2019届辽宁省丹东市高三总复习质量测试（一）数学（理）试题

2019届辽宁省丹东市高三总复习质量测试（一）数学（理）
试题
一、单选题
1．设集合，，则（）A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解一元二次不等式求得集合的元素，然后求两个集合的交集.
【详解】
由解得，故，所以，故选A.
【点睛】
本小题主要考查集合的交集，考查一元二次不等式的解法，考查集合的研究对象等知识，属于基础题.一元二次不等式的解法首先看二次项系数，若二次项系数为负数，则先变为正数，然后求出一元二次不等式对应一元二次方程的两个根，最后按照大于在两边，小于在中间求得解集.
2．若，则复数对应的点位于复平面的（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】对复数进行整理化简，得到复数的实部和虚部，确定对应点在复平面的位置. 【详解】
在复平面对应的点为位于第一象限
故选A项.
【点睛】
本题考查复数的基本运算和复平面与复数的对应关系,属于简单题.
3．设等比数列的前项和为，且，则公比（）
A．B．C．2 D．3
【答案】C
【解析】将已知转化为的形式，解方程求得的值.
【详解】
依题意，解得，故选C.
【点睛】
本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量，属于基础题.基本元的思想是在等比数列中有个基本量，利用等比数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.
4．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：
根据该折线图可知，下列说法错误的是（）
A．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高
B．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低
C．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益
D．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元
【答案】D
【解析】用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.
【详解】
用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：
月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
份
收
20 30 20 10 30 30 60 40 30 30 50 30
益
所以月收益最高，A选项说法正确；月收益最低，B选项说法正确；月总收益
万元，月总收益万元，所以前个月收益低于后六个月收益，C选项说法正确，后个月收益比前个月收益增长万元，所以D选项说法错误.故选D. 【点睛】
本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.
5．的展开式中的系数为（）
A．B．-5 C．5 D．
【答案】A
【解析】写出二项式展开的通项,整理后，令的次数为3,得到项数,再求这一项的系数.
【详解】
的二项展式，第项为
令,解得,
的系数为
故选A项.
【点睛】
本题考查二项式展开式中的某一项的系数，属于简单题.
6．我国明代伟大数学家程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为（）
A．0.9升B．1升C．1.1升D．2.1升
【答案】B
【解析】先根据“下头三节三升九，上梢四节贮三升”列方程组，解方程组求得的
值，进而求得的值.
【详解】
依题意得，故，即
，解得，故升.故选B.
【点睛】
本小题主要考查中国古代数学文化，考查等差数列通项的性质，属于基础题.
7．已知函数，则（）
A．是奇函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增
D．是偶函数，且在上单调递减
【答案】C
【解析】先利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，然后利用特殊值对单调性进行判断，由此得出正确选项.
【详解】
函数的定义域为，，故函数为偶函数.，
，，故，所以本小题选C.
【点睛】
本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查函数的单调性，属于基础题.
8．学校组织学生参加社会调查，某小组共有3名男同学，4名女同学，现从该小组中选出3名同学分别到甲乙丙三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有（）
A．30种B．60种C．180种D．360种
【答案】C
【解析】解法一:正向思考,分1男2女和2男1女来进行选取,然后再进行全排;
解法二:逆向思考,算出选出3人全是男同学和全是女同学的情况,再用总数减去这两种情况,然后进行全排.
【详解】
解法一:先选后排,因为选出的同学中男女均有,可以分两种情况,①1男2女,情况有,②2男1女,对选出的情况再进行全排.
解法二:用总数减去找所求的反面,即7人里选3人的情况,减去选出的全是男同学和全是女同学的情况,再进行全排,
【点睛】
本题考查排列组合的知识,采用先选后排,可以分正向和逆向两种方法,属于简单题. 9．计算机在数据处理时使用的是二进制，例如十进制数1,2,3,4的二进制数分别表示为1,10,11,100，二进制数…化为十进制数的公式为…
，例如二进制数11等于十进制数，又如二进制数101等于十进制数，下图是某同学设计的将二进制数11111化为十进制数的程序框图，则判断框内应填入的条件是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】该程序的作用是将二进制转换为十进制，根据转换的方法和步骤，结合流程图可知，判断框内填入的应是进行循环的条件,判断出循环的次数,得到答案.
