四川省宜宾市叙州区第一中学2021-2021高二数学上学期第一次月考试题 理.doc

四川省宜宾市叙州区第一中学2021-2021高二数学上学期第一次月考
试题 理
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

1．设命题p ：x R ∀∈，3210x x --≤，则p ⌝为 A ．x R ∀∈，3210x x --≥ B ．x R ∀∈，3210x x --> C ．x R ∃∈，3210x x --≤ D ．x R ∃∈，3210x x -->
2．直线x - y + 3 = 0的倾斜角是 A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
3．下列语句是存在量词命题的是 A ．整数n 是2和5的倍数 B ．存在整数n ，使n 能被11整除 C ．若370x -=,则73
x =
D ．,()x M p x ∀∈
4．双曲线的顶点到渐进线的距离等于
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知集合{
}
2
230A x x x =+-<，{}
234B x x =+>-，则A
B =
A ．{}
11x x -<<
B ．{}
21x x -<<
C ．2
13x x ⎧⎫-
<<⎨⎬⎩⎭
D ．{}
32x x -<<-
6．经过圆的圆心，且与直线
平行的直线方程为 A ． B ． C ．
D ．
7．已知2
(1,0,2),(6,21,
)a b λμλ
=+=-，若a ∥b ，则λ与μ的值分别为
A ．11,
52
B ．11,52
--
C ．5,2
D ．5,2--
8．若直线2=-y x 被圆4)(2
2=+-y a x 所解得的弦长为22，则实数a 的值为
A ．1-或3
B ．1或3
C ．2-或6
D ．0或4
9．已知圆22
:2O x y +=与抛物线()2
:20C y px p =>的准线相切，则p 的值为
A 2
B ．2
C ．2
D ．4
10．已知1F ，2F 是椭圆2
21:14
x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A 是1C ，2C 在第二象限的
公共点.若12AF AF ⊥，则2C 的离心率为
A ．
45
B 6
C 3
D 2
11．点(),P x y 的坐标满足条件20400x y x y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩
，若()1,1m =，()1,1n =-，且OP m n λμ=+，
则
2λμ
λ
+的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
12．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>右焦点为F （3,0）过点F 的直线交E 于A,B 两点，若
AB 的中点坐标为1(1,)2
，则E 的离心率是
A ．
34
B C ．
4
D 第II 卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如果关于x 3
2
ax >+
的解集是非空集合{}4x x m <<，则m =______. 14．已知正数,a b ，
12
1a b
+=，则3ab 的最小值为_______
15．圆22
x y 2x 4y 30+++-=上到直线4x-3y=2的点数共有__________ 个．
16．1F 、2F 为E ：22
221x y a b
-=左右焦点，M E ∈，且212MF F F ⊥，1230MF F ∠=︒，则E
的离心率e =______.
三．解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）求满足下列条件的直线的方程：
(1)求与直线20x y -=平行，且过点(2)3，
的直线方程； (2)已知正方形的中心为直线220x y -+=和10x y ++=的交点，其一边所在直线的方程为
350x y +-=,求其他三边的方程.
18．（12分）已知圆()()2
2
1:231C x y -++=，()()2
2
2:349C x y -+-=. （1）求两圆外公切线位于两切点（同一切线）之间的线段长；
（2）设1C 与2C 的内公切线交于点P ，外公切线交于点Q ，求过点,P Q 的直线方程.
19．（12分）某玩具所需成本费用为p 元，且p 关于玩具数量x （套）的关系为：
211000510p x x =++
，而每套售出的价格为q 元，其中()(),x
q x a a b b
R =+∈． （1）问：玩具厂生产多少套时，使得平均成本最少？
（2）若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求
a 、
b 的值．（利润=销售收入-成本）．
20．（12分）如图，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，
//,22DE AP AP AD DE ===.
(1)证明：平面//DCE 平面ABP ； (2)求直线CP 与平面DCE 所成角的余弦值.
21．（12分）已知O 为坐标原点，抛物线E ：22(0)x py p =>与直线l ：1y x =+交于点A ，
B 两点，且3OA OB ⋅=-.
（1）求抛物线E 的方程；
（2）线段AB 的中点为Q ，过点Q 且斜率为k 的直线交抛物线E 于C ，D 两点，若直线OC ，OD 分别与直线2y =-交于M ，N 两点，当82
3
MN =
时，求斜率k 的值.
22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的短轴长为26
，直线l 过点
()1,0-交椭圆E 于A B 、两点， O 为坐标原点．
（1）求椭圆E 的方程； （2）求OAB ∆面积的最大值．
2021年秋四川省叙州区第一中学高二第一学月考试
理科数学参考答案
1．D 2．B
3．B
4．C
5．B
6．B
7．A
8．D
9．B
10．B
11．D 12．C
13．36
14．24 15．4
16
17．（1）过点()23，
与直线20x y -=平行，即所求直线的斜率为1
2
k =， 由点斜式方程，可得直线方程是()1
322
y x -=
-，即240x y -+=； （2）联立方程组220
10
x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得交点坐标为(1,0)-，
设与边所在直线350x y +-=平行的边的方程为30(5)x y m m ++=≠-，
设与边所在直线350x y +-=垂直的边的方程为30x y n -+=，
又由正方形的中心(1,0)-到直线350x y +-=
=
， 所以点(1,0)-
，
=
=，解得7,9m n ==或3n =-，
所以其它边所在的直线方程分别为370x y ++=，390x y -+=，330x y --=.
18．（1）经计算可知两圆相离，设两圆的一条外公切线与两圆相切于,A B 两点，连接
1212,,C A C B C C ，过点1C 作12C H C B ⊥于点H ，由平面几何知识可知，12C HC ∆为直角三
角形，四边形1ABHC 为矩形，且12250,2C C C H ==.
在12Rt C HC ∆中，2
2112246C H C C C H =-=
，即46AB =.
∴所求线段长为46.
（2）由平面几何知识可知，12,,,Q C P C 四点共线， ∴过PQ 的直线方程为()473y x -=-，即7170x y --=.
19．（1）由题意，每套玩具所需成本费用为
2
1100051000100010525251010
x x
p x x x
x x x ++
==++≥⋅+=， 当且仅当
100010x x
=时，即当100x =时，每套玩具所需成本费用最少为25元； （2）利润
()()2211110005510001010x y xq x p x a x x x a x b b ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-++=-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，
若生产的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，
则51501121015030
a
b a b -⎧=⎪⎛⎫-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪⎪+=⎩
，解得25a =，30b =. 20．(1)因为//DC AB ，AB ⊂平面ABP ，DC ⊄平面ABP ， 所以//DC 平面ABP .同理可得，//DE 平面ABP . 又DC DE D ⋂=,所以平面//DCE 平面ABP .
（2）（向量法）以A 为坐标原点，,,AB AD AP
所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
由已知得，点(020)D ，
，，()2,2,0C ,()0,2,1E ,()0,0,2P . 所以()2,2,2CP =--，()0,2,0AD =. 易证AD ⊥平面DCE ，
则平面DCE 的一个法向量为()0,2,0AD =.
设直线CP 与平面DCE 所成角为θ，则3
3
.sin =
=
CP
AD CP AD θ。

