中考数学复习考点知识专题训练11---反比例函数系数k的几何意义(基础篇)

中考数学复习考点知识专题训练
11 反比例函数系数k的几何意义（基础）
1．已知双曲线y=−6
x如图所示，点A（﹣1，m），B（n，2）．求S△AOB．
【分析】根据点A、B两点在反比例函数图象上得其坐标，再根据S△AOB＝S矩形ODEC﹣S△AOC﹣S△BOD﹣S△ABE可得答案．
【解答】解：将点A（﹣1，m）、B（n，2）代入y=−6
x，得：m＝6、n＝﹣3，
如图，过点A作x轴的平行线，交y轴于点C，过点B作y轴的平行线，交x轴于点D，交CA于点E，
则DE＝OC＝6、BD＝2、BE＝4、OD＝3，AC＝1、AE＝2，
∴S△AOB＝S矩形ODEC﹣S△AOC﹣S△BOD﹣S△ABE
＝3×6−1
2
×1×6−12×3×2−12×2×4
＝8．
【点评】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握割补法求三角形的面积是解题的
关键．
2．如图，点P在反比例函数y=−4
x的图象上，PB⊥y轴于点B，点A在x轴上，求△P AB的面积．
【分析】连接OP，△P AB与△POB等底等高，可知其面积相等，然后由反比例函数比例系数k的几何意义，可求得△P AB的面积．
【解答】解：连接OP，如图．
∵PB⊥y轴于点B，点A在x轴上，
∴PB∥OA，
∴S△P AB＝S△POB，
∵点P在反比例函数y=−4
x的图象上，
∴S△P AB＝S△POB＝2．
【点评】本题主要考查了反比例函数中比例系数k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、
坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=1
2|k|．也考查了三角形的面积．
3．如图，已知反比例函数y=k
x的图象经过点A（4，m），AB⊥x轴，且△AOB的面积为4．
（1）求k和m的值；
（2）若点C（x，y）也在反比例函数y=k
x的图象上，当y≤2（y≠0）时，求自变量x的取值范围．
【分析】（1）利用三角形面积公式得到12×4×m ＝4，解得m ＝2，从而得到m 的值，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求k 的值；
（2）结合图象，点C 点在第三象限或C 点在第一象限且在A 点右侧时满足条件．
【解答】解：（1）∵△AOB 的面积为4．A （4，m ），
∴12×4×m ＝4，解得m ＝2， ∴A （4，2），
∴k ＝2×4＝8；
（2）当y ≤2（y ≠0）时，x ＜0或x ≥4．
【点评】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数y =k x
图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k |．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
4．如图，在平面直角坐标系中，将直线y ＝﹣3x 向上平移3个单位，与y 轴、x 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ．若反比例函数y =k x （x ＞0）的图象经过点C ，求此反比例函数的表达式．
【分析】过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，作CF ⊥y 轴于点F ，根据等腰直角三角形的性质可证出△ACF ≌△BCE （AAS ），从而得出S 矩形OECF ＝S 四边形OBCA ＝S △AOB +S △ABC ，根据直线AB 的表达式利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A 、B 的坐标，结合勾股定理可得出AB 的长度，再根据三角形的面积结合反比例函数系数k 的几何意义，即可求出k 值，此题得解．
【解答】解：过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，作CF ⊥y 轴于点F ，如图所示．
∵CE ⊥x 轴，CF ⊥y 轴，
∴∠ECF ＝90°．
∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴∠ACF +∠FCB ＝∠FCB +∠BCE ＝90°，AC ＝BC ，
