带有一拖斗汽车的不连续控制和时变光滑控制
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( x, y )
为牵引车由后轮轮轴中心点的位置坐标， 0 为
牵引车车体固定坐标系横轴与空间固定坐标系的夹 角， 1 为拖车体坐标系与空间坐标系横轴的夹角， 55
为牵引车导向轮与体坐标系横轴的夹角， l 为牵引
1 : span{g 2 , a d
g1
g2 , a d
2 g1
g2} 在 Ù
接下来，设计函数 h( x ) 满足：
h h g 2 0, a d x x
g1
g 2 0,
h a d x
2 g1
g 2 0,
h a d x
3 g1
g2 0
取
，进而把系统（3）
转化为链式形式的坐标-输入变换为：
（4）
若 0 2 k （ k 是 任 意 整 数 ） ， 则 系 统 （1）与系统（2）微分同胚。对于系统（2），
众所周知，非完整链式系统运用在许多力学系 统的描述中，而本文所讨论的带一节拖斗汽车是其 中的经典例子之一。有许多文献研究过带n个拖车 斗的汽车系统，在文献[2]和文献[3]中，提出系统 被转换为链式形式的方法；在文献[4]中，将一般 带n个拖车斗的汽车系统转化为一类具有多输入链 式系统。在文献[5]和文献[6]中，对于一种带有两 输入的非完整系统给出了转化为链式形式的反馈变 换及其存在的条件，并给出了基于三角函数的周期 时变控制律的设计。文献[7]和文献[10]针对非完 整链式系统给出了基于 过程的不连续控制律的设 计。文献[9]对于非完整链式系统设计了时变光滑 控制律。 本文研究的带有一节拖斗的汽车系统，具有移 动机器人的运动特性，属于非完整系统，它的反馈 镇定问题不满足Brockett定理的必要条件，因而不 存在任何连续的时不变的状态反馈控制律。为此， 本文首先基于文献[6]的思想，设计了一个不同于 文献[10]的坐标-输入变换，将系统的模型变换为 与之微分同胚的非完整链式系统，然后对链式系统 分别进行不连续状态反馈控制和时变光滑反馈控
（3）对于任意的 x Ù 都是全局可控的。 对于全局可控的系统（3），满足对任意的
x Ù R5 有 0 ( x) R
5
，且 1 在 U 上是对合的，则存在一
个全局微分同胚的坐标-输入变换：
x1 3 Lg1 h î ( x ) L2 g1 h v Lg1 h h ， 51
上是对合的。所以系统
车驱动轮和导向轮的轴距， d 为拖车的轮轴到链接 点的距离。 由于拖车的位形空间可以由 ( x, y,0 ,1 ) 描述，所 以系统的动力学方程中仅用 1 表示拖车的位形。且 带有一节拖斗的汽车的运动学方程模型为：
x cos 0 v y sin 0 v 0 tan v / l 1 sin( 0 1 ) v / d
（5）
其中，
为 Ù R S1 R S1 S1 ， 其 中 S1 ( 2 , 2 ) ， u1 和 u2 为 系统的两个控制输入。系统（2）可以写成具有两 输入的无偏差项非线性控制系统的一般表达形式：
g1 ( x )u1 g 2 ( x )u2 x
x3 y ， x4 0 ， x5 1 ，于是方程（1）变为： 1 u1 x x 2 u2 （2） 3 tan x4 u1 x x tan x2 sec x4 u1 4 5 (tan x4 cos x5 sin x5 ) u1 x
x [ x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ] 为系统的状态变量，其状态空间
T
u1 v1 v v ( x )u f ( x , x , x )u f ( x , x , x )u 2 2 4 5 2 2 1 2 4 5 1
2012 年第 29 期 （总第 236 期）
NO.29.2012 （CumulativetyNO.236）
带有一拖斗汽车的不连续控制和时变光滑控制
彭奇斌 康剑灵 殷年龙
（东华大学理学院， 上海 201620）
针对两输入五自由度的带有一拖斗汽车在平衡点位形的反馈镇定问题，给出两种镇定控制方法——不 摘要 ： 连续控制和时变光滑控制。利用坐标 - 输入变换把原系统变为与之微分同胚的链式形式，只需镇定链式系统， 可实现原系统的镇定。基于 过程的不连续状态反馈控制要求系统初始状态满足一定条件，而时变光滑控制 律能实现全局指数收敛。数值仿真结果说明了两种控制方法都能够使汽车的位形指数收敛到平衡点。 带有一拖斗汽车 ； 链式系统 ； 不连续控制 ； 时变光滑控制 关键词 ： U463 文献标识码 ： A 文章编号 ： 1009-2374（2012） 29-0055-06 中图分类号 ：
制，让链式系统的状态和输入均能在有限时间内达到 渐近指数稳定，从而使原系统稳定。其中，不连续控
（ ） 0 情形下的各状态指数收敛。 制实现初始状态 x 1 0
1 带有一拖斗汽车的系统模型
1.1 运动模型
图1 带有一拖斗汽车的运动模型 带有一拖斗汽车的运动模型如图1所示，其中 牵引车由后轮驱动，速度为 v ，前导向轮的转向角 速度为 ，并且车轮与地面接触只有滚动而无滑 动 。 ( x, y , 0 ) 为 空 间 固 定 坐 标 系 中 牵 引 车 的 位 形 ，
( x )u
1 4 Lg1 h
0 u1 Lg2 L3 g1 h u2
（1）
可将系统（3）变为链式形式。其中，函数
h : Ù R 满足Fra bibliotek和。
