(完整word版)2019年高考真题——理科数学(全国Ⅲ卷)(1)

20
101112 17^45 G7S9 101112 101112
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国）
（试题及答案解析）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合A （x,y）x2 y2 1 , B （x,y） y x，则Al B中元素的个数为（）
A. 3
B. 2
C. 1 D . 0
【答案】B
【解析】A表示圆x2 y2 1上所有点的集合，B表示直线y x上所有点的集合，
故Al B表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2,即Al B元素的个数为2,
故选B.
2•设复数z满足（1 i）z2i，则|z ()
A . 1
B .2C.
2
D . 2 22
【答
案】
C
由题，z
1 i 2i 1 i 2i
2 .
【解析】
i 1,则| z 12122，故选C
1
1 i 1 i 2
3•某城市为了解游客人数的变化规律，提升旅游服务质量，收集并整理了2019年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.
月接持游客量（万人）
2019 年
2019 年 2019 年
根据该折线图，下列结论错误的是()
A •月接待游客量逐月增加
B .年接待游客量逐年增加
C .各年的月接待游客量高峰期大致在 7, 8月
D •各年1月至6月的月接待游客量相对于 7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A
【解析】由题图可知，2019年8月到9月的月接待游客量在减少，则 A 选项错误，故选A.
5
3 3
4. (x y)(2x y)的展开式中x y 的系数为()
2 2
一 5 .已知双曲线 C :―2再1 ( a 0, b 0)的一条渐近线方程为
y — x
a b
2
【答案】
A .
B . 【答案】 C
【解析】 由二 【项式定理可得， 原式展开中
含 x 2 2 3 C 5 2x y y C 5 2x 3
C . 40
D . 80
x 3y 3的项为
,且与椭圆
2
x 2
y 2
x 2
y 2
小
2
y
2
x
A
—1 B.— 1
C.—
一 1 D .—
8 10
4
5
5
4
4
【答
案】 B
【解析】
双曲线的一条渐近线方程为
5 y
x , 则b
5 ①
2 a 2
2 2
又 •/椭圆- —1与双曲线有公共焦点， 易知
c
3 ,
则 a 2 b 2
c 2
12 3
2 2
由①②解得a
2,b .5，则双曲线C 的方程为
x y 1,故选B.
4 5
6.设函数 f(x) cos(x
则下列结论错误的是()
C . f (x)的一个周期为 f (x )的一个零点为
y f (x)的图像关于直线 x 匕对称 3
f(x)在(才，n
单调递减
2 2 ——1有公共焦点.贝U C 的方程为() 12
9②
2
3
7.执行右图的程序框图，为使输出
S 的值小于91,则输入的正整数 N 的最小值为()
A . 5
【解析】
函数f x n cos x -
3
的图象可由
cosx 向左平移-个单位得到,
3
如图可知,
D.
3
则圆柱体体积V n 2h 」，故选B.
4
9.等差数列
a n 的首项为1,公差不为0•若a 2, a 3,
成等比数列，则 () A .
24
B . 3
C . 3
D . 8
【答案】A
【解析】••• a n 为等差数列，且a 2,a 3,a 6成等比数列，设公差为.
r 2
则a a 2 a 6，即 a 2d
2 印 d a ! 5d 又 •/ a 1 ，代入上式可得 2
d 2d 0
又 •/ d
0 ，则d
2
6
a 1
6 5
d 1 6 6 5
2 24，故选A
2
2
2 2
A .上
B .」 」
3
3
3
【答案】A
的圆与直线bx ay 2ab 0相切，则C 的离心率为()
B. 4
C. 3
D. 2
S M
初始状态 0
100 第1次循环结束 100
10 第2次循环结束 90 1
8已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为 为()
2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积
Tt
3n
B . 4
【答案】 【解析】 由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径 a n 前6项的和为
X 10.已知椭圆c ：p
a 每1 ( a
b 0 )的左、右顶点分别为 b
A , A ，且以线段A A 为直径
此时S 90 91首次满足条件，程序需在 N 2
为满足条件的最小值，故选 D.
25
【解析】由题意，画出右图 .
设BD 与eC 切于点E ，连接CE . 以A 为原点，AD 为轴正半轴，
AB 为轴正半轴建立直角坐标系, 则C 点坐标为(2,1).
•/ |CD | 1 , |BC | 2 . 二 BD -.12 22
5 .
• BD 切eC 于点E . ••• CE 丄 BD .
••• CE 是Rt A BCD 中斜边BD 上的高.
1
2 |BC| |CD|
|BD|
即eC 的半径为5 6 •/ P 在eC 上.
