安徽省宣城市2019-2020学年高考第四次适应性考试数学试题含解析

安徽省宣城市2019-2020学年高考第四次适应性考试数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足(2)(1)z i i =+-（i 是虚数单位），则||z =（ ）
A B ．
C D 【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数乘法运算化简z ，由此求得z . 【详解】
依题意2223z i i i i =+--=-，所以z ==故选：B 【点睛】
本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题. 2．若复数5
2z i
=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2i + B ．2i -
C ．12i +
D ．12i -
【答案】B 【解析】 【分析】
根据复数的除法法则计算z ，由共轭复数的概念写出z . 【详解】
55(2)10522(2)(2)5
i i z i i i i ++=
===+--+Q , ∴2z i =-,
故选：B 【点睛】
本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题.
3．已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A ．若,m n αβ⊂⊂，且αβ⊥，则 m n ⊥
B ．若,m n αα⊂⊂，且//,//m n ββ，则//αβ
C ．若,//m n αβ⊥，且αβ⊥，则 m n ⊥
D ．若,//m n αβ⊥，且//αβ，则m n ⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】
利用线面平行和垂直的判定定理和性质定理,对选项做出判断，举出反例排除. 【详解】
解：对于A ，当,m n αβ⊂⊂，且αβ⊥，则m 与n 的位置关系不定，故错； 对于B ，当//m n 时，不能判定//αβ，故错；
对于C ，若,//m n αβ⊥，且αβ⊥，则m 与n 的位置关系不定，故错； 对于D ，由,//m βαα⊥可得m β⊥，又//n β，则m n ⊥故正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查空间线面位置关系.判断线面位置位置关系利用好线面平行和垂直的判定定理和性质定理. 一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．
4．已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．3a ≤-
C ．1a ≥-
D ．1a ≥
【答案】D 【解析】 【分析】
“p ⌝是q ⌝的充分不必要条件”等价于“q 是p 的充分不必要条件”，即q 中变量取值的集合是p 中变量取值集合的真子集. 【详解】
由题意知：:|1|2p x +>可化简为{|31}x x x <->或，:q x a >， 所以q 中变量取值的集合是p 中变量取值集合的真子集，所以1a ≥. 【点睛】
利用原命题与其逆否命题的等价性，对p ⌝是q ⌝的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解. 5．已知边长为4的菱形ABCD ，60DAB ∠=︒，M 为CD 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若
AN NM =，则AM AN ⋅=u u u u r u u u r
（ ）
A ．16
B ．14
C ．12
D ．8
【答案】B 【解析】 【分析】
取AM 中点O ，可确定0AM ON ⋅=u u u u r u u u r ；根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得2
AM uuuu r ，利用
()
AM AN AM AO ON ⋅=⋅+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r
可求得结果.
【详解】
取AM 中点O ，连接ON ，
AN NM =Q ，ON AM ∴⊥，即0AM ON ⋅=u u u u r u u u r
.
60DAB ∠=o Q ，120ADM ∴∠=o ，
()
2
2222cos 416828AM DM DA
DM DA DM DA ADM ∴=-=+-⋅∠=++=u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r
，
则()
2
1142
AM AN AM AO ON AM AO AM ON AM ⋅=⋅+=⋅+⋅==u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r .
故选：B . 【点睛】
本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量的线性运算，关键是能够将所求向量进行拆解，进而利用平面向量数量积的运算性质进行求解. 6．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －
）}，则M∩N 为（ ）
A ．（1，＋∞）
B ．（1，2）
C ．[2，＋∞）
D ．[1，＋∞）
【答案】B 【解析】
，
，
∴．
故选．
7．已知12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 且
斜率为
3
4
的直线上，PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，则C 的渐近线方程为（ ） A ．12
y x =±
B ．2y x =±
C ．33
y x =±
D ．3y x =±
【答案】D 【解析】 【分析】
根据PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒可求出点P 的坐标，又由1PF 的斜率为3
可得出,a c 关系，即可求出渐近线斜率得解. 【详解】 如图，
因为PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒， 所以||||2PB AB a ==，60PBM ∠=︒,
||cos602,||sin603P P x PB a a y PB a ∴=⋅︒+==⋅︒=，
又1
303
24
PF a k a c -==
+， 2a c ∴= 223a b ∴=，
解得
3b
a
= 所以双曲线的渐近线方程为3y x =， 故选：D 【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题.
8．已知三棱锥,2,1,P ABC AC BC AC BC -==⊥且2,PA PB PB =⊥平面ABC ，其外接球体积
为（ ） A ．
43
π B ．4π C ．
323
π
D ．43π
【答案】A 【解析】 【分析】
由AC BC ⊥,PB ⊥平面ABC ,可将三棱锥P ABC -还原成长方体,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,进而求解. 【详解】 由题,因为2,1,AC BC AC BC =
=⊥,所以223AB AC BC =+=,
设PB h =,则由2PA PB =,可得232h h +=,解得1h =, 可将三棱锥P ABC -还原成如图所示的长方体,
则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为R ,则22221(2)12R =++=,所以1R =,
所以外接球的体积34433
V R ππ==. 故选:A 【点睛】
本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.
9．如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AB 中点，F 为CD 的三等分点（靠近D ）若
AF x AC yDE =+u u u r u u u r u u u r
，则y x -的值为（ ）
A ．12
-
B ．23
-
C ．13
-
D ．1-
【答案】D
【解析】 【分析】
使用不同方法用表示出AF u u u r
，结合平面向量的基本定理列出方程解出． 【详解】
解：13
AF AD DF AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
又11()()()()22
AF xAC yDE x AB AD y AB AD x y AB x y AD =+=++-=++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r
1231y x x y ⎧+=⎪∴⎨⎪-=⎩解得59
49x y ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
，所以1y x -=- 故选：D 【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．
10．已知3
1(2)(1)mx x
--的展开式中的常数项为8，则实数m =（ ）
A ．2
B ．-2
C ．-3
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
先求3
1(1)x
-的展开式，再分类分析(2)mx -中用哪一项与3
1(1)x
-相乘，将所有结果为常数的相加，即为
31
(2)(1)mx x
--展开式的常数项，从而求出m 的值.
