项：或项中包含了全部的输入逻辑变量，每个输入逻 辑变量在或项中可以以原变量的形式出现，也可以以反变 量的形式出现，且只出现一次。这种包含所有输入逻辑变 量的或项称为最大项（或标准或项）。
例1：求F（A，B，C）=AB+BC+AC的最小项表达式。
F ( A , B , C ) AB BC AC
AB ( C C ) BC ( A A ) AC ( B B )
ABC AB C ABC A BC ABC A B C
A BC A B C AB C ABC
对于有n个输入变量（自变量）的逻辑函数，变量有 逻辑函数F的最大项代号表示： n 种取值组合，因此有2 2F（A，B，C） ( A B n 个最大项。全部由最大项构成 ) C )( A B C )( A B C )( A B C 的或—与表达式称为函数的最大项表达式，又称为标准 = M0 M 2 M4 M5 或—与表达式或标准和之积式。 =∏M（0，2，4，5） 为了简化书写，用M 来表示一个最小项。M的下标i
3.代数变换法求函数的最大项表达式 首先将函数变换成一般或—与表达式。从一般或—与表 达式得到最大项表达式只须利用吸收律(A+B)(A+ B )=A将 每个非最大项的或项A扩展成最大项，即可得到最大项表达式。 其中B为非最大项或项中所缺少的变量。 4.真值表法求函数的最大项表达式 作出函数F的真值表。将真值表中使函数值为0的变量取 值组合对应的最大项相与，即可得到函数F的最大项表达式。
例. 建立飞机允许滑跑信号的逻辑函数， 滑跑需满足以下条件： (1)发动机开关接通 (2)飞行员入座，保险带扣上 (3)乘客入座，保险带扣上；或座位上无乘客
解：假设①发动机开关接通S = 1 ②飞行员入座A = 1，保险带扣上B = 1 ③乘客入座Mi = 1，保险带扣上Ni = 1 ④允许滑跑F = 1 F = f(S,A,B,Mi,Ni)
= SAB(M1N1+M1)(M2N2+M2) ‥‥‥
= SAB(N1+M1)(N2+M2) ‥‥‥
（b）反演规则 用于求反函数。 Y
0
1 + A
·
A
（c）对偶规则 用于求对偶函数。 Y'
·
0
+ 1
逻辑函数的标准形式
内容： 最大项和最小项的定义及其性质 逻辑函数的标准形式及其求取方法 目的与要求： 理解并掌握最大项和最小项之间的关系； 掌握逻辑函数的标准形式及其求取方法； 重点与难点： 重点：最大项和最小项之间的关系； 难点：最大项的应用。
i0 2 1
n
Mi 0
。
④ n个变量的任何一个最大项有n个相邻最大项。
F(A，B，C) = ∏M(0，2，4，5)的真值表及其最大项、最小项
通过比较可以发现相同编号的最小项和最大项之 间存在互补关系，即： 所以： mi+Mi=1 mi·i=0 M
因此，同一函数的最小项表达式和最大项表达式之间的关 系为： F（A，B，C）= ∏M（0，2，4，5） = ∑m（1，3，6，7）
逻辑函数的标准形式
逻辑函数具有唯一的真值表，但它的逻辑表达式不是唯 一的。逻辑函数存在一个唯一的表达式形式即标准形式。
一、最小项与最大项
1. 最小项 设一逻辑函数为 F ( A , B , C ) AB AC 利用互补律 A+ A =1对函数进行扩展变换得：
F ( A , B , C ) AB ( C C ) AC ( B B )
逻辑函数的表达式
一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达 式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5 种表示形式。 (1)与或表达式：Y=AB+AC (2)或与表达式：Y=(A+B)(A+C)
(3)与非-与非表达式：Y=AB·AC
(4)或非-或非表达式：Y=A+B+A+C (5)与或非表达式：Y=AB+AC 一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽 管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑 功能是相同的。
பைடு நூலகம்
ABC AB C A BC A B C
最小项：与项中包含了全部的输入逻辑变量，每个 输入逻辑变量在与项中可以以原变量的形式出现， 也可以以反变量的形式出现，且只出现一次。 又 称为标准与项。
