人教版七年级初一数学下学期第八章 二元一次方程组单元 期末复习测试题

人教版七年级初一数学下学期第八章 二元一次方程组单元 期末复习测试题
一、选择题
1．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓和生产螺帽的人数分别为（ ） A ．50人，40人 B ．30人，60人 C ．40人，50人
D ．60人，30人
2．我市某九年一贯制学校共有学生3000人，计划一年后初中在校生增加8%，小学在校生增加11%，这样全校在校生将增加10%，设这所学校现初中在校生x 人,小学在校生y 人,由题意可列方程组（ ）
A ．30008%11%300010%x y x y +=⎧⎨+=⨯⎩
B ．3000
8%11%3000(110%)x y x y +=⎧⎨+=+⎩
C ．()()300018%111%300010%x y x y +=⎧⎨+++=⨯⎩
D ．3000
8%11%10%x y x y +=⎧⎨+=⎩
3．二元一次方程2x+3y=15的正整数解的个数是（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．阅读理解：a ，b ，c ，d 是实数，我们把符号
a b c d
称为22⨯阶行列式，并且规
定：
a b a d b c c d
=⨯-⨯，例如，
32
3(2)2(1)62412
=⨯--⨯-=-+=---．二元一
次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解可以利用22⨯阶行列式表示为x
y D x D
D y D
⎧=⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，其中1122a D a b b =
，1122x b a D c b =，11
22
y a c D a c =．问题：对于用上面的方法解二元一次方程
组3137x y x y -=⎧⎨+=⎩
时，下面的说法错误．．的是（ ）． A ．311013
D -=
=
B ．10x D =
C ．方程组的解为1
2
x y =⎧⎨
=⎩
D ．20y D =-
5．二元一次方程组2213x y a
x y +=⎧⎪
⎨+=⎪⎩
的解也是方程36x y -=-的解，则a 等于（ ）
A．-3 B．
1 3 -
C．3 D．
1
3
6．下列方程组是三元一次方程组的是（）
A．
1
2
3
x y
y z
z x
+=
⎧
⎪
+=
⎨
⎪-=
⎩
B．
23
10
x y z
x yz
y z
++=
⎧
⎪
-=
⎨
⎪-=
⎩
C．
221
5
4
x y
y z
x z
⎧+=
⎪
+=
⎨
⎪-=
⎩
D．
5
6
3
x y
w z
z x
+=
⎧
⎪
+=
⎨
⎪+=
⎩
7．已知
2
x
y a
=
⎧
⎨
=
⎩
是方程25
x y
+=的一个解，则a的值为( )
A．1
a=-B．1
a=C．
2
3
a=D．
3
2
a=
8．现有如图（1）的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a，宽为b．用3个如图（2）的全等图形和8个如图（1）的小长方形，拼成如图（3）的大长方形，若大长方形的宽为30cm，则图（3）中阴影部分面积与整个图形的面积之比为()
A．
1
5
B．
1
6
C．
1
7
D．
1
8
9．已知方程组()
21
119
x y
kx k y
+=
⎧
⎨+-=
⎩
的解满足x+y＝3，则k 的值为（）
A．k＝-8 B．k＝2 C．k＝8 D．k＝﹣2
10．对于实数x，y，定义新运算1
x y ax by
*=++，其中a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若3515
*=，4728
*=，则59
*=（）
A．40 B．41 C．45 D．46
二、填空题
11．商场购进A、B、C 三种商品各100件、112件、60 件，分别按照25%、40%、60%的
利润进行标价,其中商品C的标价为80元,为了促销,商场举行优惠活动:如果同时购买A、B 商品各两件,就免费获赠三件C商品.这个优惠活动实际上相当于这七件商品一起打了七五折.那么，商场购进这三种商品一共花了______元．.