则cos
3
θ===.即直线CP与平面DCE
. 21．（1）由
22
1
x py
y x
⎧=
⎨
=+
⎩
消去y整理得2220
x px p
--=，
∵直线l与抛物线交于两点，∴()
2
48420
p p p p
∆=+=+>，解得0
p>或2
p<-（舍去）．
设()
11
,
A x y，()
22
,
B x y，则
12
2
x x p
=-，
∴
()()
22
22
12
12
1222
2
1
2244
x x p
x x
y y
p p p p
-
=⋅===，∵
1212
OA OB x x y y
⋅=+，
∴213
p
-+=-，解得2
p=，符合题意．∴抛物线方程为E：24
x y
=．
（2）由（1）得2440
x x
--=，∴124
x x
+=，
12
4
x x=-，
∴()
121212
1126
y y x x x x
+=+++=++=，∴A，B中点Q为()
2,3．
设过点()
2,3
Q斜率为k的直线方程为()
32
y k x
-=-，即23
y kx k
=-+，
由
2
23
4
y kx k
x y
=-+
⎧
⎨
=
⎩
消去y整理得248120
x kx k
-+-=，
其中()()2
2
16481216120
k k k
⎡⎤
∆=--=-+>
⎣⎦，故k R
∈．设
2
3
3
,
4
x
C x
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
2
4
4
,
4
x
D x
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，则344
x x k
+=，
34
812
x x k
=-，
直线OC的方程为3
4
x
y x
=，令2
y=-，得
3
8
x
x
=-，∴
3
8
,2
M
x
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
，同理得4
8
,2
N
x
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
，
∴
343434
88
83x x MN x x x x -=-+====，
解得3k =-，满足题意．∴斜率k 的值为3-．
22．（1）
由题意得1b =，由22
{1c a
a c ==+
，得{
a c ==， ∴椭圆E 的标准方程为2
213x y +=. （2）依题意可设直线l 的方程为1x my =-,
由2
21{31
x y x my +==-，得()22
3220m y my +--=，
()
22
4830m m ∆=++>，设()()1122,,A x y B x y 、，则122122
23{2
3
m y y m y y m +=
+=-+
，
12112OAB
S
y y =⨯⨯-==
设()2
33m
t t +=≥
，则OAB
S
===
∵3t ≥，∴11
03
t <
≤， ∴当113t
=
，即3
t =时， OAB ，此时0m =．。