∴∠ACF ＝∠BCE ．
在△ACF 和△BCE 中，{∠AFC =∠BEC =90°
∠ACF =∠BCE AC =BC
，
∴△ACF ≌△BCE （AAS ），
∴S △ACF ＝S △BCE ，
∴S 矩形OECF ＝S 四边形OBCA ＝S △AOB +S △ABC ．
∵将直线y ＝﹣3x 向上平移3个单位可得出直线AB ，
∴直线AB 的表达式为y ＝﹣3x +3，
∴点A （0，3），点B （1，0），
∴AB=√OA2+OB2=√10，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC=√5，
∴S矩形OECF＝S△AOB+S△ABC=1
2
×1×3+12×√5×√5=4．
∵反比例函数y=k
x（x＞0）的图象经过点C，
∴k＝4，
∴此反比例函数的表达式为y=4 x．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、全等三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、等腰直角三角形以及三角形的面积，根据等腰直角三角形的性质结合角的计算，证出△ACF≌△BCE（AAS）是解题的关键．
5．如图，平行四边形ABCD中A点的坐标为（0，﹣2），B在x轴的负半轴上，C、D两点落在反比例函数y＝kx﹣1上，且D点的横坐标为3，四边形AECD的面积是三角形ABE面积的3倍．求k 的值．
【分析】先根据四边形AECD的面积是三角形ABE面积的3倍，结合平行四边形的性质得出E是BC的中点，B、C两点的横坐标互为相反数，设C点横坐标为x，则B点横坐标为﹣x．再由平行四边形ABCD中A点的坐标为（0，﹣2），D点的横坐标为3，求出x＝1.5．设D（3，y），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出C（1.5，2y），再利用平行四边形的性质求出y＝2，D（3，2），那么k＝3×2＝6．
【解答】解：∵四边形AECD的面积是三角形ABE面积的3倍，
∴三角形ABE的面积=1
4
×平行四边形ABCD的面积=12×三角形ABC的面积，
∴E是BC的中点，
∵E在y轴上，横坐标是0，
∴B、C两点的横坐标互为相反数，设C点横坐标为x，则B点横坐标为﹣x．∵平行四边形ABCD中A点的坐标为（0，﹣2），D点的横坐标为3，
∴x﹣（﹣x）＝3﹣0，
∴x＝1.5．
设D（3，y），
∵C、D两点落在反比例函数y＝kx﹣1上，
∴C点纵坐标为3y
1.5
=2y，即C（1.5，2y）．
∵A（0，﹣2），B（﹣1.5，0），C（1.5，2y），D（3，y），且四边形ABCD是平行四边形，
∴2y﹣y＝0﹣（﹣2），
∴y＝2，
∴D（3，2），
∴k＝3×2＝6．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，平行四边形的性质，反比例函数图象上
点的坐标特征，求出B 、C 两点的横坐标是解题的关键．
6．如图，点A 、C 为反比例函数y =k x （x ＜0）图象上的点，过点A 、C 分别作AB ⊥x 轴，CD ⊥x 轴，垂足分别为B 、D ，连接OA 、AC 、OC ，线段OC 交AB 于点E ，点E 恰好为OC 的中点，当△AEC 的面积为32时，求k 的值．
【分析】根据三角形的中线的性质求出△AEO 的面积，根据相似三角形的性质求出S △OCD ＝2，根据反比例函数系数k 的几何意义解答即可．
【解答】解：∵点E 为OC 的中点，
∴△AEO 的面积＝△AEC 的面积=32，
∵点A 、C 为反比例函数y =k x 图象上的点，
∴S △ABO ＝S △CDO ，
∴S 四边形CDBE ＝S △AEO =32，
∵EB ∥CD ，
∴△OEB ∽△OCD ，
∴S △OEB
S △OCD =（12）2， ∴S △OCD ＝2，
则12xy ＝﹣2， ∴k ＝xy ＝﹣4．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k 的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7．如图，点A 与点B 在反比例函数y =8x
（x ＞0）的图象上，A 点的纵坐标为2，BB ′与AA ′均垂直于x 轴，B ′，A ′是垂足．
（1）求A 点的坐标；
（2）求△BOB ′的面积；
（3）若B 点的横坐标为2，求△OAB 的面积．
