[试卷合集3套]上海市普陀区2021年八年级上学期数学期末适应性试题

八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一条直角边和45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（）
A．45°B．60°C．75°D．85°
【答案】C
【分析】根据三角板可得：∠2＝60°，∠5＝45°，然后根据三角形内角和定理可得∠2的度数，进而得到∠4的度数，再根据三角形内角与外角的关系可得∠1的度数．
【详解】解：由题意可得：∠2＝60°，∠5＝45°，
∵∠2＝60°，
∴∠3＝180°−90°−60°＝30°，
∴∠4＝30°，
∴∠1＝∠4＋∠5＝30°＋45°＝75°，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
2．关于函数y=2x，下列结论正确的是()
A．图象经过第一、三象限
B．图象经过第二、四象限
C．图象经过第一、二、三象限
D．图象经过第一、二、四象限
【答案】A
【分析】分别根据正比例函数的图象及性质进行解答即可．
【详解】解：A ．函数y=2x 中的k=2＞0，则其图象经过第一、三象限，故本选项符合题意；
B ．函数y=2x 中的k=2＞0，则其图象经过第一、三象限，故本选项不符合题意；
C ．函数y=2x 中的k=2＞0，则其图象经过第一、三象限，故本选项不符合题意；
D ．函数y=2x 中的k=2＞0，则其图象经过第一、三象限，故本选项不符合题意．
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是正比例函数的图象及性质，熟知正比例函数的图象及性质是解答此题的关键．
3．如图，是学校举行“爱国主义教育”比赛活动中获得前10名学生的参赛成绩，对于这些成绩，下列说法正确的是（ ）
A ．众数是90分
B ．中位数是95分
C ．平均数是95分
D ．方差是15
【答案】A 【解析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案．
【详解】A 、90分的人数最多，众数是90分，正确；
B 、中位数是90分，错误；
C 、平均数是852905952100912521⨯+⨯+⨯+=+++分，错误；
D 、()()()()22221859129091595912100911910⎡⎤-⨯+-⨯+-⨯+-=⎣
⎦分，错误； 故选：A ．
【点睛】
本题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、方差，关键是能从统计图中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数、方差．
4．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中轴对称图形是（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【详解】解：A 、不是轴对称图形；
B 、不是轴对称图形；
C 、不是轴对称图形；
D 、是轴对称图形；
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
5．如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别相交于,A B 两点，O 经过,A B 两点，已知22AB =，则,k b 的值分别是（ ）
A ．1-，2
B ．1-，2-
C ．1，2
D ．1，2-
【答案】A 【解析】由图形可知：△OAB 是等腰直角三角形，22AB =A ，B 两点坐标，利用待定系数法可求k 和b 的值．
【详解】由图形可知：△OAB 是等腰直角三角形，OA=OB ，
∵22AB =222OA OB AB +=，即(2
222
OA =， ∴OA=OB=2，
∴A 点坐标是(2，0)，B 点坐标是(0，2)，
∵一次函数y kx b =+的图象与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，
∴将A ，B 两点坐标代入y kx b =+， 得202k b b +=⎧⎨=⎩
解得：12k b =-=，，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了图形的分析运用和待定系数法求解析式，找出A ，B 两点的坐标是解题的关键． 6．已知小明从A 地到B 地，速度为4千米/小时，,A B 两地相距3千米，若用x （小时）表示行走的时间，y （千米）表示余下的路程，则y 与x 之间的函数表达式是（ ）
A ．4y x =
B ．43y x =-
C ．4y x =-
D ．34y x =-
【答案】D 【分析】根据路程=速度×时间，结合“剩下的路程=全路程-已行走”容易知道y 与x 的函数关系式．
【详解】∵剩下的路程=全路程-已行走，
