初二数学压轴大题集(100道)

一次函数压轴题（一）
1. 已知点A （-4，2），B （-1，5）
（1） 在x 轴上求一点P ，使PA+PB 最小；
（2） 在x 轴上求一点Q ，使｜QA －QB ｜最大；
（3） 在x 轴上取点D ，y 轴上取点C ，使四边形ABCD 的周长最小，最C 、D 的坐标；
2. 已知点A （－4，2），B （1，－3）
（1） 在x 轴上求一点P ，使PA+PB 最小；
（2） 在x 轴上求一点Q ，使｜QA －QB ｜最大；
3. 如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 在坐标轴上，OA ＝OB ＝OC ＝2，点P 从C 点出发沿
y 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向上运动，连PB 。

（1） 求直线BC 的解析式；
（2） 点P 为第二象限的直线BC 上一点，当P 运动2秒，且S △AQO ＝2S △OPQ 时，求点Q 的坐
标；
（3） 若D 为AC 的中点，连DP ，BD ，问点P 运动几秒时，△PDB 为等腰直角三角形？
4. 如图，一次函数y=ax-b 与正比例函数y=kx 的图象交于第三象限内的点A ，与y 轴交于B
（0，-4）且OA=AB ，△OAB 的面积为6. （1）求两函数的解析式； （2）若M （2，0），直线BM 与AO 交于P ，求P 点的坐标；
（3）在x 轴上是否存在一点E ，使S △ABE =5，若存在，求E 点的坐标；若不存在，请说明理
由。

一次函数压轴题（二）
1. 如图，直线l 交x 轴、y 轴分别于A 、B 两点，A （a ，0），B （0，b ），且（a －b ）2+｜b －4｜
＝0.
（1） 求A 、B 两点的坐标；
（2） C 是线段AB 上一点，C 点的横坐标为3，P 是y 轴正半轴上一点，且满足∠OCP ＝
45°，求出P 点坐标；
（3） 在（2）的条件下，过B 作BD ⊥OC ，交OC 、OA 分别于F 、D 两点，E 为OA 上一点，
且∠CEA ＝∠BDO ，试判断线段OD 与AE 的数量关系，并说明理由。

2. 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－1
2
x+b 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，直线y=x 交
AB 于点P ，且S △AOP ＝8
3
.
（1） 求直线AB 的解析式；
（2） 点M 为第三象限的直线OP 上一点，且∠BAO ＝∠MAO ，求点M 的坐标；
（3） 是否存在直线x=a 交x 轴于点C ，交OP 于D ，交AB 于E ，使得CD ＝2DE ？若存在，
求a 的值；若不存在，说明理由。

3. 如图，直线y ＝kx+3（k ≠0）交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点C 为线段AB 上一点，它的
纵坐标为1，点D 的坐标为（0，－2），且S △BCD ＝10. （1） 求直线AB 的解析式；
（2） 若在坐标系中有一点P ，使得∠PCD ＝45°，求直线CP 的解析式； （3） 线段BC 的中点为E ，判断△ADE 的形状，并证明.
4. 直线y=x+2与x 、y 轴交于A 、B 两点，C 为AB 的中点.
（1）求C 的坐标；
（2）如图，M 为x 轴正半轴上一点，N 为OB 上一点，若BN+OM=MN ，求∠NCM 的度数； （3）P 为过B 点的直线上一点，PD ⊥x 轴于D ，PD=PB ，E 为直线BP 上一点，F 为y 轴负半
轴上一点，且DE=DF ，试探究BF －BE 的值的情况.
一次函数压轴题（三）
1. 如图，直线AB ：y=-x-b 分别与x 、y 轴交于A （6，0）、B 两点，过点B 的直线交x 轴负半
轴于C ，且OB ：OC=3：1. （1）求直线BC 的解析式；
（2）直线EF ：y=kx-k （k ≠0）交AB 于E ，交BC 于点F ，交x 轴于D ，是否存在这样的直
线EF ，使得S △EBD =S △FBD ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由？
（3）如图，P 为A 点右侧x 轴上的一动点，以P 为直角顶点，BP 为腰在第一象限内作等腰
直角△BPQ ，连接QA 并延长交y 轴于点K ，当P 点运动时，K 点的位置是否发生变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。

2. 直线y=-2x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB
（1） 求AC 的解析式；
（2） 在OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关
系，并证明你的结论。

（3） 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM 的
值不变；②(MQ-AC)/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。

x
y
o B
A C
P
Q
x
y
o B
A C
P
Q
M
3. 如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。

(1) 当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式；
(2) 在(1)的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别
作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。