【详解】
在将二进制数化为十进制数的程序中
循环次数有循环变量决定
共有5位，因此要循环4次才能完成整个转换过程
退出循环的条件根据程序框图和答案选项,应设为
故选A项.
【点睛】
本题考查根据题目要求准确理解程序框图的含义,填写相应的语句,属于简单题. 10．设函数，已知对于内的任意，总存在内的，使得，则的（）
A．最大值为3 B．最小值为3 C．最大值为D．最小值为
【答案】D
【解析】对任意的,总存在使得,
得到最大值点和最小值点与之间的关系.再结合周期与最值点之间的关系,
求出范围.
【详解】
因为要满足对任意的,总存在使得，
对于则在上的函数值有正值,即可以有正值，
要存在使得,则需要有负值.
可得一定是大于在上的第一个零点.
因此就可以取到最大值,
要存在使得,则要可以取到,
说明在上取得第一个最小值的点应在的左侧或者恰好落在处
所以,即,解得
故选D项.
【点睛】
本题考查三角函数的图像与性质以及量词的理解和使用,有一定的难度,属于中档题. 11．已知球表面上的四点满足，，若四面体体积的最大值为，则球的表面积为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据四面体体积的最大值求得四面体高，利用勾股定理列方程，解方程求得球的半径，由此求得球的表面积.
【详解】
直角三角形的面积为，设四面体的高为，则
.由于三角形为直角三角形，斜边，，球心在过中点，且垂直于平面的直线上.设球的半径为，则，解得，故球的表面积为.
【点睛】
本小题主要考查四面体的体积公式，考查几何体外接球表面积的求法，属于中档题.
12．已知是椭圆的右焦点，直线与相交于两点，则的面积为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直曲联立，构造方程组，解出点坐标，得到长度，再计算出右焦点到直线的距离，得到面积.
【详解】
解得，即
右焦点到直线的距离为
故选C项.
【点睛】
本题考查直线与椭圆相交时，椭圆弦长的计算，点到直线的距离等，都是基本知识点的运用，属于简单题.
二、解答题
13．如图，在四边形中，，，的面积为.
（1）求；
（2）若，，求.
【答案】（1）3；（2）．
【解析】（1）根据三角形的面积公式列方程，求得的长，由余弦定理求得的长.（2）
先求得，在中利用正弦定理求得的长.
【详解】
解：（1）由，，得．
因为，所以由余弦定理．
（2）由（1）知，因为，所以．
在△中，由正弦定理得，所以．
【点睛】
本小题主要考查三角形的面积公式，考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题.
14．基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间就风靡全国，带给人们新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，设月份代码为，市场占有率为，得结果如下表：
年月2018.102018.112018.122019.12019.22019.3 123456
111316152021
（1）观察数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（精确到0.001）；
（2）求关于的线性回归方程，并预测该公司2019年4月份的市场占有率；
（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000
元/辆和800元/辆的甲、乙两款车型报废年限各不相同，考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频率表如下：
经测算，平均每辆单车可以为公司带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？
参考数据：，，，
回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公
式分别为，.
【答案】（1）见解析（2），4月份的市场占有率预报值为23%．（3）见解析【解析】（1）通过线性回归相关系数的公式，计算得到结果，看是否接近1；
（2）利用最小二乘法将回归方程的斜率和截距计算出来，带入2019年4月份代码，得到答案;
（3）用频率估计概率，得到每款单车的利润的分布列，算出数学期望，做出判断. 【详解】
解：（1）由参考数据可得，接近1，
所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．
（2）因为，，
．
，
所以关于的线性回归方程为．
2019年4月份代码，代入线性回归方程得，
于是2019年4月份的市场占有率预报值为23%．
（3）用频率估计概率，甲款单车的利润的分布列为
-500 0 500 1000
0.1 0.3 0.4 0.2
（元）．
乙款单车的利润的分布列为
-300 200 700 1200
0.15 0.4 0.35 0.1
（元）．
以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择乙款车型．
【点睛】
本题考查线性相关系数，最小二乘法求线性回归方程，频率估计概率，列分布列求数学期望，属于中档题.