【分析】（1）把y ＝2代入函数解析式即可求得A 的横坐标即可求得A 的坐标；
（2）根据反比例函数的解析式的意义即可求得三角形的面积；
（3）根据△AOB 的面积＝△OBB '的面积+S 梯形OA 'AB 的面积﹣△OAA '的面积求解．
【解答】解：（1）当y ＝2时，则x =
82
=4．即点A 的坐标是（4，2）； （2）S △BOB '=12×8＝4；
（3）在y =8x 中，当x ＝2时，y =82=4，则B 的坐标是（2，4），
根据反比例函数的解析式，知三角形OAA 1的面积和三角形OBB 1的面积相等，都是4，
则直角梯形ABB 1A 1的面积是12×（2+4）×2＝6． 【点评】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，要能够熟练运用待定系数法求得反比例函数的解析式；双曲线上任意一点向x 轴或y 轴引垂线，则该点、垂足、原点组成的三角形的面积相等，都是|k|2．
8．如图，点（2，3）在反比例函数y =k x 的图象上，且点P 是该函数图象上的一点，过P 作PM ⊥x
轴于M ，PN ⊥y 轴于N ．
（1）若点P 的横坐标为4，求长方形PMON 的面积；
（2）若点P 为一动点，当点P 在双曲线位于第一象限的一支上运动时，长方形PMON 的面积如何变化？
【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义入手，△长方形PMON 的面积|k |．
【解答】解：（1）∵点（2，3）在反比例函数y =k x 的图象上，
∴k ＝6，
∵点P 是该函数图象上的一点，
∴长方形PMON 的面积＝6；
（2）当点P 在双曲线位于第一象限的一支上运动时，长方形PMON 的面积不变．
【点评】本题主要考查了反比例函数y =k x 中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得三角形面积为12|k |，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．
9．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标系原点，矩形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，其中OA ＝6，OC ＝3，已知反比例函数y =k x （x ＞0）的图象经过BC 边上的中点D ，交AB 于点E
（1）试求k 的值；
（2）猜想△OAE 的面积与△OBD 的面积之间的关系，请说明理由．
【分析】（1）根据OA、OC的长度即可得出点B的坐标，再根据点D为线段BC的中点即可找出点D的坐标，结合点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；
（2）二者相等．根据反比例函数系数k的几何意义即可得出S△OCD＝S△OAE=1
2k，再由点D为线
段BC的中点即可得出S△OBD＝S△OCD＝S△OAE，此题得解．【解答】解：（1）∵OA＝6，OC＝3，
∴点B的坐标为（6，3），
∵四边形OABC为矩形，
∴BC⊥y轴，
∵点D为线段BC的中点，
∴点D的坐标为（3，3）．
∵点D在反比例函数y=k
x的图象上，
∴k＝3×3＝9．
（2）△OAE的面积与△OBD的面积相等，利用如下：
∵点D、E在反比例函数y=k
x的图象上，
∴S△OCD＝S△OAE=1
2k，
∵点D为线段BC的中点，
∴S△OBD＝S△OCD＝S△OAE．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数k的几何意义，根据点D 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，函数y =k x
（x ＞0，常数k ＞0）的图象经过点A （1，2），B （m ，n ），（m ＞1），过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ．
（1）若△ABC 的面积为2，求点B 的坐标；
（2）是否存在点B ，使△ABC 为等腰直角三角形？
【分析】（1）由点A （1，2）在函数y =k x （x ＞0）图象上，确定k ＝2，而B （m ，n ）在函数y =2x
图象上，则mn ＝2，再根据面积公式得到12•m •（2﹣n ）＝2，即2m ﹣mn ＝4，即可求出m 和n ，从而得到点B 的坐标；