(3) 当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点
在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。

问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。

4. 如图，在平面直角坐标系中，A (a ，0)，B (0，b )，且a 、b 满足2(2)40a b -+-=.
（1） 求直线AB 的解析式；
（2） 若点M 为直线y =mx 上一点，且△ABM 是以AB 为底的等腰直角三角形，求m 值； （3） 过A 点的直线y=kx-2k 交y 轴于负半轴于P ，N 点的横坐标为-1，过N 点的直线
22
k k
y x =-交AP 于点M ，试证明PM －PN AM 的值为定值．
第2题图① 第2题图② 第2题图③
一次函数压轴题（四）
1. 如图l ，y =-x +6与坐标轴交于A 、B 两点，点C 在x 轴负半轴上，S △OBC =1
3
S △AOB ．
（1） 求直线BC 的解析式；
（2） 直线EF ：y =kx-k 交AB 于E 点，与x 轴交于D 点，交BC 的延长线于点F ，且S △BED =S
△FBD ，求k 的值；
（3） 如图2，M （2，4)，点P 为x 轴上一动点，AH ⊥PM ，垂足为H 点．取HG =HA ，连CG ，
当P 点运动时，∠CGM 大小是否变化，并给予证明．
2. 在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b 的图像过点B （－1，5
2
），与x 轴交于点A （4,0），
与y 轴交于点C ，与直线y=kx 交于点P ，且PO=PA （1） 求a+b 的值； （2） 求k 的值；
（3） D 为线段PC 上一点，DF ⊥x 轴于点F ，交OP 于点E ，若DE=2EF ，求D 点坐标.
3. 如图，在平面直角坐标系中，直线y =2x +2交y ，轴交于点A ，交x 轴于点B ，将A 绕B 点
逆时针旋转90°到点C ． （1） 求直线AC 的解析式；
（2） 若CD 两点关于直线AB 对称，求D 点坐标；
（3） 若AC 交x 轴于M 点P (－5
2
，m )为BC 上一点，在线段BM 上是否存在点N ，使PN 平
分△BCM 的面积？若存在，求N 点坐标；若不存在，说明理由．
4. 如图，直线AB 交x 轴正半轴于点A （a ，0），交y 轴正半轴于点B （0， b ），且a 、b 满
足4 a + |4－b |=0
（1） 求A 、B 两点的坐标；
（2） D 为OA 的中点，连接BD ，过点O 作OE ⊥BD 于F ，交AB 于E ，求证∠BDO =∠EDA ； （3） 如图，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt △PBM ，其中PB =PM ，直
线MA 交y 轴于点Q ，当点P 在x 轴上运动时，线段OQ 的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ 的取值范围.
A B
O D E
F
y x
A
B
O M
P
Q
x
y
一次函数压轴题（五）
1. 如图，平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 、y 轴上，点B 的坐标为(0，1)，∠BAO =30°．
(1) 求AB 的长度；
(2) 以AB 为一边作等边△ABE ，作OA 的垂直平分线MN 交AB 的垂线AD 于点D ．求证：
BD =OE ．
(3) 在（2）的条件下，连结DE 交AB 于F ．求证：F 为DE 的中点．
2. 如图，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0,2），点B 的坐标为（2,0），经过原点
的直线交线段AB 于点C ，过点C 作OC 的垂线与直线2=x 相交于点P ，设BC=t ，点P 的坐标为()y ，2
(1) 求点C 的坐标（用含t 的表达式表示）；
(2) 求y 关于t 的函数解析式，并写出t 的取值范围； (3) 当△PBC 为等腰三角形时，求点P 的坐标。

D
E
N
M
B O
x
y
A
D
E
B O
x
y
F A
Y X
P C
B
A
O
3. 在直角坐标系中，B 、A 分别在x ，y 轴上，B 的坐标为（3，0），∠ABO=30°，AC 平分∠OAB
交x 轴于C ； (1) 求C 的坐标；
(2) 若D 为AB 中点，∠EDF=60°，证明：CE+CF=OC
(3) 若D 为AB 上一点，以D 为顶点作△DEC ，使DC=DE ，∠EDC=120°，连BE ，试问∠EBC
的度数是否发生变化；若不变，请求值。