前述逻辑函数F可用最小项的代号表示为： 对于有n个输入变量（自变量）的逻辑函数，变量有 F（A，B，C） ABC AB C A BC A B C 2n 种取值组合，因此有2n 个最小项。全部由最小项构成 的与-或表达式称为函数的最小项表达式，又称为标准与 = m7+ m6+ m3+ m1 -或表达式或标准积之和式。 =∑m（1，3，6，7） 为简化书写，用mi来表示一个最小项。m的下标i实 际上是该最小项将其原变量用1、反变量用0代入构成的 二进制数转换为的十进制数。
推广到一般情况，同一逻辑函数从一种标准形式变 换为另一种标准形式时，只需将∑m和∏M符号互换，并 在其后的括弧中填入原标准形式缺少的数字即可。如：
F（A，B，C，D）=∑m（1，3，6，7，11，12，14） =∏M（0，2，4，5，8，9，10，13，15）
二、逻辑函数标准形式的求取方法 -----------代数变换法和真值表法 1. 代数变换法求函数的最小项表达式 首先将函数变换成一般与-或表达式。从一般与-或表 达式得到最小项表达式只须利用互补律（A+ A =1）将每 个与项乘上未出现的变量的原变量与反变量和的形式，展 开后即得到最小项表达式。
m3 m5 m6 m7
m ( 3 ,5 , 6 , 7 )
2.真值表法求函数的最小项表达式 将真值表中使函数值为1的变量取值组合对应的最小 项相加，即可得到函数F的最小项表达式。 F(A,B,C)= m0 + m1 + m4 + m5 + m 例2：写出下列真值表对应的最小项表达式。 6 = ∑m（0，1，4，5，6）
实际上是该最大项将其原变量用0、反变量用1代入构成的 二进制数转换为的十进制数。
i
最大项具有如下性质： ① n个变量构成的任何一个最大项Mi ，有且仅有一种变量 取值组合使其值为0，该种变量取值组合即序号i对应的二 进制数。 ② 相同变量构成的两个不同最大项相或为1，即Mi+Mj=1 （i≠j）。 ③ n个变量的全部最大项相与为0，即
最小项具有下列性质： ①n个变量构成的任何一个最小项mi，有且仅有一种变量取值 组合使其值为1，该种变量取值组合即序号i对应的二进制数。 ②任意两个不同最小项相与为0，即 mi·j=0 （i≠j）。 m ③n个变量的全部最小项相或为1，即
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n
i0 ④n个变量的任何一个最小项有n个相邻最小项。所谓相邻最 小项是指两个最小项中仅有一个变量不同，且该变量分别为 同一变量的原变量和反变量。因此两个相邻最小项相加一定 能合并成一项并消去一对以原变量和反变量形式出现 的因子。如
m
。
i
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2. 最大项
F ( A, B , C ) A B C A B C A B C A B C
( A B C )( A B C )( A B C )( A B C )
最大项：或项中包含了全部的输入逻辑变量，每个输入逻 辑变量在或项中可以以原变量的形式出现，也可以以反变 量的形式出现，且只出现一次。这种包含所有输入逻辑变 量的或项称为最大项（或标准或项）。
例1：求F（A，B，C）=AB+BC+AC的最小项表达式。
F ( A , B , C ) AB BC AC
AB ( C C ) BC ( A A ) AC ( B B )
ABC AB C ABC A BC ABC A B C
A BC A B C AB C ABC
对于有n个输入变量（自变量）的逻辑函数，变量有 逻辑函数F的最大项代号表示： n 种取值组合，因此有2 2F（A，B，C） ( A B n 个最大项。全部由最大项构成 ) C )( A B C )( A B C )( A B C 的或—与表达式称为函数的最大项表达式，又称为标准 = M0 M 2 M4 M5 或—与表达式或标准和之积式。 =∏M（0，2，4，5） 为了简化书写，用M 来表示一个最小项。M的下标i
3.代数变换法求函数的最大项表达式 首先将函数变换成一般或—与表达式。从一般或—与表 达式得到最大项表达式只须利用吸收律(A+B)(A+ B )=A将 每个非最大项的或项A扩展成最大项，即可得到最大项表达式。 其中B为非最大项或项中所缺少的变量。 4.真值表法求函数的最大项表达式 作出函数F的真值表。将真值表中使函数值为0的变量取 值组合对应的最大项相与，即可得到函数F的最大项表达式。