【解析】•••以AA 为直径为圆与直线bx ay 2ab 0相切，二圆心到直线距离等于半径,
2ab •. d
----------- a .a 2 b 2
又••• a
0,b 0,
则上式可化简为
2 2
11.已知函数f(x)
2 x 1 x 1
x 2x a(e e
)有唯一零点，则
a
()
A . 【答
案】 f(x
) 2 x
2x x a(e :1 x
1 e ) ，得： (
2 x)2 2(2 x
) ,2x1
a(e
e (2x) 1) 2 x 4x 4 4 2x z 1 x
a(e e x1)
2
x
1
x 1
x 2x a(e e )
f (x)的零点只能为x 1 , 即 f (1) 12 2 1 a(e 1 1 e 11) 0 , 1
解得a - .
2
12
.在矩形 cABCD 中，
AB 1
， AP AB AD ，贝V
AD 2，动点
的最大值为()
P 在以点C 为圆心且与
A . 3 【答案】A
B . 2 2
C . 5
BD 相切的圆上.若
D . 2
|EC|
2S ^ BCD |BD|
【解析】
由条件, f(2 x)
3
f (2 x) f (x)，即x 1为f (x)的对称轴,
由题意，f (x)有唯一零点,
••• P 点的轨迹方程为
设P 点坐标(
x 0,y 0),
—VBcos
5
2
V5si n 5
uuu (冷』0), AB
uui AB X 。

2 y 0 1
十uun 而AP luu •/ AP uur AD (x 2)2
能够设出 (0,1), (0,1) 2
4 (y 1)-
5
P 点坐标满足的参数方程如下:
uur
AD (2,0). (2,0) (2 ,) 1 X 0
2 两式相加得:
COS ,
5
y o 1 —*/5sin
5
)
5
2 5、 )
5
当且仅当 2k n
k Z 时,
取得最大值3.
最小值为— 【答案】1 【解析】由题，画出可行域如图: 13.若x , y 满足约束条件 二、填空题：（本题共 4纵截距越大，值越小.
【答案】 8 【解析】Q a n 为等比数列，设公比为.
1 1
目标函数为z 3x 4y ，则直线y
a a 2
1 a 1 ，即 3 a 1 a 1q 1① a
l
a
3
2 ae
3②，
显然q 1 , a 1 0 ,
②
①得1 q 3，即q 2 , 代入①式可得a 1,
3
a 4 a 1 q
3
1 2
8 .
15•设函数f(x)
x 1,x W 0,
「一 一 1 x
则满足f(x) f(x -)
1的X 的取值范围
,x
1
【答案】 -,
4
【解析】Q f x x 1,x W 0
x
2 ,x
则 D(1,0,0) , A(0,0,1),
直线的方向单位向量 a (0,1,0) , |a| 1 .
由图象变换可画出
的图象如下:
1
由图可知，满足
1
1
与y
16.，为空间中两条互相垂直的直线, 直角边AC 所在直线与 ，都垂直， 等腰直角三角形
斜边AB 以直线 AC 为旋转轴旋转, ① 当直线 ② 当直线 ③ 直线AB 与所成角的最小值为 45 ； ④ 直线AB 与所成角的最大值为 60 . 其中准确的是 ________ (填写所有准确结论的编号) 【答案】②③ 【解析】由题意知， a 、b AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图
不妨设图中所示正方体边长为 1, 故 |AC| 1 , AB •泛,
斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则 A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以 C 为圆心，1为半径的圆. ULU …“
以C 为坐标原点，以CD 为轴正方向， CA 为轴正方向建立空间直角坐标系 AB 与成60角时, AB 与成60角时, AB 与成30角; AB 与成60 角; ABC 有下列结论 UJU
CB 为轴正方向,
B点起始坐标为(0,1,0),
3
•••②准确，①错误.
三、解答题：(共70分•第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答•第 22, 23题为选考
题，考生根据要求作答)
(1)由 si nA 3cosA 0 得 2sin A
冗
直线的方向单位向量
b (1,0,0)，|b| 1. 设B 点在运动过程中的坐标 其中为BC 与CD 的夹角， 那么AB'在运动过程中的向量 B (cos ,sin ,0), [0,2 uiur AB n.
luur
—
(cos , sin ,1), | AB | . 2 .
AB 与所成夹角为
cos
AB 与所成夹角为
uuur r AB b r uiur b AB
【0,夕，
(cos ,sin ,1)
(1,0,0)
| cos
2 Au 与夹角为 60时，即 sin
2 cos
• 2 cos —
3
n 3， 21辽 2 2
2
cos
sin 2 辽 2 .
| cos
2 n [0, —]. 2 冗
二=3，此时
二 |cos …cos
(一)必考题：共60分. 17.( 12 分)
ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , (1) (2) c ,已知 si nA 3 cos A 0 , a 2.7 , b 2 .