4. 如图1，在平面直角坐标系中，A （0，a ），C （-a ，a ），△ABO 是等边三角形，直线CB 交
x 轴于点D .
（1）求的度数； （2）求证：CB =BD ；
（3）如图2，作BE ⊥CD 交OA 于E ，试探究线段DO 、AE 、BO 之间的数量关系，并给出证明.
BDO ∠A
C B D
o
x y
图1 A C B D
o
x y 图2 E
一次函数压轴题（六）
1. 如图1，点A 、D 在y 轴正半轴上，点B 、C 分别在x 轴上，CD 平分∠ACB 与y 轴交于D
点，∠CAO ＝90°－∠BDO ． （1）求证：AC ＝BC ；
（2）如图2，点C 的坐标为（4，0），点E 为AC 上一点，且∠DEA ＝∠DBO ，求BC ＋EC 的
长；
（3）在（1）中，过D 作DF ⊥AC 于F 点，点H 为FC 上一动点，点G 为OC 上一动点，当
H 在FC 上移动、点G 点在OC 上移动时，始终满足∠GDH ＝∠GDO ＋∠FDH ，试判断FH 、GH 、OG 这三者之间的数量关系，并证明．
2. 已知与成正比例，当时，。

（1）求y 与x 的函数关系式。

（2）对于直线是否存在k 值使其与坐标轴围成三角形与（1）中函数图象
与坐标轴围成三角形全等，若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由。

（3）如图，设（1）中函数图象分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，并以线段AB 为边在第一
象限内作等边△ABC ，再分别过A 、B 作PA ⊥AC ，PB ⊥BC 交于点P ，现有一个含60°角的三角板的60°角顶点放在点P 处，当其绕点P 旋转过程中分别与线段AC 、BC 交
于点M 、N ，连MN ，在三角板旋转的过程中，等式
是否成立。

若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

图
1
图 2
图 3
4y -x 1x =-6y =4125
k
y kx -=+1AM BN
MN
+
=
3. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A （4，4）
（1）求B 点坐标；
（2）若C 为x 轴正半轴上一动点，以AC 为直角边作等腰直角△ACD ，∠ACD=90°连OD ，
求∠AOD 的度数；
（3）过点A 作y 轴的垂线交y 轴于E ，F 为x 轴负半轴上一点，G 在EF 的延长线上，以
EG 为直角边作等腰Rt △EGH ，过A 作x 轴垂线交EH 于点M ，连FM ，等式
=1是否成立？若成立，请证明：若不成立，说明理由.
4. 如图，在直角坐标系中，A 点的坐标为（0，a ），B 点的坐标为（b,0），且a 、b 满足。

（1）求证∠OAB ＝∠OBA ；
（2）点C 为OB 的延长线上一点，连结AC ，过B 作BD ⊥AC ，连结OD 。

求证：OD 平分∠
ADB ；
（3）点E 是点A 关于x 轴的对称点，点F 是点B 关于y 轴的对称点，P 为AF 的延长线上
一动点，G 为BA 的延长线上一点，连结PG ，且满足BG ＝PG ＋PF ，当P 在AF 的延长线上运动的过程中，∠PEG 的度数是否会发生变化，若不变，请求出它的度数；若改变，请说明理由。

OF
FM
AM
-
220a b -+
=
一次函数压轴题（七）
1. 在平面直角坐标系中，直线AB 与轴交于A ，与轴交于B ，BC ⊥AB 交轴于C .OA=OB=2。

（1）求C 点坐标.（3分）
（2）D 为OA 延长线上一动点，以BD 为直角边做等腰直角三角形BDE ，连结EA .求△ABE 的
面积.（5分）
（3）若M 为A 点左侧一点，且AM=AB ，F 为EA 与轴交点，P 为MB 延长线上一动点，PQ ⊥
轴于Q ，PH ⊥MF 于H ，交轴于N .下列两个结论中：①PQ=PB ；②MN =2PQ .只有一个是正确的，请选择正确的结论，并加以证明.（4分）
2. （2003•常州）如图，直线OC 、BC 的函数关系式分别为y=x 和y=﹣2x+6，动点P （x ，0）
在OB 上移动（0＜x ＜3），过点P 作直线l 与x 轴垂直． （1）求点C 的坐标；
（2）设△OBC 中位于直线l 左侧部分的面积为s ，写出s 与x 之间的函数关系式； （3）在直角坐标系中画出（2）中函数的图象； （4）当x 为何值时，直线l 平分△OBC 的面积？
xoy x y x y x
x
3. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线y 1=-2
3
x+2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B,直
线y 2=kx+b (k ≠0)经过点C(1,0)且与线段AB 交于点P,并把△ABO 分成两部分. (1)求△ABO 的面积.
(2)若△ABO 被直线CP 分成的两部分的面积相等,求点P 的坐标及直线CP 的函数表达式.
4. 如图,在平面直角坐标系中,已知直线PA 是一次函数y=x+m(m>0)的图象,直线PB 是一
次函数y=-3x+n （n>m ）的图象,点P 是两直线的交点,点A 、B 、C 、Q 分别是两条直线与坐标轴的交点。