12．三位先生A、B、C带着他们的妻子a、b、c到超市购物，至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测：他们6人，每人花在买商品的钱数（单位：元）正好等于商品数量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元钱，又知先生A比b多买9件商品，先生B 比a多买7件商品．则先生A的妻子是__________．
13．为了适合不同人群的需求，某公司对每日坚果混合装进行改革．甲种每袋装有10克核桃仁，10克巴旦木仁，10克黑加仑；乙种每袋装有20克核桃仁，5克巴旦木仁，5克黑
加仑．甲乙两种袋装干果每袋成本价分别为袋中核桃仁、巴旦木仁、黑加仑的成本价之
和．已知核桃仁每克成本价0.04元，甲每袋坚果的售价为5.2元，利润率为30%，乙种坚果每袋利润率为20%，若这两种袋装的销售利润率达到24%，则该公司销售甲、乙两种袋装坚果的数最之比是____．
14．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为_____．
15．某单位现要组织其市场和生产部的员工游览该公园，门票价格如下：
如果按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1245元；如果两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为945元．那么该公司这两个部的人数之差的绝对值为_____． 16．若3x －5y －z ＝8，请用含x ，y 的代数式表示z ，则z ＝________．
17．已知关于x 、y 的方程组343x y a
x y a +=-⎧-=⎨⎩
，其中31a -≤≤，有以下结论：①当2
a =-时，x 、y 的值互为相反数；②当1a =时，方程组的解也是方程4x y a +=-的解；③若1x ≤，则 4.l y ≤≤其中所有正确的结论有______(填序号) 18．关于x ，y 的二元一次方程组5323
x y x y a +=⎧⎨+=⎩
的解是正整数，试确定整数a 的值为
_________________.
19．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶___km ． 20．火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的
2
5
，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的7
20
，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是__________．
三、解答题
21．某生态柑橘园现有柑橘21吨，计划租用A ，B 两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用2辆A 型车和3辆B 型车一次可运柑橘12吨；用3辆A 型车和4辆B 型车一次可运柑橘17吨．
（1）1辆A 型车和1辆B 型车满载时一次分别运柑橘多少吨？
（2）若计划租用A 型货车m 辆，B 型货车n 辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载．
①请帮柑橘园设计租车方案；
②若A 型车每辆需租金120元/次，B 型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
22．如图，在四边形ABCD 中，已知AB CD ∥，AD BC ∥，且AB BC ⊥．
（1）填空：A ∠=_____，C ∠=______，D ∠=_______；
（2）点E 为射线BC 上一任意一点，连接AE ，作DAE ∠的平分线AF ，交射线BC 于点F ，作AEC ∠的平分线EG ，交直线AD 于点G ，请探究射线AF 与EG 之间的位置关系，并加以证明；
（3）连接AC ，若AC 恰好平分BAD ∠，则在（2）问的条件下，是否存在角度x ︒，使得当BAE x ∠=︒时，有GEF k DAF ∠=∠（其中k 为不超过10的正整数）？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．
23．我国古代的“河图”是由33⨯的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．如图1，根据给出的“河图”的部分点图，可以得到：15
15P ++=⎧⎨
++=⎩
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
如图2，已知33⨯框图中每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和均为3，求
x y ，的值并在图3中填出剩余的数字．
24． 学校“百变魔方”社团准备购买A ，B 两种魔方，已知购买2个A 种魔方和6个B 种魔方共需130元，购买3个A 种魔方和4个B 种魔方所需款数相同.
(1)求这两种魔方的单价；
(2)结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个.某商店有两种优惠活动，如图所示.请根据以上信息，购进A种魔方多少个时，两种活动费用相同？
25．已知：用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货l8吨，某物流公刊现有35吨货物，计划同时租用A型车a 辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)l辆A型车和l辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案；
(3)若A型车每辆需租金200元／次，B型车每辆需租金240元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
26．下图是小欣在“A超市”买了一些食品的发票.后来不小心发票被弄烂了，有几个数据看不清.
(1)根据发票中的信息，请求出小欣在这次采购中，“雀巢巧克力”与“趣多多小饼干”各买了多少包；
(2)“五一”期间，小欣发现，A、B两超市以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案:在A超市累计购物超过50元后，超过50元的部分打九折；在B超市累计购物超过100元后，超过100元的部分打八折.
请问:①“五一”期间，小欣去哪家超市购物更划算?
②“五一”期间，小欣又到“B超市”购买了一些“雀巢巧克力”，请问她至少购买多少包时，平均每包价格不超过20元?