【详解】
31(1)x -展开式的通项为31331
1()(1)r r r r r r r T C C x x
--+=⋅-=⋅-，
当(2)mx -取2时，常数项为0
322C ⨯=，
当(2)mx -取mx -时，常数项为11
3(1)3m C m -⨯⨯-=
由题知238m +=，则2m =. 故选：A. 【点睛】
本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对(2)mx -所取的项要进行分类讨论，属于基础题.
11．已知1cos ,,3
2πααπ⎛⎫
=-∈
⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( )
A ．
3
B ．3
-
C ．3
±
D ．
13
【答案】B 【解析】 【分析】
利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可． 【详解】
1cos 3α=-Q ，,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
sin 3
α∴===
()sin sin 3
παα∴+=-=-
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．
12．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下： 小明说：“鸿福齐天”是我制作的；
小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的； 小金说：“兴国之路”不是我制作的，
若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ） A ．小明 B ．小红
C ．小金
D ．小金或小明
【答案】B 【解析】 【分析】
将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证. 【详解】
依题意，三个人制作的所有情况如下所示：
若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则
4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红，
故选：B. 【点睛】
本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题
. 二、填空题：本题共4小题，每小题5
分，共20分。

13．已知“在ABC ∆中，
sin sin sin a b c
A B C
==”，类比以上正弦定理，“在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 与平面ACD 所成的角为3π、与平面BCD 所成的角为512π，则BCD ACD
S S ∆∆=________． 【解析】 【分析】
类比，三角形边长类比三棱锥各面的面积，三角形内角类比三棱锥中侧棱与面所成角． 【详解】
5sin sin 312
BCD
ACD S S ππ∆∆=，故
sin
352sin 12
BCD ACD S S π
π∆∆===，
【点睛】
本题考查类比推理．类比正弦定理可得，类比时有结构类比，方法类比等． 14．若23log 3,log 2a b ==,则ab =______,lg lg a b +=______. 【答案】1 0 【解析】 【分析】
①根据换底公式计算即可得解；
②根据同底对数加法法则，结合①的结果即可求解. 【详解】
①由题：23log 3,log 2a b ==,
则
2 232
2
log2
log3log2log31
log3
ab=⋅=⋅=；
②由①可得：lg lg lg lg10
a b ab
+===.
故答案为：①1，②0
【点睛】
此题考查对数的基本运算，涉及换底公式和同底对数加法运算，属于基础题目.
15．设变量x，y满足约束条件
20
240
30
x y
x y
y
-+≤
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪-≤
⎩
，则目标函数2
z x y
=-的最小值为______．
【答案】-8
【解析】
【分析】
通过约束条件，画出可行域，将问题转化为直线
1
22
z
y x
=-在y轴截距最大的问题，通过图像解决. 【详解】
由题意可得可行域如下图所示：
令
1
22
z
y x
=-，则
min
z即为在y轴截距的最大值
由图可知：
当
1
22
z
y x
=-过()
2,3
A-时，在y轴截距最大
min
2238
z
∴=--⨯=-
本题正确结果：8
-
【点睛】
本题考查线性规划中的z ax by
=+型最值的求解问题，关键在于将所求最值转化为在y轴截距的问题. 16．若点N为点M在平面α上的正投影，则记()
N f M
a
=.如图，在棱长为1的正方体
1111
ABCD A B C D
-
中，记平面11AB D 为β，平面ABCD 为γ，点P 是线段1CC 上一动点，12[()],[()]Q f f P Q f f P γββγ==.给出下列四个结论：
①2Q 为11AB D V 的重心； ②12Q Q BD ⊥； ③当4
5
CP =
时，1PQ P 平面β； ④当三棱锥11D APB -的体积最大时，三棱锥11D APB -外接球的表面积为2π. 其中，所有正确结论的序号是________________. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】
①点P 在平面ABCD 内的正投影为点C ，而正方体的体对角线与和它不相交的的面对角线垂直，所以直线1CA 垂直于平面11AB D ，而11AB D ∆为正三角形，可得2Q 为正三角形11AB D ∆的重心，所以①是正确的； ②取11B D 的中点E ，连接AE ，则点P 在平面11AB D 的正投影在AE 上，记为Q ，而BD ⊥平面
1112,,ACC A Q Q ∈平面11ACC A ，所以12Q Q BD ⊥，所以②正确；
③若设1AE CC M =I ，则由1PQ AE P 可得Rt Rt MAC MPQ ∆∆∽，然后对应边成比例，可解45
CP =，所以③正确；
④由于1111D APB P AB D V V --=，而11AB D ∆的面积是定值，所以当点P 到平面11AB D 的距离最大时，三棱锥
11D APB -的体积最大，而当点P 与点C 重合时，点P 到平面11AB D 的距离最大，此时11P AB D -为棱长
23
R ，则S 球3π=，所以④错误. 【详解】
因为()f P C γ=，连接1CA ，则有1CA ⊥平面111,AB D CA ⋂平面1121111,,AB D Q CA CB CD AB D ===V 为正三角形，所以2Q 为正三角形11AB D ∆的中心，也是11AB D ∆的重心，所以①正确； 由1CA ⊥平面11AB D ，可知平面11ACC A ⊥平面11AB D ，记()f P Q β=，。