（1）用、分别表示点A 、B 、P 的坐标及∠PAB 的度数；
（2）若四边形PQOB 的面积是11
2
，且CQ:AO=1:2，试求点P 的坐标，并求出直线PA 与PB
的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，是否存在一点D ，使以A 、B 、P 、D 为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。

xOy m n x
y
P
B O
C A
x
A O
B P
Q
C
一次函数压轴题（八）
1. 如图，在平面直角坐标系中，直线1l ： 4
y=x 3与直线2l :y=kx+b 相交于点A ，点A 的横坐标
为3，直线2l 交y 轴于点B ，且∣OA ∣=1
2
∣OB ∣。

（1）试求直线2l 的函数表达式；（6分）
（2）若将直线1l 沿着x 轴向左平移3个单位，交y 轴于点C ，交直线2l 于点D 。

试求⊿BCD
的面积。

（4分）
2. 在平面直角坐标系xoy 中，直线6y x =+与x 轴交于A ，与y 轴交于B ，BC ⊥AB 交x 轴于C . (1)求△ABC 的面积.
(2)D 为OA 延长线上一动点，以BD 为直角边做等腰直角三角形BDE ，连结EA .求直线EA 的
解析式.
(3)点E 是y 轴正半轴上一点，且∠OAE =30°，OF 平分∠OAE ，点M 是射线AF 上一动点，点
N 是线段AO 上一动点，是判断是否存在这样的点M 、N ，使得OM +NM 的值最小，若存在，请写出其最小值，并加以说明.
3. 如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1
l 的解析式为y=x+3，
（1）求直线2l 的解析式；（3分）
（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E,过点C 作CF ⊥3l 于F 分
别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF
（3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于
点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。

在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。

（6分）
4. 如图①，直线AB 与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点.
OA 、OB 的长度分别为a 和b ，且满足22a -2ab+b =0. ⑴判断△AOB 的形状.
⑵如图②，正比例函数y=kx(k<0)的图象与直线AB 交于点Q ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ
于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=9，BN=4，求MN 的长.
⑶如图③，E 为AB 上一动点，以AE 为斜边作等腰直角△ADE ，P 为BE 的中点，连结PD 、
PO ，试问：线段PD 、PO 是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明.
O
Q
N
M
y
B
A
O
P
y x
E
D
B
A
一次函数压轴题（九）
1. 如图1，平面直角坐标系中，已知A （6，6）、B （12，0）、M （3，0），∠MAN ＝45°。

（1）判断△AOB 的形状为 ； （2）求线段MN 的长；
（3）如图2，若C （－3，0），在y 轴的负半轴上是否存在一点P ，使∠NPO ＝2∠CPO 。

若
存在，求点P 的坐标，若不存在，请说明理由。

2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=67
x+7与x 轴，y 轴分别交与点A,C.点B 为x 轴
正半轴上一点，且△ＡＢＣ的面积为70。

（1） 求直线BC 的解析式。

（2） 动点P 从A 出发沿线段AB 向点B 以每秒2个单位的速度运动，同时点Q 从点C 出
发沿射线CO 以每秒1个单位的速度匀速运动，当点P 停止运动时点Q 也停止运动。

连接PO,PC,设△PBQ 的面积为S ，点P,Q 的运动时间为t(秒)，求S 与t 的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围。

（3） 在（2）的条件下，在直线BC 上是否存在点D ，连接DP,DQ.使得△DPQ 是以PQ 为直
角边的等腰直角三角形，若存在求出t 值，若不存在，说明理由。

x
3. 在平面直角坐标系中，直线y=x-4与x 轴，y 轴分别交于A ，D 两点，AB ⊥AD ，交y 轴于点
B 。

（1）求直线AB 的解析式。

（2）点P 为x 轴上一动点，PC ⊥PB ，交直线AD 于点C ，设 △PAC 的面积为S ，点P 的横
坐标为t ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围。

（3）在（2）的条件下，当S=2.5时，求t 的值。

4. 在平面直角坐标系中，正比例函数y=x 的图像上有一点P （点P 在第一象限），点A 为Ｙ轴
上的一动点，ＰＢ⊥ＰＡ，交Ｘ轴正半轴与点Ｂ，ＰＨ⊥Ｘ轴。

垂足为Ｈ。

（１），当点Ａ在Ｙ轴正半轴时，如图１，线段ＯＡ，ＯＢ，ＰＨ，之间的数量关系是
______________________。

（２）当点Ａ在Ｙ轴负半轴时，如图２，求证；ＯＢ－ＯＡ＝２ＰＨ．
（３）在（２）的条件下，连接ＡＢ，过点Ｐ作ＰＣ⊥ＡＢ于点Ｃ，交Ｘ轴于点Ｄ，当∠
ＯＢＰ＝３０°，ＢＤ＝８时，求线段ＯＡ的长。