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
等量关系为：生产的螺栓的工人数+生产螺帽的人数等于90；螺栓总数乘以2等于螺帽总数，把相关数值代入求解即可．
【详解】
解：设生产螺栓和生产螺帽的人数分别为x，y人，
根据题意得
90 15224
x y
x y
+=
⎧
⎨
⨯=
⎩
，
解得
40
50 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴生产螺栓和生产螺帽的人数分别为40人，50人．
故选C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找到等量关系式是解题的关键．
2．A
解析：A
【分析】
根据定量可以找到两个等量关系：现在初中在校人数+现在小学在校人数=3000；一年后初中在校增加的人数加一年后小学在校增加的人数=一年后全校学生增加的人数，列出方程即可解答
【详解】
设这所学校现初中在校生x人,小学在校生y人,
则
3000
8%11%300010% x y
x y
+=
⎧
⎨
+=⨯
⎩
故选A
【点睛】
此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于列出方程3．B
解析：B
【详解】
解：2x+3y=15，
解得：x=
315
2
y -+， 当y=1时，x=6；当y=3时，x=3， 则方程的正整数解有2对． 故选：B
4．D
解析：D 【分析】
分别根据行列式的定义计算可得结论． 【详解】 A 、3113
D -=
=3×3-（-1）×1=10，计算正确，不符合题意；
B 、D x =1×3-（-1）×7=10，计算正确，不符合题意；
C 、方程组的解：x=
102011010
y ==，=2，计算正确，不符合题意． D 、D y =3×7-1×1=20，计算错误，符合题意； 故选：D ． 【点睛】
此题考查二元一次方程组的解，理解题意，直接运用公式计算是解题的关键．
5．C
解析：C 【分析】
把2x y +=与36x y -=-组成方程组，求出x ，y 的值，再代入方程213
a
x y +=，即可解答． 【详解】
由题意得：2
36x y x y +=⎧⎨-=-⎩，
解得：1
3x y =-⎧⎨=⎩
，
把13
x y =-⎧⎨=⎩代入方程213a
x y +=，得：
()21313
a
⨯-+⨯=，
解得：3a =．
故选：C ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解为能使方程组中两方程都成立的未知数的
值．
6．A
解析：A 【分析】
根据三元一次方程组的定义来求解，对A 、B 、C 、D 四个选项进行一一验证． 【详解】
A 、满足三元一次方程组的定义，故A 选项正确；
B 、含未知数项的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B 选项错误；
C 、未知数的次数为2次，∴不是三元一次方程，故C 选项错误；
D 、含有四个未知数，不满足三元一次方程组的定义，故D 选项错误； 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了三元一次方程组的定义，清楚三元一次方程组必须满足“三元”和“一次”两个要素是关键．
7．B
解析：B 【分析】 直接把2
x y a
=⎧⎨
=⎩代入方程，即可求出a 的值． 【详解】 解：根据题意，
∵2x y a
=⎧⎨=⎩是方程25x y +=的一个解， ∴225a ⨯+=， ∴1a =； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握运算法则进行解题．
8．B
解析：B 【分析】
观察图③可知3个小长方形的宽与1个小长方形的长的和等于大长方形的宽，小长方形的4个长等于小长方形的3个长与3个宽的和，可列出关于a ，b 的方程组，解方程组得出a ，b 的值；利用a ，b 的值分别求得阴影部分面积与整个图形的面积，即可求得影部分面积与整个图形的面积之比． 【详解】
解：根据题意、结合图形可得：
330
433a b a a b +=⎧⎨
=+⎩
， 解得：155a b =⎧⎨=⎩
，
∴阴影部分面积2
2
3()310300=-=⨯=a b ， 整个图形的面积304304151800=⨯=⨯⨯=a ， ∴阴影部分面积与整个图形的面积之比3001
18006
==， 故选B ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并利用大长方形的长与宽和小长方形的关系建立二元一次方程组是解题的关键．
9．C
解析：C 【分析】
方程组两方程相减表示出x+y ，代入已知方程计算即可求出k 的值． 【详解】 解：()21119x y kx k y +=⎧⎪
⎨
+-=⎪⎩①
②
，
②-①得：()()2218k x k y -+-=，即()()218k x y -+=， 代入x+y=3得：k-2=6， 解得：k=8， 故选：C ． 【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
10．B
解析：B 【分析】
根据定义新运算列出二元一次方程组即可求出a 和b 的值，再根据定义新运算公式求值即可． 【详解】
解：∵1x y ax by *=++，3515*=，4728*=， ∴15351
28471a b a b =++⎧⎨
=++⎩
解得：37
25a b =-⎧⎨
=⎩
∴59*=3752591-⨯+⨯+=41 故选B ． 【点睛】
此题考查的是定义新运算和解二元一次方程组，掌握定义新运算公式和二元一次方程组的解法是解决此题的关键．
