利用定积分求几何体体积(张远航)

利用定积分求几何体体积
菏泽一中 高二·三十六班 张远航
指导教师：孙国林
[摘要]本文介绍了利用定积分求高中常见几何体体积的一般方法——微元法及适用条件、一般过程与关键步骤，并解决数个典型问题。

[关键词]定积分 微元法 牟合方盖 旋转体 体积
一、微元法[1]
若待求量y 随x 变化，即y=f(x)，则在[x, x+Δx]上f(x)可近似视作不变，即f(x)≈f(x+Δx),
Δf(x)≈f(x)dx 。

定积分⎰b a dx x f )(是和式
f(x)dx 的极限，即⎰b
a dx x f )(=∑=→∆∆n
i i x f 10x )(lim ξ . 若所研究的问题总可以按照分割、近似代替、求和、取极限四个步骤求和式的极限，那么便可应用定积分解决问题。

使用微元法的条件：
1、 所求量y 是自变量x 在区间I 上的因变量。

2、 在区间I 上，y=ΣΔy ，即y 具有代数可加性。

关键：找出Δy 的近似表达f(x)dx 。

二、牟合方盖的体积
所谓“牟合方盖”是当一正立方体用圆规从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分。

若以该正方体中心为原点建立空间直角坐标，则立方体是关
于八个卦限对称的，因此可先研究第一卦限内的情况。

平行于yOz 平面作截面，第一卦限内截面边长
均为x R 22-，故截面为正方形。

ΔV ≈S ×Δx=(x R 22-)Δx
则V=dx x R R )(8202-⎰=8（x R 2-3
3x ）R 0| 解得V=R 33
16 三、一般旋转体的体积
圆柱、圆锥、圆台均是常见的旋转体。

计算该旋转体体积。

平行于y 轴作截面，截面面积S(x)=π[f(x)]2。

ΔV ≈S(x)Δx
V=dx b a x f ⎰)]([2π
1、求圆锥体积： V=dx h h xr ⎰02)(π=h x h r 0
3
22|)(π=32
h r π 2、求圆柱体积：
V=dx h R ⎰02π=h r 2π
小结：
通过以上讨论可以看出，尽管利用定积分解决立体体积问题，基本思路仍是由三维向二维转化。

定积分解决几何体体积问题的关键在于找到体积的近似表达，即被积式，应用条件为所求量y 是自变量x 在区间I 上的因变量，在区间I 上，y=ΣΔy ，即y 具有代数可加性。

应用定积分求解几何体体积问题的优点是快捷、思路明晰，这种方法对于一类数学问题（分割、近似代替、求和、取极限）都十分有效。

参考文献：
[1]《微积分》第9版，机械工业出版社，2009年8月。