求c ；
设D 为BC 边上一点，且AD AC , 求△ ABD 的面积.
【解析】
cos
【0,n
£|sin I [0,
n n
［匸三］，所以③准确，④错误. I
即A — k n k Z ，又 A 0, n ,
3
18.（ 12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4元，售价每瓶
6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2元的价格当天全部处理完•根据往年销售经验， 每天需求量与当天最高气温（单位：C ）相关•如果最高气温不低于 25,需求量为500瓶;
如果最高气温位于区间
20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶,
为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数 分布表：
（1） 求六月份这种酸奶一天的需求量 X （单位
：瓶）的分布列；
（2） 设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y （单位：元）•当六月份这种酸奶一天的进
货量（单位：瓶）为多少时，
Y 的数学期望达到最大值？ 【解析】⑴易知需求量可取200,300,500
⑵①当n < 200时：丫 n 6 4
2n
, 此时Y max
400，当n 200时取到 ②当200 n <
300
时： Y
4 5 2n -200 2 n 5
200 2
8 n
5
800 2n 6n 800
5 5
此时Y max
520 当 * — i n 300时取到
③当300 n <
500 时，
由余弦定理
n ,得
2_n "3
c 2bc cos A .又T a 2 7, b 2,cosA —代入并整理得
2
c 1 25，故
(2) •/ AC 2,BC 由余弦定理cosC
4.
2 7, AB 4 , a 2 b 2
c 2 2 7
2ab 7 △ACD 为直角三角形,
则 AC CD cosC ，得 CD . 7 . ••• AC AD ，即
2 n
又
A
亏，则
1
2〔AD | |AB | si S A ABD ■ 2
AC
DAB 刃 n
3 2
sin - 、3.
6
3.
2 16 1 P X 200
—
30 3 5
36 2
P X 300
30 3 5
25 7 4 2
P X 500
30 3 5
则分布列为：
1
Y 200 2 n 200 5
3200 2n
2
I 300
2 n 300
2
P 2
5
此时Y 520.
④当n > 500时，易知一定小于
综上所述：当n 300时,
③的情况•
取到最大值为 520.
19 . ( 12分)如图，四面体ABCD 中，△ ABC 形. ? ABD ?CBD , AB= BD .
(1)证明：平面 ACD A 平面ABC ;
(2 )过AC 的平面交BD 于点E ，若 把四面体ABCD
分成体积相等的两部分.求二 面角D- AE- C 的余弦值.
注平面AEC 【解析】⑴取AC 中点为O ,连接BO , DO Q ABC 为等边三角形
••• BO AC • AB BC
AB BC
BD BD AB CBD .
ABD DBC
••• AD CD ,即ACD 为等腰直角三角形, 为直角又O 为底边AC 中点 B
是正三角形，△ ACD 是直角三角 • AC 令
AB
a ，贝U AB |AC 易
得： OD 子a , O B •
OD
|2 |OB 2 BD 2
由勾股定理的逆定理可得
即
OD
OB
OD AC OD OB AC I
OB O OD AC 平面 ABC OB 平面 ABC
平面ABC
BC BD 3 a 2
DOB
I
又••• OD 平面ADC 由面面垂直的判定定理可得 ⑵由题意可知V D ACE V B ACE
即B ,D 到平面ACE 的距离相等 即E 为BD 中点
以O 为原点，OA 为轴正万向， OB 为轴正万向， COD!为轴正方向，设 AC a ，建立空间直角坐标
平面ADC 平面ABC
系，
2
2 2
则 O 0,0,0 , a A _,0,0 2 a
D 0A 2， 0,#a,
0 , E 0,斗町 uu
易得：AE
a 蒂 2,_T
a a,- 4
uuir ,AD
uuu a ,OA ,0,0
2
设平面AED 的法向量为 uui uu
AE ① 则 uur iu AD q uuu in AE n 2 urn in OA n 2
解得 u u n 2
C 为, n 1，平面AEC 的法向量为n
3,1, 3 0,1, -.3
易知为锐角,
D A
E ■ 7
7 若二面角 2 20.（ 12分）已知抛物线 C : y = 2x ，过点（2, 0）的直线交C 于A , B 两点，圆 段AB
为直径的圆. （1 ）证明：坐标原点 O 在圆M 上； （2）设圆M 过点P （4, - 2 ），求直线与圆M 的方程. M 是以线
【解析】⑴显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意. 设 l : x my 2 , ,B^y ）, 联立：y2 2X
得y 2 x my 2 16恒大于，* 2my 4 0, 2 4m uir umr OA
OB
y 2 2m , yy 2 4 X 1X 2 y 』2
(m% 2)( my 2 (m 2 1)y°2 2
2) 2m(y 1
y 2)
4(m
1) 2m(2m)
uir urn
••• OA OB ，即O 在圆M 上.