X
X
一次函数压轴题（十）
5. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=-x+32与y 轴，x 轴分别交于点A ，B 两点，
（1）求直线AB 的长。

（2）点Ｐ是AB 上的一动点，点C 在x 轴的正半轴上，且PO=PC ，若PA ：PB=1：2，时求直
线PC 的解析式。

（3）在（2）的条件下，设AP=t ，△PBC 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出
自变量t 的取值范围。

6. 在平面直角坐标系中，A ，B ，C 三点的坐标分别是（0，4），（0,-4）,(2,0)点P 为射线AC
上的一动点，
（1） 求直线AC 的解析式
（2） 连接BP ，交直线OA 于点H ，当BP ⊥AC 时，求AH 的长。

（3） 是否存在点P ，使PA=PB ，若存在，求出P 点的坐标，请说明理由。

D
D
7. 在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，直线y=-3
4
+ 8，与y 轴交于点A ，与x 轴交于点
C ，此时AC=10，直线y=kx+b,经过点A ，且与x 轴相交于点B （16，0）。

（1） 求直线AB 的解析式。

（2） 点P 为x 轴正半轴上的一动点，当S ∆PAC =4
1
S ACB ∆时，求点P 的坐标。

（3） 是否存在一点Q ，使B ，C ，Q 组成的三角形与△ACB 全等，若存在，请直接写出Q 点
的坐标，若不存在，请说明理由。

8. 已知直线m 经过两点（1,6）、（-3，-2），它和x 轴、y 轴的交点为B 、A ，直线n 过点（2，
-2），且与y 轴交点的纵坐标是-3，它和x 轴、y 轴的交点是D 、C ； （1） 分别写出两条直线解析式，并画草图； （2） 计算四边形ABCD 的面积；
（3） 若直线AB 与DC 交于点E ，求△BCE 的面积。

一次函数压轴题（十一）
1. 如图，A 、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点，点P （2，p ）在第一象限，直线PA 交y
轴于点C （0,2），直线PB 交y 轴于点D ，△AOP 的面积为6； （1） 求△COP 的面积；
（2） 求点A 的坐标及p 的值；
（3） 若△BOP 与△DOP 的面积相等，求直线BD 的函数解析式。

2. 如图，直线的解析表达式为，且与轴交于点，直线经过点，直线
，交于点．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的解析表达式；
（3）求的面积；
（4）在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接．．
写
出点的坐标．
1l 33y x =-+1l x D 2l A B ，1l 2l C D 2l ADC △2l C P ADP △ADC △P l 1
l 2
x
y
D O
3
B C A
（4，0）
3. 在平面直角坐标系中，A （0，3），B （－1，0），C （1，0）
（1）如图1，D 点坐标为（－3，0），DE ⊥AC 于E ，交y 轴于F ，求F 点坐标； （2）如图2，G 为线段BC 上任意一点（不与B 、C 重合），过G 分别作AB 、AC 的垂线，垂
足分别为H 、T ，则GH+GT 的值为定值，请说明理由； （3）如图3，点P 为AC 上一动点（不与A 、C 重合），Q 在AB 的延长线上，且BQ ＝PC ，射
线PQ 交x 轴于M ，过P 作PN ⊥x 轴于N 。

以下结论：（1）MO 为定值；（2）MN 为定值，选择正确结论，并求出其值。

4. 已知：如图，直线ｙ＝－x ＋b 交x 轴于A （6，0），交y 轴于B ，点D 在线段OA 上，且
ABD S ∆＝12。

（1）求直线BD 的解析式；（3分）
（2）若过原点O 的直线EF 交BD 于E ，交AB 于F ，若DAFE 15
∆=ODE 四边形S S ，
求E 、F 两点坐标。

（4分）
（3）如图，以A 为顶点在AOB 的外部作等腰Rt ACQ ，使CA=CQ ；连结BQ ，点P 是BQ 的中
点，试判断∆POC 的形状，并证明你的结论。

（5分）
图1
图2
一次函数压轴题（十二）
1. 如图，已知：△ABC 是等腰直角三角形，直角顶点C 在x 轴上，一锐角顶点B 在y 轴上。

（1）如图①若点C 的坐标是（2，0），点A 的坐标为（-2，2），求AB 和BC 所在的直线解
析式；
（2）在（1）问的条件下，在图①中设边AB 交x 轴于点F ，边AC 交y 轴于点E ，连接EF 。