∴y=3-4x ．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的应用，理清“路程、时间、速度”的关系是解答本题的关键．
7．点P （2018，2019）在第（ ）象限．
A ．一
B ．二
C ．三
D ．四 【答案】A
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：点P （2018，2019）在第一象限．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，
+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
8．若△ABC 三个角的大小满足条件∠A ：∠B ：∠C ＝1：1：3，则∠A ＝（ ）
A ．30°
B ．36°
C ．45°
D ．60°
【答案】B
【分析】根据三角形内角和为180º进行计算即可．
【详解】∵∠A ：∠B ：∠C ＝1：1：3且三角形内角和为180º，
∴∠A ＝1180365︒⨯=︒． 故选：B ．
【点睛】
考查了三角形的内角和定理，解题关键是熟记三角形内角和定理：三角形内角和为180º．
9．已知4(4)4
m n x x x x =+++，则m n ，的值为（ ） A ．11m n ==-，
B ．11m n =-=，
C ．11m n =-=-，
D ．11m n ==， 【答案】A
【分析】根据分式的加减运算法则即可求解． 【详解】∵4
m n x x ++=(4)(4)(4)m x nx x x x x ++++=4(4)mx m nx x x +++
∴()4m n x m ++=4
故m+n=0,4m=4
解得11m n ==-，
故选A ．
【点睛】
此题主要考查分式运算的应用，解题的关键是熟知分式的加减运算法则．
10．如图，ABC 中，90,30ACB A ∠=︒∠=︒，沿着图中的CD 折叠BCD ，点B 刚好落在边AC 上的点E 处，则CDE ∠的度数是（ ）
A ．65
B ．70
C ．75
D ．80
【答案】C 【分析】由折叠的性质可求得∠ACD=∠BCD ，∠BDC=∠CDE ，在△ACD 中，利用外角可求得∠BDC ，则可求得答案．
【详解】解：由折叠可得∠ACD=∠BCD ，∠BDC=∠CDE ，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=45°，
∵∠A=30°，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=30°+45°=75°，
∴∠CDE=75°．
故选C.
【点睛】
本题主要考查折叠的性质，掌握折叠前后图形的对应线段和对应角相等是解题的关键．
二、填空题
11．在坐标系xOy 中，已知点()3,1A 关于x 轴，y 轴的对称点分别为P ，Q ，若坐标轴上的点M 恰使MAP △，MAQ 均为等腰三角形，则满足条件的点M 有______个．
【答案】5
【分析】如图所示，利用两圆一线的方法，判断点M 的个数即可．
【详解】解：如图，分别以A ，Q 为圆心，以AQ 长度为半径画出两个较大的圆，此时x 轴上的点满足与A ，Q 组成等腰三角形有5个，y 轴上的点均可满足与A ，Q 组成等腰三角形，然后分别以A ，P 为圆心以AP 的
产生古为半径画出两个较小的圆，此时坐标轴上只有x轴上的点满足与A，P组成等腰三角形，因此点M 恰使MAP
△，MAQ均为等腰三角形共有5个．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，解答此题的关键是利用等腰三角形性质判断相关的点．
12．计算(31)(31)
+-的结果等于_____________．
【答案】1
【解析】根据平方差公式计算即可．
【详解】解：原式=3﹣1=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟记平方差公式是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝1．若P，Q分别是AD和AC 上的动点，则PC+PQ的最小值是_____．
【答案】24 5
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，
则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．【详解】∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，
∵S△ABC＝1
2
BC•AD＝
1
2
AC•BQ，
∴BQ＝BC AD
AC
⨯
＝
24
5
，
即PC+PQ的最小值是24
5
．
故答案为24
5
．
【点睛】
本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
14．
64
27
-的立方根是___________
【答案】
4 3 -
【解析】依据立方根的性质求解即可.
解：∵（-4
3
）3=-
64
27
，
∴-64
27
的立方根是-
4
3
.