（2）根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵点A （1，2）在函数y =k x
（x ＞0）图象上，
∴k ＝1×2＝2，即函数y =2x ，
而B （m ，n ）在函数y =2x 图象上，
∴mn ＝2，
又∵△ABC 的面积为2，
∴12•m •（2﹣n ）＝2，即2m ﹣mn ＝4， ∴m ＝3，
∴n =23，
所以点B 的坐标为（3，23）；
（2）存在，
∵△ABC的等腰直角三角形，∴∠BAC＝90°，AC＝AB，∴m＝2，
∵而B（m，n）在函数y=2
x图象上，
∴n＝1，
∴B（2，1）．
∴存在点B，使△ABC为等腰直角三角形．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题的解法：先设某些点的坐标，再利用几何性质表示其他点的坐标或求其他图象的解析式，然后再利用几何性质建立等量关系求未知字母的值．
11．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函
数y=k
x（x＜0）的图象经过顶点B．
（1）求k的值；
（2）点P是x轴上一动点，当△BCP的面积等于菱形OABC的面积时，求点P的坐标．
【分析】（1）求出点B坐标即可解决问题．
（2）设点P坐标为（m，0），列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点A坐标（﹣3，4），
∴AB ＝OA ＝OC =√32+42=5，
∴点B 坐标为（﹣8，4），
∴k ＝﹣8×4＝﹣32．
（2）设点P 坐标为（m ，0），
∴12|m +5|•4＝5×4， ∴m ＝﹣15或5．
【点评】本题考查菱形的性质、反比例函数系数k 的几何意义等知识，解题的关键是利用待定系数法确定函数解析式，学会把问题转化为方程解决，属于中考常考题型．
12．如图，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线y =k x
（x ＞0）与斜边OA 交于点C ，与另一直角边交于点D ，若OC ：CA ＝1：2，且S △OCD ＝8，求k 的值．
【分析】过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，作CF ⊥y 轴于点F ，由“CE ⊥x 轴，AB ⊥OB ”可得出△OCE ∽△OAB ，即找出OE OB =OC OA ，再结合OC ：CA ＝1：2即可得出OB ＝3OE ，设点C 的坐标为（n ，k n ）（n ＞0），即可找出点B 、D 、E 的坐标，通过分割三角形以及反比例函数系数k 的几何意义即可得出关于k 的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，作CF ⊥y 轴于点F ，如图所示．
∵CE⊥x轴，AB⊥OB，∴CE∥AB，
∴△OCE∽△OAB，
∴OE
OB
=
OC
OA
．
∵OC：CA＝1：2，
∴OE
OB
=
OC
OC+CA
=
1
1+2
=
1
3
．
∵双曲线y=k
x（x＞0）的图象在第一象限，
∴k＞0．
设点C的坐标为（n，k
n ）（n＞0），则点D的坐标为（3n，
k
3n
），
点B的坐标为（3n，0），点E的坐标为（n，0）．S△OCD＝S矩形OECF+S梯形EBDC﹣S△OCF﹣S△OBD，
＝|k|+1
2（BD+CE）•BE−
1
2|k|−
1
2|k|，
=12（k
n +
k
3n
）•（3n﹣n），
=43k＝8，
解得：k＝6．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定及性质、三角形的面积公式以及矩形的面积公式，解题的关键是找出关于k的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过分割图形求△OCD的面积，以此找出关于k的方程是关键．
13．如图，已知点A 是一次函数y =13
x （x ≥0）图象上一点，过点A 作x 轴的垂线l ，B 是l 上一点（B 在A 上方），在AB 的右侧以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，
（1）若B 点坐标是（3，5），反比例函数y =k x （x ＞0）的图象过点C ．求k 的值．
（2）若反比例函数y =k x （x ＞0）的图象过点B ，C ，且△OAB 的面积为8，