为了简化模型，对方程（1）进行如下处理，即 令： l 1 ， d 1 ， u1 cos0 v ， u2 ， x1 x ， x2 ，
为牵引车由后轮轮轴中心点的位置坐标， 0 为
牵引车车体固定坐标系横轴与空间固定坐标系的夹 角， 1 为拖车体坐标系与空间坐标系横轴的夹角， 55
为牵引车导向轮与体坐标系横轴的夹角， l 为牵引
1 : span{g 2 , a d
g1
g2 , a d
2 g1
g2} 在 Ù
接下来，设计函数 h( x ) 满足：
h h g 2 0, a d x x
g1
g 2 0,
h a d x
2 g1
g 2 0,
h a d x
3 g1
g2 0
取
，进而把系统（3）
转化为链式形式的坐标-输入变换为：
（4）
若 0 2 k （ k 是 任 意 整 数 ） ， 则 系 统 （1）与系统（2）微分同胚。对于系统（2），
众所周知，非完整链式系统运用在许多力学系 统的描述中，而本文所讨论的带一节拖斗汽车是其 中的经典例子之一。有许多文献研究过带n个拖车 斗的汽车系统，在文献[2]和文献[3]中，提出系统 被转换为链式形式的方法；在文献[4]中，将一般 带n个拖车斗的汽车系统转化为一类具有多输入链 式系统。在文献[5]和文献[6]中，对于一种带有两 输入的非完整系统给出了转化为链式形式的反馈变 换及其存在的条件，并给出了基于三角函数的周期 时变控制律的设计。文献[7]和文献[10]针对非完 整链式系统给出了基于 过程的不连续控制律的设 计。文献[9]对于非完整链式系统设计了时变光滑 控制律。 本文研究的带有一节拖斗的汽车系统，具有移 动机器人的运动特性，属于非完整系统，它的反馈 镇定问题不满足Brockett定理的必要条件，因而不 存在任何连续的时不变的状态反馈控制律。为此， 本文首先基于文献[6]的思想，设计了一个不同于 文献[10]的坐标-输入变换，将系统的模型变换为 与之微分同胚的非完整链式系统，然后对链式系统 分别进行不连续状态反馈控制和时变光滑反馈控
（3）对于任意的 x Ù 都是全局可控的。 对于全局可控的系统（3），满足对任意的
x Ù R5 有 0 ( x) R
5
，且 1 在 U 上是对合的，则存在一
个全局微分同胚的坐标-输入变换：
x1 3 Lg1 h î ( x ) L2 g1 h v Lg1 h h ， 51
上是对合的。所以系统
车驱动轮和导向轮的轴距， d 为拖车的轮轴到链接 点的距离。 由于拖车的位形空间可以由 ( x, y,0 ,1 ) 描述，所 以系统的动力学方程中仅用 1 表示拖车的位形。且 带有一节拖斗的汽车的运动学方程模型为：
x cos 0 v y sin 0 v 0 tan v / l 1 sin( 0 1 ) v / d
（5）
其中，
为 Ù R S1 R S1 S1 ， 其 中 S1 ( 2 , 2 ) ， u1 和 u2 为 系统的两个控制输入。系统（2）可以写成具有两 输入的无偏差项非线性控制系统的一般表达形式：
g1 ( x )u1 g 2 ( x )u2 x
x3 y ， x4 0 ， x5 1 ，于是方程（1）变为： 1 u1 x x 2 u2 （2） 3 tan x4 u1 x x tan x2 sec x4 u1 4 5 (tan x4 cos x5 sin x5 ) u1 x
x [ x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ] 为系统的状态变量，其状态空间
T
u1 v1 v v ( x )u f ( x , x , x )u f ( x , x , x )u 2 2 4 5 2 2 1 2 4 5 1
2012 年第 29 期 （总第 236 期）
NO.29.2012 （CumulativetyNO.236）
带有一拖斗汽车的不连续控制和时变光滑控制
彭奇斌 康剑灵 殷年龙
（东华大学理学院， 上海 201620）
针对两输入五自由度的带有一拖斗汽车在平衡点位形的反馈镇定问题，给出两种镇定控制方法——不 摘要 ： 连续控制和时变光滑控制。利用坐标 - 输入变换把原系统变为与之微分同胚的链式形式，只需镇定链式系统， 可实现原系统的镇定。基于 过程的不连续状态反馈控制要求系统初始状态满足一定条件，而时变光滑控制 律能实现全局指数收敛。数值仿真结果说明了两种控制方法都能够使汽车的位形指数收敛到平衡点。 带有一拖斗汽车 ； 链式系统 ； 不连续控制 ； 时变光滑控制 关键词 ： U463 文献标识码 ： A 文章编号 ： 1009-2374（2012） 29-0055-06 中图分类号 ：
制，让链式系统的状态和输入均能在有限时间内达到 渐近指数稳定，从而使原系统稳定。其中，不连续控
（ ） 0 情形下的各状态指数收敛。 制实现初始状态 x 1 0
1 带有一拖斗汽车的系统模型
1.1 运动模型
图1 带有一拖斗汽车的运动模型 带有一拖斗汽车的运动模型如图1所示，其中 牵引车由后轮驱动，速度为 v ，前导向轮的转向角 速度为 ，并且车轮与地面接触只有滚动而无滑 动 。 ( x, y , 0 ) 为 空 间 固 定 坐 标 系 中 牵 引 车 的 位 形 ，
( x )u
1 4 Lg1 h
0 u1 Lg2 L3 g1 h u2
（1）
可将系统（3）变为链式形式。其中，函数
h : Ù R 满足Fra bibliotek和。
为了简化模型，对方程（1）进行如下处理，即 令： l 1 ， d 1 ， u1 cos0 v ， u2 ， x1 x ， x2 ，