故答案为-4 3
15．若正多边形的一个内角等于144，则这个多边形的边数是__________．
【答案】十
【分析】根据正多边形的每个内角相等，可得正多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式，可得答案．【详解】解：设正多边形是n边形，由题意得
（n−2）×180°＝144°×n．
解得n＝10，
故答案为十．
【点睛】
本题考查了多边形的内角，利用了正多边形的内角相等，多边形的内角和公式．
16．团队游客年龄的方差分别是S甲2＝1.4，S乙2＝18.8，S丙2＝2.5，导游小力最喜欢带游客年龄相近龄的团队，则他在甲、乙、丙三个的中应选_____．
【答案】甲
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
【详解】解：∵S甲2＝1.4，S乙2＝18.8，S丙2＝2.5，
∴S甲2＜S丙2＜S乙2，
∴他在甲、乙、丙三个的中应选甲，
故答案为：甲．
【点睛】
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
17．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是_______三角形．
【答案】等边
【分析】由于AB=AC，∠B=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，判断得出△ABC为等边三角形即可解决问题．
【详解】∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC为等边三角形，
故答案是：等边．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质：有一个60°的等腰三角形为等边三角形；三个角都相等，每一个角等于60°．
三、解答题
18．军运会前某项工程要求限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要误期4天，现两队合作3天后，余下的工程再由乙队独做，比限期提前一天完成．
（1）请问该工程限期是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为1000元，乙队每天的施工费用为800元，要使该项工程的总费用不超过7000元，乙队最多施工多少天？
【答案】（1）工程的限期是6天；（2）乙队最多施工2天
【分析】（1）设工程的限期是x天，则甲队独做x天完成任务，则乙队独做需（x+4）天完成任务，根据甲干3天的工作量+乙干（x-1）天的工作量=1列出方程，解方程即可．
（2）可由甲乙两队的工作量之和为1及总费用不超过1元两个关系进行分析．
【详解】解：（1）设工程的限期是x 天，由题意得； 3114-+=+x x x 解得：x=6，
经检验：x=6是分式方程的解，
答：工程的限期是6天．
（2）设甲工程队施工a 天，乙工程队施工b 天时，总的施工费用不超过1元．
根据题意得：1610+=a b ，解得：365
=-a b 1000a+800b ≤1．
31000680070005⎛⎫-+ ⎪⎝
⎭b b 解得b ≤2．
答：要使该项工程的总费用不超过1元，乙队最多施工2天．
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，此题所用的公式是：工作量=工作效率×工作时间．
19．如图，在△ABC 中，AE 为∠BAC 的角平分线，点D 为BC 的中点，DE ⊥BC 交AE 于点E ，EG ⊥AC 于点G ．
（1）求证： AB+AC=2AG ．
（2）若BC=8cm ，AG=5cm ，求△ABC 的周长．
【答案】（1）见解析；（2）18cm
【分析】(1)连接BE 、EC,只要证明Rt △BFE ≌Rt △CGE ，得BF=CG,再证明Rt △AFE ≌Rt △AGE 得：AF=AG ，根据线段和差定义即可解决.
（2由AG=5cm 可得AB+AC=10cm 即可得出△ABC 的周长.
【详解】(1)延长AB 至点M ，过点E 作EF ⊥BM 于点F
∵AE 平分∠BAC
EG ⊥AC 于点G
∴EG=EF,∠EFB=∠EGC=90°
连接BE ，EC
∵点D 是BC 的中点，DE ⊥BC
∴BE=EC
在Rt △BFE 与Rt △CGE 中
BE EC EF EG =⎧⎨=⎩
∴Rt △BFE ≌Rt △CGE （HL ）
∴BF=GC
∵AB+AC=AB+AG+GC
∴AB+AC =AB+BF+AG
=AF+AG
在Rt △AFE 与Rt △AGE 中
AE AE EF EG =⎧⎨=⎩
∴Rt △AFE ≌Rt △AGE(HL ）
∴AF=AG
∴AB+AC=2AG
(2)∵AG=5cm, AB+AC=2AG
∴AB+AC=10cm
又∵BC=8cm
∴△ABC 的周长为AB+AC+BC=8+10=18cm ．
【点睛】
本题考查角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，需要熟练掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型.
20．先化简，再求值：2211()3369
x x x x x x --÷---+，其中x 满足240x +=． 【答案】31
x x -+，1． 【分析】原式括号中利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出已知方程的解得到x 的值，代入计算即可求出值．
【详解】原式=21(3)3(1)(1)x x x x x --⨯-+-=31x x -+， 由2x+4=0，得到x=﹣2，则原式=1．
21．如图，E 、F 分别是等边三角形ABC 的边AB 、AC 上的点，且BE AF =，CE 、BF 交于点P .
（1）求证：CE BF =；
（2）求BPC ∠的度数.
【答案】（1）见解析；（2）120BPC ∠=︒
【分析】（1）欲证明CE=BF ，只需证得△BCE ≌△ABF ，即可得到答案；
（2）利用（1）中的全等三角形的性质得到∠BCE=∠ABF ，则由图示知
∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，根据三角形内角和定理求得∠BPC.
【详解】（1）证明：如图，
ABC ∆是等边三角形，
BC AB ∴=，60A EBC ∠=∠=︒，
在BCE ∆和ABF ∆中
BC AB EBC A BE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()BCE ABF SAS ∆≅∆，
CE BF ∴=.