求△ABC 的面积．
【分析】（1）过C 作CD ⊥y 轴于D ，交AB 于E ．先求得A 的坐标，进而根据等腰直角三角形的性质求得C 的坐标，代入反比例函数y =k x （x ＞0），即可求得k 的值．
（2）如图，设AB ＝2a ，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：BE ＝AE ＝CE ＝a ，设A （x ，1
3x ），
则B （x ，13x +2a ），C （x +a ，1
3x +a ），因为B 、C 都在反比例函数的图象上，列方程可得结论． 【解答】解：（1）过C 作CD ⊥y 轴于D ，交AB 于E ．
当x ＝3时，y =1
3×3＝1，
∴点A （3，1），
∴AB ＝5﹣1＝4，
又∵等腰直角三角形ABC ，AB 为斜边，
∴AE ＝BE ＝CE =12AB ＝2，
∴点C （5，3），
∵反比例函数y =k x （x ＞0）经过点C ，
∴k ＝5×3＝15；
（2）如图，∵AB ⊥x 轴，
∴CD ⊥AB ，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴BE ＝AE ＝CE ，
设AB ＝2a ，则BE ＝AE ＝CE ＝a ，
设A （x ，13x ），则B （x ，13x +2a ），C （x +a ，13x +a ）， ∵B ，C 在反比例函数的图象上，
∴x （13x +2a ）＝（x +a ）（13x +a ）， 解得x =32a ，
∵S △OAB =12AB •DE =12•2a •x ＝8，
∴ax ＝8，
∴32a 2＝8， ∴a 2=163，
∵S △ABC =12AB •CE =12•2a •a ＝a 2=163．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．
14．已知点A （1，a ），点B 的横坐标为m （m ＞1）均在正比例函数y ＝2x 的图象上，反比例函数y =k x 的图象经过点A ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，交反比例函数y =k x 的图象于点C ，连接AC ．
（1）当m ＝2时，求直线AC 的解析式；
（2）当AB ＝2OA 时，求BC 的长；
（3）是否存在一个m ，使得S △BOD ＝3S △OCD ，若存在，求出m 的值，不存在，说明理由．
【分析】根据图象上点的坐标特征求得A 的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（1）先求得B 的坐标，进而求得C 的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线AC 的解析式；
（2）根据题意求得点B 的横坐标为3，代入y ＝2x 求得纵坐标，把x ＝3代入y =2x
，即可求得C 的坐标，进而即可求得BC 的长；
（3）根据反比例函数系数k 的几何意义求得S △OCD ＝1，则S △BOD ＝3S △OCD ＝3，然后根据三角形面积公式得到12•m •2m ＝m 2＝3，解方程求得m 的轴． 【解答】解：∵点A （1，a ），在正比例函数y ＝2x 的图象上，
∴a ＝2×1＝2，
∴点A 的坐标为（1，2），B （m ，2m ），
∵反比例函数y =k x 的图象经过点A ，
∴k ＝1×2＝2，
∴则反比例函数的解析式为y =2x ，
（1）点B 的横坐标为m （m ＞1）正比例函数y ＝2x 的图象上，当m ＝2时，
则点B 的坐标为（2，4），
∴点C 的横坐标为2，
代入y =2x
，求得纵坐标为1，
∴点C 的坐标为（2，1），
设直线AC 的解析式为y ＝ax +b ，
把A （1，2），C （2，1）代入得{a +b =22a +b =1
， 解得：a ＝﹣1，b ＝3，
∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x +3；
（2）∵A （1，2），AB ＝2OA ，
∴点B 的横坐标为3，
∴点B 的坐标为（3，6），点C 的坐标为（3，23）， ∴BC ＝6−23=163
； （3）∵S △OCD =12k =12×2＝1，
∴S △BOD =12OD •BD =12
•m •2m ＝m 2＝3，
解得m =√3（负值已舍去）．
