概率统计7.3 单因素方差分析

,
r
n ni
i 1
,
1 n
r i 1
ni
i
,
i i , (i 1, , r; j 1, , ni )
i j 表示随机因素对Ai下第j个指标的影响,为随机误差；
称为一般平均; i称为该因素的第i 水平Ai 的效应.
8
等价方差分析模型为
X i j i i j , i 1, , r; j 1, , ni
第一:即使采用同一种灯丝生产 的灯泡,其使用寿命也有差异,说 明使用寿命是随机变量;
第二:不同灯丝生产的灯泡,其使用 寿命的均值有一定差异.
4
另外,此处研究的是灯丝对灯泡使用寿命 的影响问题,因此上述数据不能认为出自同一 个总体,而应视为分别从四个总体X1,…, X4抽取
的容量分别为７,５,８,６的样本观测值.
r
SA ni ( X i X )2 i 1
在假设H0成立,SA反映误差的波动; 若假设H0不成立,则SA反映了不同效应之间 的差异(含误差).称为因素A的偏差平方和.
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2. 有关分布、检验统计量与拒绝域
（1）Se 的分布
1
2
Se
1
2
r i1
ni
(X i j X i )2
j 1
~ (n r)
X
X
ij ij
~ N(i , 2)
相互独立 ,i
1, 2,
, r ; j 1, 2,
, ni
i , 2 未知
检验问题：H0 : 1
r H1 : 1,
,
不全相同
r
拒绝H0 ,表示因素A的作用显著,否则认为因素A不显著.
引入几个记号,并对模型作等价变形
i j X i j i
故E
S (
e 2
)
n
r
,
E
(
S
e
)
(n
r
)
2
（2）SA 的分布
若H
成立，由 1
0
2
ST
~
(n 1)
SA
2
~
2(r
1)
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(３)检验统计量
F S A / (r 1)
若H0 成立
~ F(r 1, n r)
Se / (n r)
(4) 检验水平α下的拒绝域
W {(x1, , xn ) : F F (r 1, n r) }
方差分析表
来源 平方和 自由度 均方和 F 比 临界值 显著性
因素A 39776.4 误差e 178089
3
13258.3 1.638
F0.1=
22 8095
2.35
总和 217865.4 25
由于 F=1.638 < 2.35 = F0.1(3,22) , 故接受 H0，
即认为灯丝对灯泡的寿命没有显著影响.
F ≤ F0.1(r-1,n-r) 认为因素A的影响不显著
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3. 单因素方差分析表
具体计算ST、SA和 Se 时可用变形的公式:
r ni
r
ST
X
i
2 j
n
(X
)2
SA
ni (X i )2 n(X )2
i1 j1
i 1
S e ST SA
18
在例1中,r =4,n1=7,n2=5,n3=8,n4=6, n = n1+n2+n3+n4=26
i1 j1
r ni
r ni
(X i j X i )2
(X i X )2
i1 j1
i1 j1
r ni
r
(X i j X i )2 ni (X i X )2
i1 j1
i1
12
注1 这里显然有
r ni
(X i j X i )(X i X )
i1 j1
r
ni
( X i X ) (X i j X i )
本例中仅考虑灯丝这一因素对灯泡寿命 的影响,可以认为同一种灯丝生产的灯泡就是 一个总体.在方差分析中总是假定各总体相互 独立,且服从同方差的正态分布,即第 i 种灯丝 生产的灯泡寿命Xi是一随机变量
Xi ~ N(i , 2) , i 1, 2,3, 4
5
试验的目的就是检验假设:
H0 : 1
4 H1 : 1,
i1
j 1
r
ni
( X i X )( X i j ni X i )
i1
j 1
r
( X i X ) (ni X i ni X i ) 0
i 1
13
得平方和分解公式 ST Se SA
r ni
其中 Se
(X i j X i )2
i1 j1
反映误差的波动,称为误差的偏差平方和.
若F >Fα(r-1,n-r) ,认为因素A取不同 水平对试验指检验水平α取值情况: F >F0.01(r-1,n-r)
认为因素A的影响高度显著,用＊＊表示
F0.05 <F ≤F0.01(r-1,n-r) 认为因素A的影响显著,用＊表示
F0.1 <F ≤ F0.05(r-1,n-r) 认为因素A有一定影响,用(＊)表示
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乙 1500 1640 1400 1700 1750 丙 1640 1550 1600 1620 1640 1600 1740 1800 丁 1510 1640 1530 1570 1520 1680
1598 1649 1575
3
这里试验指标为灯泡的使用寿命,因素为灯丝,
有四个水平:
从表中可以看出：
,
不全相同
4
若原假设成立H0,则认为不同灯丝的灯 泡寿命Xi没有显著差异,即灯泡寿命差异只 是由其它随机因素引起的.
方差分析是检验同方差的若干正态总体 均值是否相等的一种统计分析方法.
6
二、数学模型
一般地设因素A有r个不同水平A1,…,Ar ,在Ai下 试验结果Xi ~N(μi,σ2), i =1,…, r. 在Ai下做了 ni(≥2)次试验,相当于从总体Xi中抽取一组样本 Xi1,…,Xini,他们相互独立,故方差分析模型为:
2
例1 某灯泡厂用四种不同的灯丝生产四种灯泡. 从每种灯泡中随机抽取若干个灯泡测其寿
命(单位:小时),得数据如表.试问这四种灯丝 生产的灯泡的使用寿命是否有显著差异？
灯泡使用寿命数据
1 2 3 4 5 6 7 8 平均值
甲 1600 1610 1650 1680 1700 1700 1780
1674
i j
~
N (0, 2 )
且相互独立
r
ni i 0
i1
, i , 2 未知
等价检验问题为
H0 :1 r 0 H1 :1, , r不全为0
9
三、单因素方差分析 试验指标数据可列成下表形式
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1.平方和分解公式
记
Xi
ni j 1
Xi
j
，X
i
1 ni
ni
Xij ，
j 1
1 r ni
概率统计
7.3 单因素方差分析
一、单因素方差分析有关概念 方差分析的目的是在众多因素中找出有
显著影响的因素,为此需要做试验,试验中可以 变化的、影响试验指标的因素称为因素(或称 因子),用大写字母A、B、C、……表示,因素 在试验中所取的不同状态称为水平.
因素A 的 r 个不同水平用A1, , Ar表示.
r
X
n
i 1
Xij,n
j 1
ni
i 1
r ni
ST
(X i j X )2
i1 j1
r ni
[( X i j X i ) ( X i X )]2
i1 j1
11
r ni
r ni
(X i j X i )2
(X i X )2
i1 j1
i1 j1
r ni
2
( X i j X i )( X i X ) 注1