二、填空题
11．31800 【分析】
先求出商品的进价为50元．再设商品、的进价分别为元，元，表示出商品的标价为，商品的标价为元，根据“如果同时购买、商品各两件，就免费获赠三件商品．这个优惠活动，实际上相当于把这五
解析：31800 【分析】
先求出商品C 的进价为50元．再设商品A 、B 的进价分别为x 元，y 元，表示出商品A 的标价为
54
x ，商品B 的标价为7
5y 元，根据“如果同时购买A 、B 商品各两件，就免费获
赠三件C 商品．这个优惠活动，实际上相当于把这五件商品各打七五折”列出方程，进而求出1001126050x y ++⨯的值． 【详解】
解：由题意，可得商品C 的进价为：80(160%)50÷+=（元)． 设商品A 、B 的进价分别为x 元，y 元，则商品A 的标价为5
(125%)4
x x +=
（元)，商品B 的标价为7
(140%)5
y y +=
（元)， 由题意，得5757
2()[2()380]0.754545
x y x y +=++⨯⨯，
∴5
736045
x y +=，
57
10011280()803602880045
x y x y ∴+=+=⨯=，
100112605031800x y ∴++⨯=（元)．
答：商场购进这三种商品一共花了31800元． 故答案为：31800． 【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，设商品A 、B 的进价分别为x 元，y 元，分别表示出商品A 与商品B 的标价，找到等量关系列出方程是解题的关键．本题虽然设了两个未知数，但是题目只有一个等量关系，根据问题可知不需要求出x 与y 的具体值，这是本题的难点．
12．【分析】
设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，妻子买了y 件商品，列出关于x 、y 的二元二次方程，再根据x 、y 都是正整数，且与有相同的奇偶性，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，求出x 、y 的值，再找出符合和
解析：c
【分析】
设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，妻子买了y 件商品，列出关于x 、y 的二元二次方程，再根据x 、y 都是正整数，且x y +与x y -有相同的奇偶性，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，求出x 、y 的值，再找出符合9x y -=和7x y -=的情况即可进行解答．
【详解】
设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，则钱数为2x ，妻子买了y 件商品，则钱数为2y ， 依题意有x 2-y 2=48，即()()48x y x y +-=，
∵x 、y 都是正整数，且x y +与x y -有相同的奇偶性，
又∵x y x y +>-，48=24×2=12×4=8×6，
∴242x y x y +=⎧⎨-=⎩或124x y x y +=⎧⎨-=⎩或86x y x y +=⎧⎨-=⎩
， 解得13x =，11y =或8x =，4y =或7x =，1y =，
符合9x y -=的只有一种，可见A 买了13件商品，b 买了4件，
同时符合7x y -=的也只有一种，可知B 买了8件，a 买了1件，
∴C 买了7件，c 买了11件．
由此可知三对夫妻的组合是：A 、c ；B 、b ；C 、a ．
故答案为：c ．
【点睛】
本题考查了不定方程组的解及数的奇偶性，根据题意列出关于x 、y 的不定方程是解答此题的关键．
13．13∶30
【分析】
根据题意，先求出1克巴旦木和1克黑加仑的成本之和，然后求出乙种干果的成本，再设甲种干果x 袋，乙种干果y 袋，通过利润的关系，列出方程解方程即可求出甲、乙两种干果数量之比．
【详解
解析：13∶30
【分析】
根据题意，先求出1克巴旦木和1克黑加仑的成本之和，然后求出乙种干果的成本，再设甲种干果x 袋，乙种干果y 袋，通过利润的关系，列出方程解方程即可求出甲、乙两种干果数量之比．
【详解】
解：设1克巴旦木成本价m元，和1克黑加仑成本价n元，根据题意得10(0.04 +m+n) ×(1+30%)=5.2
解得：m+n=0.36
甲种干果的成本价：10×(0.04+0.36)=4
乙种干果的成本价：20×0.04+5×0.36=2.6
乙种干果的售价为：2.6×(1+20 %)=3.12
设甲种干果有x袋，乙种干果有y袋，则
(4x+2.6y)(1+24 %)=5.2x+3.12y
解得：
13
30 x
y
=
故答案为：该公司销售甲、乙两种袋装坚果的数最之比是13∶30．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，利用利润、成本价与利润率之间的关系列出方程，理解题意得出等量关系是解题的关键．
14．【分析】
先列出方程10x+9y+6z＝108，再根据x，y，z是正整数，进行计算即可得出结论．
【详解】
解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，∵每种规格都要有且
解析：【分析】
先列出方程10x+9y+6z＝108，再根据x，y，z是正整数，进行计算即可得出结论．
【详解】
解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，
∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，