（2）由（1）知BCE ABF ∆≅∆，
BCE ABF ∴∠=∠，
∴60PBC PCB PBC ABF ABC ∠+∠=∠+∠=∠=︒，
即60PBC PCB ∠+∠=︒，
18060120BPC ∴∠=︒-︒=︒，
即：120BPC ∠=︒.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
22．计算：
（1）9a 5b 4÷3a 2b 4﹣a•（﹣5a 2）
（2）（x ﹣2y ）（x+2y ﹣1）+4y 2
【答案】（1）8a 3；（2）x 2﹣x+2y
【分析】（1）原式利用单项式除以单项式法则计算，合并即可得到结果；
（2）原式利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．
【详解】解：（1）9a 5b 4÷3a 2b 4﹣a•（﹣5a 2）
＝3a 3+5a 3
＝8a 3；
（2）原式＝（x ﹣2y ）（x+2y ）﹣x+2y+4y 2
＝x 2﹣4y 2﹣x+2y+4y 2
＝x 2﹣x+2y ．
【点睛】
本题考查了单项式除以单项式的运算法则和多项式乘以多项式的运算法则．
23．如图1，把一张长方形的纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在E 处，BE 交AD 于点F.
（1）求证：FB=FD;
（2）如图2，连接AE，求证：AE∥BD;
（3）如图3，延长BA，DE相交于点G，连接GF并延长交BD于点H，求证：GH垂直平分BD．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】试题分析：(1)根据矩形的性质和折叠的性质可得：AB＝DC=DE，∠BAD＝∠BCD＝∠BED=90°，根据AAS可证△ABF≌△EDF，根据全等三角形的性质可证BF=DF；
(2)根据全等三角形的性质可证：FA=FE，根据等边对等角可得：∠FAE=∠FEA，根据三角形内角和定理可证：2∠AEF ＋∠AFE =2∠FBD＋∠BFD =180°，所以可证∠AEF=∠FBD，根据内错角相等，两直线平行可证
AE∥BD；
(3)根据矩形的性质可证：AD=BC=BE，AB=CD=DE，BD=DB，根据SSS可证：△ABD≌△EDB，根据全等三角形的性质可证：∠ABD=∠EDB，根据等角对等边可证：GB=GD，根据HL可证：△AFG≌△EFG，根据全等三角形的性质可证：∠AGF=∠EGF，所以GH垂直平分BD.
试题解析：（1）∵长方形ABCD，
∴AB＝DC=DE，∠BAD＝∠BCD＝∠BED=90°，
在△ABF和△DEF中，{
BAD BED AFB EFD AB DE
∠=∠
∠=∠
=
∴△ABF≌△EDF（AAS），
∴BF=DF.
（2）∵△ABF≌△EDF，
∴FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
又∵∠AFE=∠BFD，且2∠AEF ＋∠AFE =2∠FBD＋∠BFD =180°，∴∠AEF=∠FBD，
∴AE∥BD，
（3）∵长方形ABCD，
∴AD=BC=BE，AB=CD=DE，BD=DB，
∴△ABD≌△EDB（SSS），
∴∠ABD=∠EDB，
∴GB=GD，
在△AFG和△EFG中，
∠GAF＝∠GEF=90°，
FA=FE，
FG＝FG，
∴△AFG≌△EFG（HL），
∴∠AGF=∠EGF，
∴GH垂直平分BD.
【方法II】
（1）∵△BCD≌△BED，
∴∠DBC＝∠EBD
又∵长方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠ADB，
∴FB=FD.
（2）∵长方形ABCD，
∴AD=BC=BE，
又∵FB=FD，
∴FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
又∵∠AFE=∠BFD，且2∠AEF ＋∠AFE =2∠FBD＋∠BFD =180°，∴∠AEF=∠FBD，
∴AE∥BD，
（3）∵长方形ABCD，
∴AD=BC=BE，AB=CD=DE，BD=DB，
∴△ABD≌△EDB，
∴∠ABD=∠EDB，
∴GB=GD，
又∵FB=FD，
∴GF是BD的垂直平分线，
即GH垂直平分BD.
考点：1.折叠的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.平行线的性质与判定；4.矩形的性质.
