江苏省镇江市吕城中学高一数学理测试题含解析

江苏省镇江市吕城中学高一数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述，其中描述正确的是（）
①y=f（x）是周期函数；②x=π是它的一条对称轴
③（﹣π，0）是它图象的一个对称中心；④当时，它一定取最大值
A．①②B．①③C．②④D．②③
参考答案：
B
【考点】3L：函数奇偶性的性质；3M：奇偶函数图象的对称性；3Q：函数的周期性．
【分析】本题函数的性质，先对已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且为偶函数用定义转化为恒等式，再由两个恒等式进行合理变形得出与四个命题有关的结论，通过推理证得①③正确．
【解答】证明：由已知可得：
f（﹣x）=﹣f（x） (1)
f（﹣x﹣）=﹣f（x+） (2)
f（﹣x+）=f（x+） (3)
由（3）知函数f（x）有对称轴x=
由（2）（3）得 f（﹣x﹣）=﹣f（﹣x+）；
令z=﹣x+则﹣x﹣=z﹣π，
∴f（z﹣π）=﹣f（z），
故有f（z﹣π﹣π）=﹣f（z﹣π），
两者联立得 f（z﹣2π）=f（z），
可见函数f（x）是周期函数，且周期为2π；
由（1）知：f（﹣z）=﹣f（z），代入上式得：f（z﹣2π）=﹣f（﹣z）；由此式可知：函数f（x）有对称中心（﹣π，0）
由上证知①③是正确的命题．
故应选B．
2. 在中,分别为三个内角所对的边,设向量
，若向量，则角的大小为
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
3. 已知函数的一部分图象如右图所示，如果，则（）
A B. C D
参考答案：
C
4. 某型号汽车使用年限x与年维修费y（单位：万元）的统计数据如下表，由最小二乘法求得回归方程．现发现表中有一个数据看不清，推测该数据的值为（）
A. 0.4
B. 0.5
C. 0.6
D. 0.7
参考答案：
C
【分析】
设所求数据为，计算出和，然后将点代入回归直线方程可求出的值.
【详解】设所求数据为，则，，
由于回归直线过样本的中心点，则有，
解得，故选：C.
【点睛】本题考查利用回归直线计算原始数据，解题时要充分利用“回归直线过样本中心点”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题.
5. 已知函数f（x）=2x，若从区间[﹣2，2]上任取一个实数x，则使不等式f（x）＞2成立的概率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】几何概型．
【专题】计算题；转化思想；数形结合法；概率与统计．
【分析】由题意，本题符合几何概型的特点，只要求出区间长度，由公式解答．
【解答】解：已知区间[﹣2，2]长度为4，
满足f（x）＞2，f（x）=2x＞2，解得1＜x≤2，对应区间长度为1，
由几何概型公式可得，使不等式f（x）＞2成立的概率P=．
故选：A．
【点评】本题考查了几何概型的运用；根据是明确几何测度，是利用区域的长度、面积函数体积表示，然后利用公式解答
6. 已知在中，为ABC的面积，若向量满足，则
( )
A．B．C． D．
参考答案：C
7. 如果幂函数的图象不过原点，则的取值是( )
A． B．或 C． D．
参考答案：
B
略
8. 已知函数的部分图象如图所示，则
（）
（A）（B）
（C）（D）
参考答案：
D
略
9. 若函数是实数集上的减函数，则实数的取值范围是（）
参考答案：
C
略
10. （4分）下列函数中，与函数有相同定义域的是（）
A．f（x）=lnx B．C．f（x）=x3 D．f（x）=e x
参考答案：
A
考点：函数的定义域及其求法．
分析：已知函数的定义域为x＞0，再对选项A、B、C、D进行一一验证；解答：∵函数，
∴x＞0，
A、∵f（x）=lnx，∴x＞0，故A正确；
B、∵，∴x≠0，故B错误；
C、f（x）=x3，其定义域为R，故C错误；
D、f（x）=e x，其定义域为R，故D错误；
故选A．
点评：此题主要考查函数的定义域及其简单求法，此题是一道基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列说法：
①正切函数y=tanx在定义域内是增函数；
②函数是奇函数；
③是函数的一条对称轴方程；
④扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角为2rad；⑤若α是第三象限角，则取值的集合为{﹣2，0}，
其中正确的是．（写出所有正确答案的序号）
参考答案：
②③④
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①，正切函数y=tanx在（kπ﹣，kπ+）k∈Z内是增函数；
②，函数=﹣在判断；
③，验证当时，函数是否取最值；
④，由2r+l=8， =4，德l=4，r=2，即可得扇形的圆心角的弧度数；
⑤，若α是第三象限角，则在第二、四象限，分别求值即可，
【解答】解：对于①，正切函数y=tanx在（kπ﹣，kπ+）k∈Z内是增函数，故错；
对于②，函数=﹣是奇函数，故正确；
对于③，∵当时函数取得最小值，故正确；
对于④，设扇形的弧长为l，半径为r，所以2r+l=8， =4，
所以l=4，r=2，所以扇形的圆心角的弧度数是： =2．故正确；
对于⑤，若α是第三象限角，则在第二、四象限，则取值的集合为{0}，故错，
故答案为：②③④
12. 方程的两根均大于1，则实数的范围是▲ .