∴0＜x＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x，y，z都是整数，
则10x+9y+6z＝108，
∴x＝10896
10
--
y z
＝
3(3632)
10
--
y z
，
∵0＜x＜10，且为整数，
∴36﹣3y﹣2z是10的倍数，
即：36﹣3y﹣2z＝10或20或30，
当36﹣3y﹣2z＝10时，y＝262
3
-z
，
∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，
∴26﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，
∴z＝23
2
（舍）或z＝10或z＝
17
2
（舍）或z＝7或z＝
11
2
（舍）或z＝4或z＝
5
2
（舍）
或z＝1，
当z＝10时，y＝2，x＝3，当z＝7时，y＝4，x＝3，当z＝4时，y＝8，x＝3
当z＝1时，y＝8，x＝3，
当36﹣3y﹣2z＝20时，y＝162
3
-z
，
∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，
∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，
∴z＝13
2
（舍）或z＝5或z＝
7
2
（舍）或z＝2或z＝
1
2
（舍）
当z＝5时，y＝2，x＝6，当z＝2时，y＝4，x＝6，
当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝62
3
-z
，
∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴6﹣2z＝3，
∴z＝3
2
（舍）
即：满足条件的不同的装法有6种，
故答案为6．
【点睛】
此题主要考查了三元一次方程，整除问题，分类讨论时解本题的关键．
15．15
【分析】
根据945不能被11和13整除，能被9整除，可得两个部门的人数之和为105；再根据1245不能被11和13整除可知两个部门的人数分别在1～50和51～100的范围，结合门票价格和人数
解析：15
【分析】
根据945不能被11和13整除，能被9整除，可得两个部门的人数之和为105；再根据1245不能被11和13整除可知两个部门的人数分别在1～50和51～100的范围，结合门票价格和人数之间的关系列出方程组进行求解即可．
【详解】
解：设人数较少的部门有x人，人数较多的部门有y人，
∵945不能被11和13整除且945÷9=105（人），
∴两个部门的人数之和为105（人），
∵1245不能被11和13整除，
∴1≤x ≤50，51≤y ≤100，
依题意，得：10513111245x y x y +=⎧⎨+=⎩
， 解得：4560x y =⎧⎨=⎩
， ∴15-=x y ，
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了函数的应用问题和学生分析问题的能力，结合门票和人数之间的关系，建立方程是解题的关键．
16．3x －5y －8
【解析】
【分析】
根据等式的性质,移项即可解题.
【详解】
解：∵3x－5y －z ＝8，
∴z=3x－5y －8（移项）.
【点睛】
本题考查了等式的性质,属于简单题,熟练运用移项是解
解析：3x －5y －8
【解析】
【分析】
根据等式的性质,移项即可解题.
【详解】
解：∵3x －5y －z ＝8，
∴z=3x －5y －8（移项）.
【点睛】
本题考查了等式的性质,属于简单题,熟练运用移项是解题关键.
17．①②③
【分析】
解方程组得出x 、y 的表达式，根据a 的取值范围确定x 、y 的取值范围，再逐一判断即可．
【详解】
解方程组，得，
，
，，
当时，，，x ，y 的值互为相反数，结论正确；
当时，，，方程两
解析：①②③
【分析】
解方程组得出x 、y 的表达式，根据a 的取值范围确定x 、y 的取值范围，再逐一判断即可．
【详解】
解方程组343x y a
x y a +=-⎧-=⎨⎩，得{
121x a y a =+=-， 31a -≤≤，
53x ∴-≤≤，04y ≤≤，
①当2a =-时，123x a =+=-，13y a =-=，x ，y 的值互为相反数，结论正确； ②当1a =时，23x y a +=+=，43a -=，方程4x y a +=-两边相等，结论正确； ③当1x ≤时，121a +≤，
解得0a ≤，且31a -≤≤，
30a ∴-≤≤，
114a ∴≤-≤，
14y ∴≤≤结论正确，
故答案为①②③．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次不等式组.关键是根据条件，求出x 、y 的表达式及x 、y 的取值范围．
18．7或5
【解析】
分析：首先用含a 的代数式分别表示x ，y ，再根据条件二元一次方程组的解为正整数，得到关于a 的不等式组，求出a 的取值范围，再根据a 为整数确定a 的值．
详解：
①-②×3，得
2x=2
解析：7或5
【解析】
分析：首先用含a 的代数式分别表示x ，y ，再根据条件二元一次方程组的解为正整数，得到关于a 的不等式组，求出a 的取值范围，再根据a 为整数确定a 的值．
详解：5323x y x y a +=⎧⎨+=⎩
①② ①-②×3，得
2x=23-3a
解得x=2332
a - 把x=2332a -代入②得y=5232
a - ∵关于x ，y 的二元一次方程组5323x y x y a +=⎧⎨
+=⎩的解是正整数 ∴2332a -＞0，5232
a -＞0 解得
232353
a ＜＜ 即a=5、6、7 ∵x 、y 为正整数
∴a 为5或7.