24．利用乘法公式计算：
(1)(3x -y)2- (3x+2y)(3x-2y) (2)20162-2015×2017
【答案】（1）2
56y xy -；（2）1
【分析】（1）利用完全平方公式展开第一项，再利用平方差公式计算第二项，然后去括号，合并同类项即可；
（2）将原式变形后，利用平方差公式即可．
【详解】解：（1）原式2222296(94)56x xy y x y y xy =-+--=-；
（2）原式2222016(20161)(20161)2016(20161)1=--+=--=．
【点睛】
本题考查的知识点是完全平方公式以及平方差公式，熟记公式内容以及公式的常用变形是解此题的关键． 25．如图1，在平面直角坐标系中，点A （a ，1）点B （b ，1）为x 轴上两点，点C 在Y 轴的正半轴上，且a ，b 满足等式a 2+2ab+b 2=1．
（1）判断△ABC 的形状并说明理由；
（2）如图2，M ，N 是OC 上的点，且∠CAM=∠MAN=∠NAB ，延长BN 交AC 于P ，连接PM ，判断PM 与AN 的位置关系，并证明你的结论．
（3）如图3，若点D 为线段BC 上的动点（不与B ，C 重合），过点D 作DE ⊥AB 于E ，点G 为线段DE 上一点，且∠BGE=∠ACB ，F 为AD 的中点，连接CF ，FG ．求证：CF ⊥FG ．
【答案】（1）△ABC 是等腰三角形；（2）PM ∥AN ，证明见解析；（3）见解析
【分析】（1）由题意可得a=-b ，即OA=OB ，根据线段垂直平分线的性质可得AC=BC ，即△ABC 是等腰三角形；
（2）延长AN 交BC 于点E ，连接PM ，过点M 作MH ⊥AE ，MD ⊥BP ，MG ⊥AC ，根据等腰三角形的性质可得∠NAB=∠NBA ，∠ANO=∠BNO ，可得∠PNC=∠CNE ，根据角平分线的性质可得PM 平分∠CPB ，根据三角形的外角的性质可得∠CPM=∠CAN=2∠NAB ，即可得PM ∥AN ；
（3）延长GF 至点M ，使FM=FG ，连接CG ，CM ，AM ，由题意可证△AMF ≌△DGF ，可得AM=DG ，由角的数量关系可得∠BCO=∠BDG=∠DBG ，即DG=BG ，根据“SAS ”可证△AMC ≌△BGC ，可得CM=CG ，根据
等腰三角形性质可得CF⊥FG．
【详解】解：（1）∵a2+2ab+b2=1，
∴（a+b）2=1，
∴a=-b，
∴OA=OB，且AB⊥OC，
∴OC是AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴△ACB是等腰三角形
（2）PM∥AN，
理由如下：
如图，延长AN交BC于点E，连接PM，过点M作MH⊥AE，MD⊥BP，MG⊥AC，
∵OC是AB的垂直平分线，
∴AN=NB，CO⊥AB
∴∠NAB=∠NBA，∠ANO=∠BNO
∴∠PNC=∠CNE，且MH⊥AE，MD⊥BP，
∴MD=MH，
∵∠CAM=∠MAN=∠NAB，
∴AM平分∠CAE，且MG⊥AC，MH⊥AE
∴MG=MH
∴MG=MD，且MG⊥AC，MD⊥BP，
∴PM平分∠BPC
∵∠CAM=∠MAN=∠NAB，∠PNA=∠NAB+∠NBA
∴∠CAN=2∠NAB=∠PNA，
∵∠CPB=∠CAN+∠PNA
∴∠CPB=4∠NAB
∵PM平分∠BAC
∴∠CPM=2∠NAB
∴∠CPM=∠CAN
∴PM∥AN
（3）如图，延长GF至点M，使FM=FG，连接CG，CM，AM，
∵MF=FG，∠AFM=∠DFG，AF=DF，
∴△AMF≌△DGF（SAS）
∴AM=DG，∠MAD=∠ADG，
∵DE⊥AB，CO⊥AB
∴DE∥CO
∴∠BCO=∠BDE
∵∠ACB=∠BGE，∠BGE=∠BDE+∠DBG=∠BCO+∠DBG，∠ACB=2∠BCO，
∴∠BCO=∠BDG=∠DBG
∴DG=BG，
∴AM=BG
∵∠CAM=∠MAD-∠CAD=∠ADG-∠CAD=∠ADB-∠BDE-∠CAD=∠ADB-∠OCB-∠CAD=∠OCB
∴∠CAM=∠CBG，且AC=BC，AM=BG
∴△AMC≌△BGC（SAS）
∴CM=CG，且MF=FG
∴CF⊥FG
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键，属于中考压轴题．
八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．下列条件中能作出唯一三角形的是( )
A．AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝5cm
B．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝4cm
C．∠A＝∠B＝∠C＝60°
D．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°
【答案】A
【解析】看是否符合所学的全等的公理或定理及三角形三边关系即可．
【详解】A.符合全等三角形的SSS，能作出唯一三角形，故该选项符合题意，
B.AB+AC=BC，不符合三角形三边之间的关系，不能作出三角形；故该选项不符合题意，
C.属于全等三角形判定中的AAA的情况，不能作出唯一三角形；故该选项不符合题意，
D.属于全等三角形判定中的AAA的情况，不能作出唯一三角形；故该选项不符合题意，
故选A.