15．已知离心率为2的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）设分别为的左右顶点，为异于一点，直线与分别交轴于两点，求证：以线段为直径的圆经过两个定点.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】（1）根据离心率求得的关系式，利用焦点到渐近线的距离列方程，解方程求得的值，进而求得双曲线方程.（2）设出点的坐标，根据点斜式求得和的方程，进而求得两点的坐标，根据中点坐标和直径长求得圆的方程.令求得两个定点的坐标.
【详解】
（1）设：，
因为离心率为2，所以，．
所以的渐近线为，
由，得．
于是，，
故的方程为．
（2）设（），
因为，，
可得直线与方程为，．
由题设，所以，，，中点坐标，
于是圆的方程为．
因为，所以圆的方程可化为．
当时，，因此经过两个定点和．
【点睛】
本小题主要考查双曲线标准方程的求法，考查双曲线的渐近线，考查直线的点斜式方程和圆的标准方程的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
16．如图，直三棱柱中，，，分别为、的中点.
（1）证明：平面；
（2）已知与平面所成的角为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）见证明（2）
【解析】解法1：（1）建立空间直角坐标系，利用直线的向量和平面法向量平行证明线面垂直；
（2）设，利用与平面所成的角为得到的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.
解法2：（1）取中点，连接、，易证平面，再证明,可得
平面
（2）设，利用与平面所成的角为得到的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.
解法3：（1）同解法2
（2）设，利用三棱锥等体积转化，得到到面的距离，利用
与平面所成的角为得到与的关系，解出，在两个平面分别找出垂直于交线，得到二面角，求出其余弦值.
【详解】
解法1：
（1）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．
设，，则，，，，，，，，．
因为，，
所以，，面，面，
于是平面．
（2）设平面的法向量，
则，，
又，，
故，取，得．
因为与平面所成的角为，，
所以，，
解得，．
由（1）知平面的法向量，
，
所以二面角的余弦值为．
解法2：
（1）取中点，连接、,
，
平面，平面
，
而平面,平面,
平面．
为中点，，，
，，
四边形为平行四边形，
．
平面．
（2）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．
设，，，则，，．
设平面的法向量，
则，，
又，，
故，
取，得．
因为与平面所成的角为，，
所以，，
解得，．
由（1）知平面的法向量，
所以二面角的余弦值为．
解法3：
（1）同解法2．
（2）设，，则，,，
，，
到平面距离，设到面距离为，
由
得，即
．
因为与平面所成的角为，
所以，
而在直角三角形中，
所以，
解得．
因为平面，平面,所以，
平面，平面所以，所以平面，平面,平面
所以为二面角的平面角，
而,可得四边形是正方形，所以，
所以二面角的余弦值为．
【点睛】
本题考查线面垂直的证明，利用几何关系构造方程求出边的大小，利用空间向量正面线面垂直，求二面角的大小，属于中档题.
17．已知设函数.
（1）若，求极值；
（2）证明：当，时，函数在上存在零点.
【答案】（1）取得极大值0，无极小值（2）见证明
【解析】（1）通过求导得到，求出的根，列表求出的单调区间和极值. （2）对进行分类，当时，通过对求导，得到在单调递减，找到其零点，进而得到的单调性，找到，，可证在上存在零点.
当时，根据（1）得到的结论，对进行放缩，得到，再由，可证在上存在零点.
【详解】
（1）当时，，定义域为，由
得．
当变化时，，的变化情况如下表：
极大值
故当时，取得极大值，无极小值．
（2），．
当时，因为，所以，在单调递减．
因为，，
所以有且仅有一个，使，
当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减．
所以，而，
所以在存在零点．
当时，由（1）得，
于是，所以．
所以．
于是
．
因为，所以所以在存在零点．
综上，当，时，函数在上存在零点．
【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值，通过对导函数求导，得到导函数的单调性来判断其正负，得到原函数的增减，再由零点存在定理证明函数存在零点，题目涉及知识点较多，综合程度高，属于难题.