参考答案：
.
13. 函数
的定义域为_________.
参考答案：
【分析】
根据对数函数的真数大于0，列出不等式求解集即可． 【详解】对数函数f （x ）＝log 2（x ﹣1）中， x ﹣1＞0， 解得x ＞1；
∴f （x ）的定义域为（1，+∞）． 故答案为（1，+∞）．
【点睛】本题考查了求对数函数的定义域问题，是基础题．
14. 已知点到直线距离为，则
=
参考答案： 1
或-3
15. 在正方体
ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱AD ，D 1D 的中点，则异面直线MN 与AC 所成的角大小为______．
参考答案：
60° 【分析】
由题意连接AD 1，得MN ∥AD 1，可得∠D 1AC 即为异面直线MN 与AC 所成的角，再由△AD 1C 为等边三角形得答案． 【详解】如图，
连接AD 1，由M ，N 分别为棱AD ，D 1D 的中点，得MN ∥AD 1， ∴∠D 1AC 即为异面直线MN 与AC 所成的角，
连接D 1C ，则△AD 1C 为等边三角形，可得∠D 1AC ＝60°． ∴异面直线MN 与AC 所成的角大小为60°． 故答案为：60°．
【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是基础题．
16. 若不等式x 2﹣ax ﹣a≤﹣3的解集为空集，则实数a 的取值范围时 _________ ．
参考答案：
(－6，2)
17. 已知点A 是以BC 为直径的圆O 上异于B ，C 的动点，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC ⊥平面ABC ，BC ＝3，PB ＝2
，PC
，则三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为______．
参考答案：
【分析】
由O 为△ABC 外接圆的圆心，且平面PBC ⊥平面ABC ，过O 作面ABC 的垂线l ，则垂线l 一定在面PBC 内，可得球心O 1一定在面PBC 内，即球心O 1也是△PBC 外接圆的圆心， 在△PBC 中，由余弦定理、正弦定理可得R .
【详解】因为O 为△ABC 外接圆的圆心，且平面PBC ⊥平面ABC ，过O 作面ABC 的垂线l ，则垂线l 一定在面PBC 内，
根据球的性质，球心一定在垂线l上，
∵球心O1一定在面PBC内，即球心O1也是△PBC外接圆的圆心，
在△PBC中，由余弦定理得cos B，?sin B，
由正弦定理得：，解得R，
∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为s＝4πR2＝10π，
故答案为：10π．
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的表面积，将空间问题转化为平面问题，利用正余弦定理是解题的关键，属于中档题．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 函数f（x）=x2﹣mx（m＞0）在区间[0，2]上的最小值记为g（m）
（Ⅰ）若0＜m≤4，求函数g（m）的解析式；
（Ⅱ）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的函数h（x）为偶函数，且当x＞0时，h（x）=g（x），若h（t）＞h（4），求实数t的取值范围．参考答案：
【考点】函数奇偶性的性质；二次函数的性质．
【分析】（I）f（x）=．由0＜m≤4，可得，对m分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．
（II）由题意可得：当x＞0时，h（x）=g（x）=，由于h（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，
+∞）的偶函数，可得h（x）=，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．由于h（t）＞h（4），h（x）在（0，+∞）上单调递减，可得|t|＜4，解出即可．
【解答】解：（I）f（x）=．
当0＜m＜4时，，∴函数f（x）在上时单调递减，在上单调递增．
∴当x=时，函数f（x）取得最小值， =﹣．
当m=4时， =2，函数f（x）在[0，2]内单调递减，∴当x==2时，函数f（x）取得最小值， =﹣=﹣1．
综上可得：g（m）=﹣．
（II）由题意可得：当x＞0时，h（x）=g（x）=，∵h（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，
+∞）的偶函数，
∴h（x）=，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
∵h（t）＞h（4），及h（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴|t|＜4，
解得﹣4＜t＜4，且t≠0．
∴t的取值范围是（﹣4，0）∪（0，4）．
19. 数列{a n}满足a1=2，a n+1=-，求a2008。

参考答案：
略
20. 计算下列各式（式中字母都是正数）：
⑴；⑵.
参考答案：
解析：⑴原式=[2×(-6)÷(-3)]；
⑵原式=
21. 下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
对于是偶函数，不合题意；对于是奇函数，不合题意；对于，是奇函数，不合题意；对于，且，，即不是奇函数，又不是偶函数，合题意，故选B.
22. 已知，，求值：（1）（2）参考答案：
（1）原式；（2）原式。