【点睛】
此题主要考查由已知条件作三角形，应用了全等三角形的判定和三角形三边之间的关系．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.
2．某教师招聘考试分笔试和面试两个环节进行，其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数作为最终的总成绩．吴老师笔试成绩为90分，面试成绩为85分，那么吴老师的总成绩为（）
A．85分B．86分C．87分D．88分
【答案】D
【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可得解.
⨯+⨯=分，
【详解】依题意得：9060%8540%88
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数得解法是解决本题的关键.
A向左平移2个单位长度得到点'A，则点'A的坐标是（）
3．将点(4,2)
A．(6,2)B．(4,0)C．(2,2)D．(4,4)
【答案】C
【分析】让点A的横坐标减2，纵坐标不变，可得A′的坐标．
【详解】解：将点A（4，2）向左平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是（4−2，2），
即（2，2），
故选：C．
【点睛】
本题考查坐标的平移变化，用到的知识点为：左右平移只改变点的横坐标，左减右加．
4．如果()212a -=2a －1，那么 （ ） A ．a<12 B ．a≤12 C ．a>12 D ．a≥12
【答案】D
【解析】∵()212a -=2a －1，
∴120a -≤，
解得12
a ≥
. 故选D.
5．若()()23x x m -+计算的结果中不含关于字母x 的一次项，则m 的值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 【答案】C
【分析】根据题意，先将代数式()()23x x m -+通过多项式乘以多项式的方法展开，再将关于x 的二次项、一次项及常数项分别合并，然后根据不含字母x 的一次项的条件列出关于x 的方程即可解得．
【详解】()()23x x m -+ 2662x mx x m =+--
()2662x m x m =+--
∵计算的结果中不含关于字母x 的一次项
∴60m -=
∴6m =
故选：C
【点睛】
本题考查的知识点是多项式乘以多项式的方法，掌握多项式乘法法则，能根据不含一次项的条件列出方程是关键，在去括号时要特别注意符号的准确性．
6．如图，在矩形ABCD 中对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为点E ，AE=8，AC=20，则OE 的长为( )
A．43B．4 C．6 D．8 【答案】C
【分析】先求AO的长，再根据勾股定理计算即可求出答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO
1
2
=AC=10，
∴OE2210064
AO AE
=-=-=1．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了矩形的性质及勾股定理，正确的理解勾股定理是解决问题的关键.