18．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的普通方程为，曲线参数方程为（为参数）；以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，.
（1）求的参数方程和的直角坐标方程；
（2）已知是上参数对应的点，为上的点，求中点到直线的距离取得最小值时，点的直角坐标.
【答案】（1）的参数方程为（为参数）；的直角坐标方程为；（2）.
【解析】（1）先将化为标准方程，然后利用圆的参数方程的知识，写出的参数方程.
利用倾斜角和斜率的对应关系，求得的直角坐标方程.（2）先求得点的坐标，利用参数表示出出点的坐标，由中点坐标公式求得点坐标，利用点到直线距离公式求得距离的表达式，并利用三角函数的知识求得最小值，并求出点的坐标.
【详解】
解：
（1）化为，所以的参数方程为（为参数）；的直角坐标方程为．
（2）由题设，由（1）可设，于是．到直线距离，当时，取最小值
，此时点的直角坐标为．
【点睛】
本小题主要考查直角坐标方程和参数方程互化，考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查中点坐标公式和点到直线的距离公式，属于中档题，解题出破口在于利用参数表示出点的坐标，利用三角函数来求最值.
19．选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求的值域；
（2）若存在唯一的整数，使得，求的取值范围.
【答案】（1）(－ ，2] ；（2）[1，2)．
【解析】（1）利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，画出函数图像，根据图像求出函数的最大值，进而求得函数的值域.（2）根据（1）可知，且
是不等式的的唯一解，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】
解：（1）由f(x)＝，
可以画出f(x)图象
因此函数f(x)值域为(－ ，2]．
（2）由（1）知，若关于x的不等式f(x)＞a解集非空，
则a＜2，且x＝－1是此不等式的解．
因为若存在唯一的整数x0，使得f(x0)＞a，
由（1）知，解得a≥1．
因此a的取值范围为[1，2)．
【点睛】
本小题主要考查含有两个绝对值的函数值域的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
三、填空题
20．已知向量满足，，则_______．
【答案】
【解析】先求得的坐标，再求它的模.
【详解】
依题意，故.
【点睛】
本小题主要考查向量的坐标运算，考查向量模的坐标表示，属于基础题.
21．一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积为______．【答案】
【解析】根据圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，可求出等腰直角三角形的底边长和高，也就是圆锥底面圆的直径和圆锥的高，再算出圆锥的母线长，则圆锥的侧面积等于其展开扇形的面积，得到结果.
【详解】
因为圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，设圆锥的底面圆半径为，
则等腰直角三角形的斜边为，斜边上的高为，所以，得到
所以圆锥的母线长，
所以圆锥的侧面积等于圆锥沿母线展开的扇形的面积，为
【点睛】
本题考查立体图形与平面图形的关系，等腰直角三角形的性质，圆锥的侧面积的求法，属于简单题.
22．过抛物线的焦点且斜率为1的直线与交于两点，设满足，则______．
【答案】2
【解析】通过条件求出的坐标关系，要使，则,构造出关于
的方程，解出.
【详解】
设
抛物线的焦点为，且直线斜率为1，所以直线
整理得，
，即
，解得
【点睛】
本题考查直线和抛物线的关系，设而不求解决的方法解决问题，属于中档题.
23．直线与直线和曲线分别相交于两点，则的最小值
_____．
【答案】2
【解析】通过图像可以判断出，与的交点在与的交点的左边，求出两点的横坐标，然后做差，得到关于的函数，然后利用导数求出其最小值，【详解】
如图，设直线与的交点为,直线与的交点为,
则在的左侧，则，
所以
设，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，取得极小值，也是最小值，
故的最小值为
【点睛】
本题考查函数图像与解析式的结合，数形结合的数学思想，将线段长度表示为函数，利用导数求出函数的最值，综合性比较强，属于难题.。