即存在m ，使得S △BOD ＝3S △COD ．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数系数k 的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键．
15．如图，等边△ABC 的顶点A ，B 分别在双曲线y =k x 的两个分支上，且AB 经过原点O ．BD ⊥x 轴于D ，S △BOD ＝2．
（1）直接写出该双曲线的解析式为y =−4x ；
（2）若OD ＝2，求A 、B 、C 点的坐标．
【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值，从而求得解析式；
（2）把B的横坐标代入解析式即可求得B的坐标，根据反比例函数图象的对称性可得OA＝OB，即可求得A坐标，根据等边三角形三线合一可证明△COE∽△OBD，根据相似三角形的性质可得C的坐标．
【解答】解：（1）∵点B在双曲线y=k
x的图象上，且BD⊥x轴于D，
∴S△BOD=1
2|k|，
∵S△BOD＝2，
∴|k|＝4，
∵图象在二四象限，∴k＝﹣4，
∴反比例函数的解析式为y=−4 x，
故答案为y=−4 x；
（2）作CE⊥x轴于E，连接OC，∵OD＝2，
∴B的横坐标为2，
把x＝2代入y=−4
x，求得y＝﹣2，
∴B（2，﹣2），
∵A、B关于原点对称，
∴A（﹣2，2），
∵反比例函数的图象关于原点对称，∴OA＝OB，
∵△ABC是等边三角形，
∴OC⊥AB，
∴∠BOC＝90°，∠BCO＝30°，
∴tan∠BCO=OB
OC
=√33，
∴∠COE+∠BOD＝90°，
∵CE⊥x轴，BD⊥x轴，
∴∠CEO＝∠ODB＝∠COE+∠OCE＝90°，∴∠BOD＝∠OCE，
∴△COE∽△OBD，
∴BD
OE
=
OD
CE
=
OB
OC
，即
2
OE
=
2
CE
=
√3
3
，
∴OE＝CE＝2√3，
∴C（2√3，2√3）．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象关于原点对称，相似三角形的判定与性质及等边三角形等知识点，难度不大，属于中档题．
16．如图，Rt△AOB的直角边OB在x轴的正半轴上，反比例函数y=k
x（x＞0）的图象与斜边OA相
交于点C ，与直角边AB 相交于点D ，且AC ＝2OC ．
（1）若点C （2，3），求点D 的坐标；
（2）若S △ACD ＝8，求k 的值．
【分析】（1）由点C 的坐标可知OE 、CE 的长度，进而确定反比例函数的关系式，由AC ＝2OC ，根据相似三角形可求出点D 的横坐标，点D 的横坐标可求出纵坐标，
（2）根据三角形相似得到OB ＝3OE ，AB ＝3CE ，设点C （a ，k a ），则A （3a ，3k a ），即可得到D （3a ，k 3a ），然后根据三角形面积得到12⋅8k 3a •2a ＝8，解得k ＝3．
【解答】解：（1）如图．过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为点E ．
∵C （2，3），∠CEO ＝90°，
∴OE ＝2，CE ＝3，
∴k ＝xy ＝OE •CE ＝2×3＝6．
∵AB ⊥x 轴，
∴∠ABC ＝∠CEO ＝90°．
∴CE ∥AB ，
∴AC OC =BE OE ，
∵AC ＝2OC ，
∴BE ＝2OE ＝4，
∴OB ＝6．
把x ＝6代入y =6x 得y ＝1，
∴D （6，1）；
（2）∵AB ⊥x 轴，
∴∠ABC ＝90°，
同理∠CEO ＝90°，
∴CE ∥AB ，
∴AC OC =BE OE ，
∵AC ＝2OC ，
∴BE ＝2OE ，
∴OB ＝3OE ，AB ＝3CE ，
设点C （a ，k a ），则A （3a ，3k a ），
把x ＝3a 代入y =k x ，得y =
k 3a ， ∴D （3a ，
k 3a ）， ∴AD =8k 3a ，△ACD 中AD 边上的高为2a ．
∵S △ACD ＝8，
∴12⋅8k 3a •2a ＝8．
∴k ＝3．
【点评】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函
数的图象和性质、直角三角形的的性质及相似三角形的性质等知识，求出相应的点的坐标是解决问题的关键．
17．已知图中的曲线是反比例函数y =m−5x
（m 为常数）图象的一支． （1）根据图象位置，求m 的取值范围；
（2）若该函数的图象任取一点A ，过A 点作x 轴的垂线，垂足为B ，当△OAB 的面积为4时，求m 的值．