7．将长度为5 cm的线段向上平移10 cm所得线段长度是( )
A．10cm B．5cm C．0cm D．无法确定
【答案】B
【详解】解：平移不改变图形的大小和形状．故线段长度不变，仍为5cm．
故选：B．
8．△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝a，下列数轴中表示的a的取值范围，正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先根据三角形的三边关系确定a的取值范围，然后在数轴上表示即可．
【详解】解：∵△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝a，
∴1＜a＜5，
∴A符合，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了三角形三边关系的知识点，准确判断出第三边的取值范围，然后在数轴上进行表示，注意在数轴上表示的点为空心即可．
9．若关于x的不等式组
722
x m
x
-<
⎧
⎨
-≤
⎩
的整数解共有3个，则m的取值范围是（）
A．5＜m＜6 B．5＜m≤6C．5≤m≤6D．6＜m≤7
【答案】B
【分析】分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解有3个，即可得到m的范围．
【详解】解不等式x ﹣m ＜0，得：x ＜m ， 解不等式7﹣2x≤2，得：x≥52
， 因为不等式组有解， 所以不等式组的解集为
5
2
≤x ＜m ， 因为不等式组的整数解有3个， 所以不等式组的整数解为3、4、5， 所以5＜m≤1． 故选：B ． 【点睛】
此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集，根据题意找出整数解是解本题的关键． 10．点P （﹣1，2）关于x 轴对称点的坐标为（ ）
A ．（1，﹣2）
B ．（﹣1，2）
C ．（1，2）
D ．（﹣1，﹣2） 【答案】D
【解析】根据关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案． 【详解】点P （﹣1，2）关于x 轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2）， 故选D ． 【点睛】
此题主要考查了关于x 轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 二、填空题
11．分解因式2242xy xy x ++=___________
【答案】22(1)x y +
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】原式＝2x （y 2＋2y ＋1）＝2x （y ＋1）2， 故答案为2x （y ＋1）2 【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12．如图，在ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，交AB 于点E ．若
33DBC ∠=︒，A ∠的度数为________．
【答案】38°
【分析】设∠A的度数为x，根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA，用x表示出∠ABC、∠C的度数，根据三角形内角和定理列式计算即可．
【详解】解：设∠A的度数为x，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴DB=DA，
∴∠DBA=∠A=x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=33°+x，
∴33°+x+33°+x+x=180°，
解得x=38°．
故答案为：38°．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13．已知一次函数y=（-1-a2）x+1的图象过点（x1，2），（x2-1），则x1与x2的大小关系为______．
【答案】x1＜x1
【解析】由k=-1-a1,可得y随着x的增大而减小，由于1＞-1，所以x1＜x1.
【详解】∵y=（-1-a1）x+1，k=-1-a1＜0，
∴y随着x的增大而减小，
∵1＞-1，
∴x1＜x1．
故答案为：x1＜x1
【点睛】
本题考查的是一次函数，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键.
14．如图，直线y＝2x﹣1分别交x，y轴于点A，B，点C在x轴的正半轴，且∠ABC＝45°，则直线BC的函数表达式是_____．
【答案】y＝1
3
x﹣1
【分析】过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，判定△ABO≌△FAE（AAS），即可得出OB， OA
得到点F 坐标，从而得到直线BC 的函数表达式．
【详解】解：∵一次函数y ＝2x ﹣1的图象分别交x 、y 轴于点A 、B ， ∴令x ＝0，得y ＝﹣1；令y ＝0，则x ＝
12
， ∴A （
1
2，0），B （0，﹣1）， ∴OA ＝1
2
，OB ＝1，
如图，过A 作AF ⊥AB 交BC 于F ，过F 作FE ⊥x 轴于E ， ∵∠ABC ＝45°，
∴△ABF 是等腰直角三角形， ∴AB ＝AF ，
∵∠OAB+∠ABO ＝∠OAB+∠EAF ＝90°， ∴∠ABO ＝∠EAF ， ∴△ABO ≌△FAE （AAS ）， ∴AE ＝OB ＝1，EF ＝OA ＝1
2
， ∴F （
32，﹣12
）， 设直线BC 的函数表达式为：y ＝kx+b ，则
312
21k b b ⎧+=-⎪
⎨⎪=-⎩， 解得131
k b ⎧
=⎪⎨⎪=-⎩，
∴直线BC 的函数表达式为：y ＝1
3
x ﹣1， 故答案为：y ＝
1
3
x ﹣1．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，解题关键是正确的作出辅助线构造全等三角形．
15．已知2249x mxy y -+是完全平方式，则m 的值为_________．
【答案】12±
【分析】根据完全平方公式：()2
222a b a ab b ±=±+，即可求出m 的值 【详解】解：∵2
2
49x mxy y -+是完全平方式，
∴()()()()()2
2
2
2
2
224923232123x mxy y x mxy y x y x xy y -+-=+±±+== ∴12m =± 故答案为：12± 【点睛】
此题考查的是根据完全平方式，求一次项中的参数，掌握两个完全平方公式的特征是解决此题的关键． 16．当x ＝2+3时，x 2﹣4x+2020＝_____． 【答案】1．
【分析】将x 2﹣4x+2020进行配方，化为（x ﹣2）2+2016，然后根据x ＝2+3，即可求解. 【详解】由已知得：x ﹣2＝3， ∴x 2﹣4x+2020＝（x ﹣2）2+2016 ＝3+2016＝1． 故答案为1． 【点睛】
本题考查因式分解，学会利用配方法分解因式是本题的关键.
