复数的几何意义 课件

(2)若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是___(_a_，__b_) ，不是(a， bi)．
( 3 ) 复 数 与 复 平 面 内 _ _ _ _以_ _原_ _点_ _为_始_ _点_ _ 的 向 量 也 可 以 建 立 一 一 对 应 关 系 ．
如→图 ， 在 复 平 面 内 ， 复 数 z ＝ a ＋ b i ( a 、 b ∈ R ) 可 以 用 点 _ _ _ _Z_(a_，_ _b_)_ _ _ 或 向 量
复数的几何意义
1．复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做__实__轴__，y轴叫 做 _ _虚_ _轴_ _ ， 实 轴 上 的 点 都 表 示 实 数 ， 除 了 _ _原_ _点_ _ 外 ， 虚 轴 上 的 点 都 表 示 纯虚数．
2．复数的几何意义
(1)每一个复数都由它的__实_部___和_虚__部___唯一确定，当把实部和虚部作为一 个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与 复 平 面 内 的 点 是 _ _ _一_ _一_对_ _应_ _ _ _ 关 系 ．
已知复数 z 满足 z＋|z|＝2＋8i，求复数 z.
[思路分析] 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条 件求出 a，b.
[解析] 解法一：设 z＝a＋bi(a、b∈R)，则|z|＝ a2＋b2，
代入方程得 a＋bi＋ a2＋b2＝2＋8i，
∴a＋ a2＋b2＝2 b＝8
[点评] 由复数模的定义和复数的几何意义知，|z|表示 z 在复平面内的对应点 到原点的距．离．，因此|z|≥0.z＝i 时，z2＝－1，但|z|≠－1，不要作错误的迁移．
利用复数的几何意义解题
我们知道，在实数集中，实数 a 的绝对值，即|a|是表示实数 a 的点与原点 O 间的距离．那么在复数集中，类似地，|z|是表示复数 z 的点到坐标原点间的距离， 也就是向量O→Z的模，|z|＝|O→Z|.运用此性质，可以解决有关问题．
已知复数 z＝3＋ai，且|z|＜4，求实数 a 的取值范围.
A→C＝O→C－O→A＝(－2,2)， B→C＝O→C－O→B＝(－3,1)， 所以A→B，A→C，B→C对应的复数分别为 1＋i，－2＋2i，－3＋i. ②因为|A→B|＝ 2，|A→C|＝2 2，|B→C|＝ 10， 所以|A→B|2＋|A→C|2＝|B→C|2， 所以△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形．
(1)由题意得 m2－m－2＝0.解得 m＝2 或 m＝－1. (2)由题意得mm22－－m3m－＋2＜2＞00 ，∴－ m＞1＜2或m＜m＜2 1’ ∴－1＜m＜1. (3)由已知得 m2－m－2＝m2－3m＋2.∴m＝2.
『规律总结』 复数z＝a＋bi(a，b∈R)和复平面内的点Z(a，b)一一对应，复数z的实部、虚部分 别对应点的横纵坐标，再根据点的坐标满足的条件求值或取值范围．
(1)已知 z＝(m＋3)＋(m－1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实
数 m 的取值范围是( )
A
A．(－3,1)
B．(－1,3)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－3)
[解析] z＝(m＋3)＋(m－1)i 对应点的坐标为(m＋3，m－1)，该点在第四象限，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以mm＋ －31><00， 解得－3<m<1.
复数模的几何意义的应用
已知复数 z 满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数 z 对应点的轨迹是( )
A．1 个圆
B．线段
C．2 个点
D．2 个圆
[错解] 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1，故选D． [辨析] 错解中忽视了“|z|”的几何意义导致错误. [正解] 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0， 即|z|＝3或|z|＝－1. ∵|z|≥0，∴|z|＝－1应舍去，故应选A．
_O_Z____表示．
复数 z＝a＋bi(a、b∈R)与点 Z(a，b)和向量O→Z的一一对应关系如下：
3．复数的模
复数 z＝a＋bi(a、b∈R)对应的向量为O→Z，则O→Z的模叫做复数 z 的模，记作|z|
且|z|＝____a_2_＋__b_2___. 当 b＝0 时，z 的模就是实数 a 的绝对值． 4．复数模的几何意义 复数模的几何意义就是复数 z＝a＋bi 所对应的点 Z(a，b)到原点(0,0)的__距__离__．
(1)向量O→Z1对应的复数是 5－4i，向量O→Z2对应的复数是－5＋4i，
则O→Z1＋O→Z2对应的复数是( )
C
A．－10＋8i
B．10－8i
C．0
D．10＋8i
(2)在复平面内，A，B，C 三点对应的复数分别为 1,2＋i，－1＋2i.
①求向量A→B，A→C，B→C对应的复数；
②判定△ABC 的形状．
由 z＝3＋ai 知 z 对应的点在直线 x＝3 上，所以线段 AB(除去端点)为动点 Z 的 集合，由 32＋y2＝42 得 y＝± 7，∴A(3， 7)，B(3，－ 7)．由图可知：－ 7＜a ＜ 7.
『规律总结』 解决复数问题的主要思想方法有：(一)转化思想：复数问题实数化；(二)数形结合 思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(三)整体化思想：利用复数的特征整体处理．
[思路分析] 由题目可获取以下主要信息： ①已知复数及其模的范围； ②求复数虚部的取值范围． 解答本题可利用模的定义转化为实数不等式求解或利用数形结合思想求解．
[解析] 解法一：∵z＝3＋ai(a∈R)， ∴|z|＝ 32＋a2， 由已知得 32＋a2＜42，∴a2＜7，∴a∈(－ 7， 7)． 解法二：利用复数的几何意义，由|z|＜4 知，z 在复平面内对应的点在以原点 为圆心，以 4 为半径的圆内(不包括边界)，
，解得ab＝＝－8 15
.∴z＝－15＋8i.
解法二：原式可化为 z＝2－|z|＋8i， ∵|z|∈R，∴2－|z|是 z 的实部， 于是|z|＝ 2－|z|2＋82， 即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17. 代入 z＝2－|z|＋8i 得 z＝－15＋8i.
『规律总结』 计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后利用模的公式进行计算．两 个虚数不能比较大小 ，但它们的模可以比较大小．
(2)在复平面内，若复数 z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i 对应点 (1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线 y＝x 上． 分别求实数 m 的取值范围．
[思路分析] 确定z的实部、虚部 → 列方程不等式组 → 求解m
[解析] 复数 z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i 的实部为 m2－m－2，虚部为 m2 －3m＋2.
[解析] (1)因为向量O→Z1对应的复数是 5－4i，向量O→Z2对应的复数是－5＋4i， 所以O→Z1＝(5，－4)，O→Z2＝(－5,4)，所以O→Z1＋O→Z2＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所 以O→Z1＋O→Z2对应的复数是 0.
(2)①由复数的几何意义知： O→A＝(1,0)，O→B＝(2,1)，O→C＝(－1,2)， 所以A→B＝O→B－O→A＝(1,1)，