求证：∠CEB=∠∠AEF
（3）如图②所示：直角边BC 在两坐标轴上滑动，使点A 在第四象限内，过点A 作y 轴的
垂线，垂足为D ，在滑动的过程中，两个结论：①CO AD BO 为定值；②CO AD
BO
为定
值；其中只有一个结论是正确的，请判断出正确的结论加以证明并求出其定值。

2. 如图，直线AB 交x 轴负半轴于B （m ，0），交y 轴负半轴于A （0，m ），OC ⊥AB 于C （-2，
-2）。

（1）求m 的值；
（2）直线AD 交OC 于D ，交x 轴于E ，过B 作BF ⊥AD 于F,若OD=OE ，求AE
BF
的值；
（3）如图，P 为x 轴上B 点左侧任一点，以AP 为边作等腰直角△APM ，其中PA=PM ，直线
MB 交y 轴于Q ，当P 在x 轴上运动时，线段OQ 长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由。

3、如图，在平面直角坐标系中，A (4，0)，B (0，4)。

点N为OA上一点，OM⊥BN于M，且
∠ONB=45°+∠MON。

（1）求证：BN平分∠OBA；
（2）求OM+MN
BN
的值；
（3）若点P为第四象限内一动点，且∠APO=135°，问AP与BP是否存在某种确定的位置关系？请证明你的结论。

4、已知在Rt△ABC中，AC=BC，P是BC垂直平分线MN上一动点，直线AP交BC于E，过P点
后与AP关于MN成轴对称的直线交AB于D、交BC于F，连CD交PA于G。

（1）如图1，若点P移动到BC上时，E、F重合，若FD=a，CD=b，则AE= （用含a、b的式子表示）
（2）如图2，若点P移动到BC的上方时，其他条件不变，求证：CD⊥AE；
（3）如图3，若点P移动到△ABC的内部时，其他条件不变，线段AE、CD、DF之间是否存在确定的数量关系？请画出图形，并直接写出结论（不需证明）
一次函数压轴题（十三）
1. 如图，已知直线y=-x+8交y 轴于A ，交x 轴于B ，过B 作BD ⊥AB 交y 轴于D 。

（1）求直线BD 的解析式；
（2）若点C 是x 轴负半轴上一点，过C 作AC 的垂线与BD 交于点E ，请你判断线段AC 与
CE 的大小关系？并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若点G 为第二象限内任一点，连EG ，过A 作AF ⊥FG 于F ，连
CF ，当点C 在x 轴的负半轴上运动时，∠CFE 的度数是否发生变化？若不变，请求其度数；若变化，说明理由。

2. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A （4，4）。

（1）求B 点坐标；
（2）若C 为x 轴正半轴上一动点，以AC 为直角边作等腰直角△ACD ，∠ACD=90°，连
OD ，求∠AOD 的度数；
（3）过A 作y 轴的垂线交y 轴于E ，F 为x 轴负半轴上一点，G 在EF 的延长线上，以EG
为直角边作等腰Rt △EGH ，过A 作x 轴垂线交EH 于点M ，连FM ，等式
1=-OF
FM
AM 是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。

3.直线y=x+4分别与x轴、y轴交于B、A，C在第二象限，且C在AO的垂直平分线上，∠
ACO=45°，CO交AB于M。

（1）求证：∠AMO=∠AOM；
（2）求证：BC平分∠ABO的外角；
（3）AB向左平移过程中，∠ACB的度数是否为定值，请证明。

4.如图，直角坐标系中，A（3m+2，0）、B（0，m+6）分别是x轴负半轴、y轴正半轴上的点，
OA=OB，C为OB上一动点。

（1）求A、B两点坐标；
（2）过B点作BD⊥AC于D，若AC=2BD，求∠OAC的度数；
（3）过C点在第二象限内作CE⊥AC，且使CE=CA，连EB，当C点运动时，给出两个结论：
①∠BCE+∠BEC为定值；②∠BCE—∠BEC为定值，其中有且只有一个正确，请你选择
正确的结论，证明并求值。

一次函数压轴题（十四）
1. 如图1，已知A （m ，0），D （0，n ），且m 2+2m+1+3-n =0，点B 、E 分别为x 轴正半轴和y
轴负半轴上一点，△BOE ≌△DOA 。