【分析】（1）由反比例函数图象位于第一象限得到m ﹣5大于0，即可求出m 的范围；
（2）根据反比例函数系数k 的几何意义得出12（m ﹣5）＝4，解得即可． 【解答】解：（1）∵这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限，
∴m ﹣5＞0，
解得m ＞5．
（2）∵S △OAB =12
|k |，△OAB 的面积为4，
∴12（m ﹣5）＝4， ∴m ＝13．
【点评】此题考查了反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数的图象与性质，根据系数k 的几何意义得出12（m ﹣5）＝4是解题的关键． 18．如图，A 、B 是反比例函数y =k x 的图象上关于原点O 对称的两点，点C 是y 轴负半轴上一点，直
线AC与x轴交于点D，且点C是线段AD的中点，连接BD．
（1）求证：BD⊥OD；
（2）若点C的坐标是（0，﹣2），且△ABD的面积为5，求k的值和B点坐标．
【分析】（1）利用三角形的中位线定理解决问题即可．
（2）根据C为AD中点，C（0，﹣2），得到A点的纵坐标为﹣4，由于A、B关于原点O对称，得到S△ABD＝|k|＝5，k＝5；又A点的纵坐标与B点的纵坐标互为相反数，得到点B的纵坐标为4，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵A、B是反比例函数y=k
x的图象上关于原点O对称的两点，
∴OA＝OB，
∵AC＝CD，
∴BD∥OC，
∵OC⊥OD，
∴BD⊥OD．
（2）解：∵C为AD中点，C（0，﹣2），∴A点的纵坐标为﹣4，
∵A、B关于原点O对称，
∴S△ABD＝|k|＝5，k＝5；
又A 点的纵坐标与B 点的纵坐标互为相反数，
∴点B 的纵坐标为4，
∴4=5x
，
∴x =54，
∴B （54，4）． 【点评】本题考查反比例函数的系数k 的几何意义，反比例函数和一次函数的交点问题，关于原点对称的点的坐标特征，根据图象找出面积的相等关系是解题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y =k x
（x ＞0）的图象与边长是4的正方形OABC 的两边AB ，BC 分别相交于M ，N 两点，△OMN 的面积为6．求k 的值．
【分析】由正方形OABC 的边长是4，得到点M 的横坐标和点N 的纵坐标为4，求得M （4，k 4），N （k 4，4），根据三角形的面积列方程得到M ，N 的坐标，然后利用待定系数法确定函数关系式． 【解答】解：∵正方形OABC 的边长是4，
∴点M 的横坐标和点N 的纵坐标为4，
∴M （4，k 4），N （k 4，4）， ∴BN ＝4−k 4，BM ＝4−k 4，
∵△OMN 的面积为6，
∴4×4−12×4×k 4−12×4×k 4−12（4−k 4）2＝6，
解得k ＝8．
【点评】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，
20．如图，在平行四边形OABC中，OC=2√2，∠AOC=45°，点A在x轴上，点D是AB的中点，
反比例函数y=k
x
(k＞0)的图象经过C，D两点．
（1）求k的值；
（2）求四边形OABC的面积．
【分析】（1）作高构造直角三角形，由等腰直角三角形的性质，求出CE、OE，确定点C的坐标，代入求出k的值即可；
（2）根据平行四边形的性质和中点的意义，得出点D的坐标，根据坐标求出平行四边形的底和高，即可求出面积．
【解答】解：（1）过点C作CE⊥x轴于E，
∵∠AOC＝45°，
∴OE＝CE，
∴OE2+CE2＝OC2
∵OC＝2√2，
∴OE＝CE＝2，
∴C（2，2），
∵反比例函数y=k
x的图象经过点C点，
∴k＝2×2＝4；
（2）过点D作DF⊥x轴于F，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB＝OC＝2√2，∠DAF＝∠AOC＝45°，又∵点D是AB的中点，
∴AD=√2，AF＝DF，
∴AF2+DF2＝AD2，
∴AF＝DF＝1，
∴D点的纵坐标为1，
∵反比例函数y=4
x的图象过点D点，
∴D（4，1），
∴OF＝4，OA＝OF﹣AF＝4﹣1＝3，
∴平行四边形OABC的面积S＝OA•CE＝3×2＝6．
【点评】考查反比例函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的性质，掌握直角三角形的边角关系是
正确解答的关键．。