故答案为：5或7.
点睛：本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出关于a 的方程．
19．3750
【解析】
设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ，则安装在前轮的轮胎每行驶1km 磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为．又设一对新轮胎交换位置前走了xkm ，交换位置后走了ykm ．分别以
解析：3750
【解析】
设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ，则安装在前轮的轮胎每行驶1km 磨损量为
5000k ，安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000
k ．又设一对新轮胎交换位置前走了xkm ，交换位置后走了ykm ．分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有
+=50003000+=50003000
kx ky k ky kx k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，两式相加，得()()250003000k x y k x y k +++=，则
x+y=
2
11
50003000
+=3750（千米）.
故答案为：3750．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
20．【分析】
先根据题意设出相应的未知数，再结合题目的等量关系列出相应的方程组，最后求解即可求得答案．
【详解】
解：设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为3k，5k，2k，7月份总增
解析：1 8
【分析】
先根据题意设出相应的未知数，再结合题目的等量关系列出相应的方程组，最后求解即可求得答案．
【详解】
解：设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为3k，5k，2k，7月份总
增加的营业额为m，则7月份摆摊增加的营业额为2
5
m，设7月份外卖还需增加的营业额
为x．
∵7月份摆摊的营业额是总营业额的7
20
，且7月份的堂食、外卖营业额之比为8：5，
∴7月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为8：5：7，
∴设7月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为8a，5a，7a，
由题意可知：
3
38
5
55
2
27
5
k m x a
k x a
m k a
⎧
+-=
⎪
⎪
+=
⎨
⎪
⎪+=
⎩
，
解得：
1
2
5
2
15
k a
x a
m a
⎧
=
⎪
⎪
⎪
=
⎨
⎪
=
⎪
⎪⎩
，
∴
5
1
2 857208
a
x
a a a a
==
++
，
故答案为：1
8
．
【点睛】
本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据题意设出相应的未知数，结合题目中的等量关系列出方程组是解决本题的关键．
三、解答题
21．（1）1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨；（2）①共有4种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用3辆A 型车，6辆B型车；方案3：租用5辆A型车，3辆B型车；方案4：租用7辆A型车；②最省钱的租车方案是租用7辆A型车，最少租车费是840元
【分析】
（1）设1辆A型车满载时一次可运柑橘x吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘y吨，根据“用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①根据一次运载柑橘21吨，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，即可得出各租车方案；
②根据租车总费用＝租用每辆车的费用×租用的辆数，即可求出各租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】
解：（1）设1辆A型车满载时一次可运柑橘x吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘y吨，
依题意，得：
2312 3417 x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
3
2
x
y
=
=
⎧
⎨
⎩
．
故答案为：1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨．（2）①依题意，得：3m+2n＝21，
∴m＝7﹣2
3 n．
又∵m，n均为非负整数，
∴
1
9
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