（1）求直线AD 的解析式；
（2）过D 作DC ∥AB ，且DC=2，若直线y=1-1
x k
（k ≠0）将四边形ABCD 的面积分成两等分，
求k 的值； （3）如图2，以AB 为边作等边△ABP ，AP 交y 轴正半轴于G ，点M 为x 轴负半轴上一动点，
∠MGN=120°，GN 交PB 的延长线于N ，当点M 运动时，问：BM －BN 的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由。

2. 在平面直角坐标系中，A （0，a ），B （0，b ）满足02)(b 22=++-a ；
（1）求S △ABO ；
（2）C 在OB 上，BM ⊥AC 于M ，交y 轴于D ，CD ⊥CE 交y 轴于E ，求证：OE=OD.
3. 如图，直线y=3
1
x+1分别与坐标轴交于A 、B 两点，在y 轴的负半轴上截取OC=OB.
（1）求直线AC 的解析式；
（2）在x 轴上取一点D （-1，0），过点D 做AB 的垂线，垂足为E ，交AC 于点F ，交y 轴于
点G ，求F 点的坐标；
（3）过点B 作AC 的平行线BM ，过点O 作直线y=kx （k ＞0），分别交直线AC 、BM 于点H 、
I ，试求AB
BI
AH 的值。

全等三角形压轴题（一）
1. 如图，已知A （0，a ），B （b ，0），且a,b 满足(2a-1)2+｜b －1
2
｜＝0.
（1） 求△AOB 的面积；
（2） 如图，点C 在线段AB 上（A 、B 两点除外），AD ⊥AB ，且∠DOC ＝45°，求证：OD 平
分∠ADC ；
（3） 若C 是射线BA 上一动点（点C 为AB 的中点除外，且点C 不与A 点重合），连CO ，
将OC 绕C 顺时针方向旋转90°到CD ，连AD ，求∠CAD 的度数。

2. 如图，在平面直角坐标系中，AB ⊥x 轴于A ，OB 垂直且等于OC ，CD ⊥x 轴于D 。

（1） 若B 点坐标为（－1，－3），求直线OC 的解析式；
（2） 在（1）的条件下，在x 轴上有另一点Q ，使∠BQC ＝90°，求出点Q 的坐标。

（3） 若P 是y 轴正半轴上一点，且OP ＝AD ，结论：①∠APD －∠BPC 为定值；②∠APD+∠
BPC 为定值。

选择正确的结论并证明。

3. 已知△ABC ，分别以AB 、AC 为边作△ABD 和△ACE ，且AD=AB ；AC=AE ；∠DAB=∠CAE ，连接
DC 与BE ，G 、F 分别是DC 与BE 的中点.
（1）如图1，若∠DAB=60°，则∠AFG= 如图2，若∠DAB=90°，则∠AFG=
（2）如图3，若∠DAB=α，试探究∠AFG 与α的数量关系？并给予证明；
（3）如果∠ACB 为锐角，AB ≠AC ，∠BAC ≠90°，点M 在线段BC 上运动，连接AM ，以AM
为一边，以点A 为直角顶点，且在AM 的右侧作等腰直角△AMN ，连接NC ；试探究：若NC ⊥BC （点C 、M 重合除外），则∠ACB 等于多少度？画出相应图形，并说明理由.（画图不写作法）
4. 已知等腰Rt △ACB 中，∠ACB=90°,D 为线段BC 上一动点，AE=AD ，AE ⊥⊥AD ，连接BE 与
AC 交于P 点，其中n BC
BD
, （1）若n=1时，如图1，猜想PE BP = ；PC
AP
= ；
（2）若n=21时，如图2，则PE BP = ；PC
AP
= ；并证明你的结论.
（3）若D 点运动到CB 延长线上，且BE 与AC 的延长线交于P 点，如图3，其它条件不变，当
n= 时，PC
AP
=3；（不需证明）
全等三角形压轴题（二）
1. 已知等边△ABC 中AB 边上有一动点P ，E 是直线BC 上一点，且AO=CO ，∠
POE=120°,AP=n.PB
（1）若n=31时，如图1，观察并猜想OE OP = ；EC
BE
= ；
（2）若n=3时，如图2，求BC=4CE ； （3）当n= 时，则BC=5CE ；（直接写出结果，不需证明）
2. 已知△ABC 为等边三角形，P 、D 分别为直线AB 、BC 上的动点，连接PD 、PC ，且PD=PC 。