uiu uir ⑵若圆M 过点
(X 4)(X 2 4)
(my 2)( my 2
2
(m 1)y 1y 2 P ，贝V AP BP
(y 2) 2)( y 2 2) (y
2)( y 2
(2 m 2)( y y 2) 化简得2m 2 0解得 ①当 y 。

1
m - 2
y y 时，l ：2x y 1
1
，x 0
y
2
2
半径 |OQ| 则圆
9 2 ：(x -)
(y
4
1) 85 16
2) 0圆心为 Q （x 0,y 。

）,
1 2k
1
1
• • ln(1 尹
一方面：ln(1丄) 2
1
尹)…(1 另一方面：(1
丄)(1 2 当n > 3时，(1
丄)(1 2 * 1 •- m N , (1 -)(1
2
即(1
1 ln(1
2 )
2
1
n
) e
.
1 尹 1
• ••(1 尹…(1 1 0
•
••(1
... In(1
1 n )
2 1 (1 2n)
1 )(1
2 (2,e) 1 2)(1 2 1 3
)
2
135 64
22 •选修4-4 :坐标系与参数方程］(10分)
在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为 t, kt.
(t 为参数)，直线
l
的参数方程为
x
y
(1) m,
m (m 为参数)，设与
k
写出C 的普通方程： l
的交点为P ,当k 变化时,
(2)以坐标原
P 的轨迹为曲线C .
②当m 1时，|：x y 2 0圆心为Q(X o ,y o ),
y 。

上竺 1 , x o y o 2 3,
2 半径 r |OQ| 32 12
则圆 M :(x 3) (y 1)
10
21.(12 分)已知函数 f(x) x 1 alnx . (1 )若f (x) >
0 ,求a 的值；
(2)设m 为整数，且对于任意正整数, 【解析】⑴f (x) x 1 alnx ， x 0
则 f (x)
1 a 「，且 f(1)
x x
当a w 0 f x 0, f x 在 0,
上单调增，所以 0 x 1时，f x 0,
不满足题意;
当a 0
时，
当
0 x a 时，f (x)
0，贝U f (x)在(0,a)上单调递减；
当
x a 时，
f (x)
0 ,则 f(x)在(a,
)上单调递增.
①若
a 1 ,
f(x)在(a,1)上单调递增• •当 x (a,1)时 f (x)
f(1) 0矛盾
②若 a 1 , f(x)在(1,a)上单调递减• •当 x (1,a)时 f (x) f(1) 0矛盾
③若
a 1 , f (x)在(0,1)上单调递减， 在(1,)上单调递增 •- f(x) > f(1) 0满足 题
意
1 1 1
(1 + 2)(1 +尹)鬃?(1
尹)< m ，求m 的最小值.
综上所述a 1.
⑵当 a 1 时 f (x) x 1 In x > 0 即In x < x 1 则有In(x 1) w x当且仅当x 0时等号成立
M 为与C 的交点，求M 的极径. 【解析】⑴将参数方程转化为一般方程
23 •选修4-5 :不等式选讲］(10分)
已知函数f(x) |x | |x | • (1 )求不等式f(x) 的解集；
(2)若不等式f(x) X x m 的解集非空，求m 的取值范围.
3,x < 1
【解析】⑴f X |x 1| |x 21可等价为f X 2x 1, 1 x 2 .由 f x > 1可得:
3,x > 2
①当x < 1时显然不满足题意；
②当 1 x 2时， 2x 1 > 1, 解得x > 1 ;
③当 x> : 2时， f x 3 > 1 恒. 成立 .综
上， f X 1的解集为 x|x > 1 ⑵不: 等式 f x > x 2 x m 等价 介为 f x x 2 x > m
令g
x f x x 2 x ，则 g x > m 解集非空只需要 g x > m max
2 x x 3,x
w
1
而g x
2 x 3x 1, 1 x 2 .
2 x x 3,x > 2
①当
x < 1时, g x max g 1 1 3 1 1
5
②当 1 x 2 时， g x 1 m ax g 3 2 2
3 33 2 2
1 § ； 4
③当 x> : 2
时， g :
x m
a x g 2 22 2 3 1 .
5 5
I 3： y
2 0
……③
x y
联立曲
C 和 2
2 .
x
y 4
3
x —
解得
2
y
返
2
x cos 由 解5
y
sin
k
①②消可得：x 2 y 2 4
即P 的轨迹方程为x 2 y 2
4 ；
⑵将参数方程转化为一般方程
即M 的极半径是..5 •
l i ： y k x 2
1
综上，g x
max ；，故m 4.。