17．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．点O 是AB 的中点，边AC ＝6，将边长足够大的三角板的直角顶点放在点O 处，将三角板绕点0旋转，始终保持三角板的直角边与AC 相交，交点为点E ，另条直角边与BC 相交，交点为D ，则等腰直角三角板的直角边被三角板覆盖部分的两条线段CD 与CE 的长度之和为_____．
【答案】1．
【分析】连接OC ，证明△OCD ≌△OBE ，根据全等三角形的性质得到CD=BE 即可解决问题； 【详解】连接OC ．
∵AC ＝BC ，AO ＝BO ，∠ACB ＝90°， ∴∠ACO ＝∠BCO ＝1
2
∠ACB ＝45°，OC ⊥AB ，∠A ＝∠B ＝45°， ∴OC ＝OB ，
∵∠BOD+∠EOD+∠AOE ＝180°，∠EOD ＝90°， ∴∠BOD+∠AOE ＝90°， 又∵∠COE+∠AOE ＝90°， ∴∠BOD ＝∠COE ， 在△OCE 和△OBD 中，
0CE B OC 0B
COE BODD ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△OCE ≌△OBD （ASA ）， ∴CE ＝BD ，
∴CE+CD ＝BD+CD ＝BC ═AC ＝1． 故答案为：1．
点睛】本题考查旋转变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 三、解答题 18．分解因式：
(1)22369xy x y y --； (2)4161x - 【答案】（1）2
(3)y x y --；（2）2
(41)(21)(21)x x x ++-. 【分析】（1）先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可； （2）直接利用平方差公式分解因式，即可得到答案. 【详解】解：（1）2
2
3
69xy x y y --
22(96)y x xy y =--+
2(3)y x y =--；
（2）4161x -
22(4)1x =- 22(41)(41)x x =+-
2(41)(21)(21)x x x =++-.
【点睛】
本题考查了分解因式，灵活运用提公因式法和公式法进行分解因式是解题的关键.
19．如图，四边形ABCD 中，AD BC =，ABC ADC ∠=∠，BAD DCB ∠=∠，E 是四边形ABCD 内一点，F 是四边形ABCD 外一点，且//AF BE ，//DF CE ，
（1）求证：//AD BC ； （2）求证：AF BE =．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）证明180ABC BAD ∠+∠=︒即可得到结论； （2）证明ECB FDA ∆≅∆即可． 【详解】（1）延长FA 、CB 交于点G ．
360ABC ADC BAD DCB ∠+∠+∠+∠=︒
ABC ADC ∠=∠，BAD DCB ∠=∠，
180ABC BAD ∴∠+∠=︒ //AD BC ∴．
（2）
//AD BC ，
FAD G ∴∠=∠；
//AF BE ， G EBC ∴∠=∠，
F EBC ∴∠=∠，
同理可得：FDA ECB ∠=∠． 又
AD BC =，
ECB FDA ∴∆≅∆()ASA ，
AF BE ∴=．
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定以及全等三角形的判定与性质，灵活作出辅助线是解题的关键．
20．某社区准备五一组织社区内老年人去到县参加采摘节，现有甲、乙两家旅行社表示对老年人优惠，甲旅行社的优惠方式为：在原来每人100元的基础上，每人按照原价的60%收取费用;乙旅行社的优惠方式为：在收取一个600元固定团费的基础上，再额外收取每人40元.设参加采摘节的老年人有x 人，甲、乙两家旅行社实际收费为1y 元、2y 元. （Ⅰ）根据题意，填写下表：
（Ⅱ）求1y 、2y 关于x 的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）？ （Ⅲ）如果50x >，选择哪家旅行社合算？
【答案】（Ⅰ）甲旅行社：600，1200；乙旅行社：1000，1400；（Ⅱ）160y x =；240600y x =+；（Ⅲ）当50x >时，选择乙旅行社比较合算.
【解析】（Ⅰ）根据甲、乙两旅行社的优惠方法填表即可；
（Ⅱ）根据甲、乙两旅行社的优惠方法，找出甲旅行社收费y 1，乙旅行社收费y 2与旅游人数x 的函数关系式；
（Ⅲ）当x 50>时，根据（Ⅱ）的解析式，求出1y 与2y 的差，根据一次函数的增减性得出哪家旅行社合算．
【详解】解：（Ⅰ）
（Ⅱ）110060%60y x =⨯=；240600y x =+； （Ⅲ）设1y 与2y 的差为y 元.
则6040600y x x =-+（），即20600y x =-，。