或
3
6
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
或
5
3
m
n
=
=
⎧
⎨
⎩
或
7
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
．
答：共有4种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用3辆A型车，6辆B型车；方案3：租用5辆A型车，3辆B型车；方案4：租用7辆A型车．
②方案1所需租车费为120×1+100×9＝1020（元），
方案2所需租车费为120×3+100×6＝960（元），
方案3所需租车费为120×5+100×3＝900（元），
方案4所需租车费为120×7＝840（元）．
∵1020＞960＞900＞840，
故答案为：最省钱的租车方案是租用7辆A 型车，最少租车费是840元．
【点睛】
本题主要考查列二元一次方程以及利用二元一次方程解决方案问题，正确理想二元一次方程组并运用二元一次方程解决方案问题是本题解题的关键．
22．（1）90︒；90︒；90︒（2）AF //EG ；证明见详解（3）存在；50x =︒、54x =︒或35711x ⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭
【分析】
（1）根据垂直的定义、平行线的性质、四边形的内角和即可得解；
（2）按照题目要求画出图形后，根据已知条件、角平分线的性质、平行线的性质和判定即可得到结论并证明；
（3）结合图形根据平行线的性质、角平分线的性质、角的和差可列出360901
x k ︒︒=︒-+，再由x 、k 的取值范围即可求得结论．
【详解】
解：（1）∵AB BC ⊥
∴90B ∠=︒
∵//AB CD
∴18090C B ∠=︒-∠=︒
∵//AD BC
∴18090D C ∠=︒-∠=︒
∴36090A B C D ∠=︒-∠-∠-∠=︒；
（2）按照题目要求作图：
猜想：射线AF 与EG 的位置关系是：AF //EG
证明： ∵AF 平分DAE ∠，EG 平分BEA ∠
∴12EAF DAE ∠=∠，12
AEG BEA ∠=∠ ∵//DG BF
∴DAE BEA ∠=∠
∴EAF AEG ∠=∠
∴AF //EG ；
（3）在（2）问的条件下，连接AC ，如图：
∵AF //EG ，//DG BF
∴180AFB GEF ∠+∠=︒，DAF AFB ∠=∠
∴180GEF DAF ∠+∠=︒
∵GEF k DAF ∠=∠ ∴1801DAF EAF k ︒∠=∠=
+ ∵BAE x ∠=︒ ∴1801809011
x k k ︒︒︒++=︒++ ∴360901
x k ︒︒=︒-+ ∵AC 恰好平分BAD ∠，由（1）可知90BAD ∠=︒ ∴1452BAC DAC BAD ∠=∠=
∠=︒ ∵E 为射线BC 上一任意一点
∴45BAE x ∠=︒>︒
∵k 为不超过10的正整数
∴当8k 时，50BAE x ∠=︒=︒；当9k =时，54BAE x ∠=︒=︒；当10k =时，
35711BAE x ⎛⎫∠=︒=︒ ⎪⎝⎭
∴存在角度x ︒，使得当BAE x ∠=︒时，有GEF k DAF ∠=∠（其中k 为不超过10的正整数）；50x =︒、54x =︒或357
11x ⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题考查了垂直的定义、平行线的判定和性质、四边形的内角和、角的和差、根据要求画图、代入消元法、根据参数的取值范围求角的度数等知识点，熟练掌握相关知识点世界解决问题的关键． 23．11x y =-⎧⎨=⎩
，见解析． 【分析】
根据题中的和为3先列出二元一次方程组，解出x,y 的值，之后再补全图3即可．
【详解】
解：根据题意，得2323243x y x y y ++=⎧⎨++=⎩
①② 解得：11x y =-⎧⎨=⎩
填出剩余的数字如图所示：
【点睛】
本题是材料阅读题，注意正确阅读材料理解题意，列出方程组，求解之后即可顺利完成本题．
24．（1）A 种魔方的单价为20元/个，B 种魔方的单价为15元/个；（2）购进A 种魔方45个时，两种活动费用相同.
【解析】
【分析】
（1）设A 种魔方的单价为x 元/个，B 种魔方的单价为y 元/个，根据“购买2个A 种魔方和6个B 种魔方共需130元，购买3个A 种魔方和4个B 种魔方所需款数相同”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A 种魔方m 个（0＜m ≤50），则购进B 种魔方（100-m ）个，根据图片描述列出两种活动方案需花费的总价格，使得两种价格相等求得m ．
【详解】
解：(1)设A 种魔方的单价为x 元/个，B 种魔方的单价为y 元/个，
根据题意，得
2613034x y x y +=⎧⎨=⎩
解此方程组，得
2015x y =⎧⎨=⎩
答：A 种魔方的单价为20元/个，B 种魔方的单价为15元/个.
(2)设购进A 种魔方m 个，则购进B 种魔方(100－m)个，
根据题意，得
0.8×20m ＋0.4×15(100－m)＝20m ＋15(100－m －m)，
解此方程，得m ＝45.。