其中n PA
BP
（1）若n=1时，如图1，DB AP = ；DB BC
= ；
（2）若n=2时，如图2，求DB
BC
；
（3）当n= 时，如图3，DB
BC
=2；（直接写出结果，不需证明）
3. 如图，ON 为∠AOB 中的一条射线，点P 在边OA 上，PH ⊥OB 于H ，交ON 于点Q ，PM ∥OB 交
ON 于点M, MD ⊥OB 于点D ，QR ∥OB 交MD 于点R ，连结PR 交QM 于点S 。

（1）求证：四边形PQRM 为矩形；（5分）
（2）若OP
＝1
2
PR ，试探究∠AOB 与∠BON 的数量关系，并说明理由。

（5分）
4. 如图①,在Rt △ABC 中,已知∠A=90º,AB=AC,G 、F 分别是AB 、AC 上两点，且GF ∥BC ，AF=2，
BG=4.
(1)求梯形BCFG 的面积.
(2)有一梯形DEFG 与梯形BCFG 重合,固定△ABC,将梯形DEFG 向右运动,直到点D 与点C 重合为
止,如图②.
①若某时段运动后形成的四边形中,DG ⊥,求运动路程BD 的长,并求此时的值. ②设运动中BD 的长度为,试用含的代数式表示出梯形DEFG 与Rt △ABC 重合部分的面积.
G G BD 'G B '2
B G 'x x A
G F
B(D)
C(E)
图①
A
G
F
B D
C E
图②
备用图
全等三角形压轴题（三）
1.已知正方形ABCD。

（1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：BE＝GH；
（2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD、BC于点E、F，交AB、CD于点G、H，EF与GH相等吗？请写出你的结论；
（3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m、n，m与AD、BC的延长线分别交于点E、F，n与AB、DC的延长线分别交于点G、H，试就该图对你的结论加以证明。

2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD，∠BAD:∠C＝2:1，AE⊥BD于点E，F是CD的
中点，DG是梯形ABCD的高。

（1）填空：△DEG的形状是________；
（2）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（3）设AE＝x，四边形DEGF的面积为y，求y关于x的函数关系式。

3.（2008年大连）如图12，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A= 90°，CD= 3，AD= 4，tan B
= 2，过点C作CH⊥AB，垂足为H．点P为线段AD上一动点，直线PM∥AB，交BC、C H于点M、Q．以PM为斜边向右作等腰Rt△PMN，直线MN交直线AB于点E，直线PN交直线A B 于点F．设PD的长为x，EF的长为y．
⑴求PM的长(用x表示)；
⑵求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围(图13为备用图)；
⑶当点E在线段AH上时，求x的取值范围(图14为备用图)．
4.如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得
结论：①AF=DE，②AF⊥DE（不须证明）．
（1）如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论
①、②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）
（2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图④，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程．
如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=24cm，DC=10cm，点P和Q同时从D、B出发，P由D向C运动，速度为每秒1cm，点Q由B向A运动，速度为每秒3cm，试求几秒后，P、Q和梯形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？
四边形综合题（一）
1.矩形ABCD中，∠ACB=300，现将矩形ABCD绕着A点旋转角度α得矩形A’B’C’D’，
C’B’的延长线交直线BC于E，连接AE，
（1）如图 1，当α=600，∠AEC= ；
（2）如图2，当α=900，∠AEC= ；
（3）如图3，当00＜α＜1200，猜想∠AEC的度数，并证明你的结论；
（4）如图4，当1200＜α＜1800，（3）的结论还成立吗，若不成立，试探究∠AEC的度数，并写出你的结论，（不需要证明）。

2.已知：△ABC和△ADE分别是以AB、AE为底的等腰直角三角形，以CE、CB为边作CEHB，
连接DC、CH；
（1）如图1，当D点在AB上时，CH与CD之间有何数量关系？请说明理由；
（2）将图1中的△ADE绕A点逆时针旋转45º得图2，则CH与CD之间的数量关系
为；
（3）将图1中的△ADE绕A点顺时针旋转α（0º<α<45º）得图3，请探究CH与CD之间的数量关系，并给予证明．
3.已知∠PAQ与正方形ABCD共顶点A，且∠PAQ＝45° ，∠PAQ的两边所在直线分别与正方
形的边CD、CB所在直线相交于M、N，
⑴当∠PAQ在∠BAD内部时，（如图1），猜想线段DM、BN、MN之间的关系。

⑵当正方形的边AB在∠PAQ内部时，（如图2），（1）中的结论还成立吗？如果不成立，请你写
出正确的结论，并说明理由。

⑶当∠PAQ绕A点顺时针旋转角а，(45°＜а＜135°) （如图3），，写出线段DM、BN与MN
之间的关系。

（不须证明）
4.已知∠AOB=900，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它
的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：OD+OE=2OC．
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明．。