高中数学第05周等差数列的前n项和周末培优理新人教A版必修5

第05周 等差数列的前n 项和
（测试时间：50分钟，总分：100分）
班级：____________ 姓名：____________ 座号：____________ 得分：____________ 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．在等差数列{}n a 中，2816a a +=，则数列{}n a 的前9项和为 A ．56 B ．96 C ．80
D ．72
【答案】D
【解析】由等差数列的性质可得285216a a a +==，所以58a =， 所以数列{}n a 的前9项和为19959()
9722
a a S a +=
==．故选D ． 2．（2016新课标全国I 理）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a = A ．100
B ．99
C ．98
D ．97
【答案】C
【解析】由已知1193627
,98
a d a d +=⎧⎨
+=⎩所以110011,1,9919998.a d a a d =-==+=-+=故选C ． 3．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若334S a =，72a =-，则9=a
A ．－6
B ．－4
C ．－2
D ．2
【答案】A
【解析】因为334S a =，72a =-，即111
3+3=4+8+6=2a d a d a d ⎧⎨-⎩，解得110
2a d =⎧⎨=-⎩，
所以9186a a d =+=-．故选A ．
4．已知1a ，2a ，3a ，4a 这四个数成等差数列，它们的和为32，若23:1:3a a =，则公差d 等于
A ．8
B ．16
C ．4
D ．0
【答案】A
【解析】∵23:1:3a a =，∴111
23
a d a d +=
+，∴1=2d a -．
又1143
8322
4d a a ⨯+
=-=，∴14a =-，∴d ＝8．故选A ． 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1122S =，412a =-，如果当n m =时，n S 最小，那么m 的值为 A ．10 B ．9 C ．5
D ．4
【答案】C
6．设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)(2324a a a +=，则
4
7
S S 等于 A ．
4
7 B ．5
14 C ．7
D ．14
【答案】C
【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由()4232a a a =+，可得11463a d a d +=+，
即1a d =-，所以
4
7S S 1176
7142743242
a d d d
a d ⨯+
⨯===⨯+⨯，故选C ． 7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2040=S S ，则下列结论中正确的是 A ．30S 是n S 中的最大值 B ．30S 是n S 中的最小值 C ．30=0S
D ．60=0S
【答案】D
8．（2017新课标全国I 理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4
D ．8
【答案】C
【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，
61165
6615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548
a d a d +=⎧⎨
+=⎩解得4d =，故选C ． 【秒杀解】因为166346()
3()482
a a S a a +=
=+=，即3416a a +=， 则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C ．
9．若{}n a 是等差数列，首项10a >，100910100a a +>，100910100a a ⋅<，则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 A ．2016 B ．2017 C ．2018
D ．2019
【答案】C
【解析】因为数列{}n a 是等差数列，首项10a >，100910100a a +>，100910100a a ⋅<， 所以公差0d <，10090a >，10100a <， 因为1()2n n n a a S +=
，所以120182018100910102018()
1009()02a a S a a +=
=+>， 120192019
10102019()201902
a a S a +==<，
所以使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是2018，故选C ．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将正确的答案填在题中的横线上．
10．已知等差数列{}n a 满足：25a =，且数列{}n
a 前4项和428S =．若(1)n
n n b a =-，则数列{}n b 的前2n
项和2n T =_______________． 【答案】4n
【解析】由已知条件可得21415
43
4282
a a d S a d =+=⎧⎪
⎨⨯=+⨯=⎪⎩，解得114a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)43n a a n d n =+-⨯=-． 所以(1)(1)(43)n n
n n b a n =-=--，故21591317(83)44n T n n n =-+-+-++-=⨯=L ．故填4n ．
11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1200,OB a OA a OC =+u u u r u u u r u u u r
且A 、B 、C 三点共线(该直线不过原点
O )，则200S ＝_______________．
【答案】100
【解析】∵1200OB a OA a OC =+u u u r u u u r u u u r
，且A B C 、、三点共线，∴12001+=a a ，
∴1200200200(=1002
=
)
a a S ⨯+．故填100．
12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，则3S 等于_______________．
【答案】14
13．（1）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
53109
a a =，则9
5S S =_______________； （2）若数列{}{}n n a b ，的前n 项和分别为,n n S T ，且2253
n n S n T n +=+，则
220
715a a b b +=+_______________． 【答案】2
11
27
【解析】（1）由等差数列前n 项和的性质得
955399102559S a S a ==⨯=．故填2． （2）由等差数列前n 项和的性质得2202171521221211521327a a S b b T +⨯+===+⨯+．故填1127
．
14．（2017新课标全国II 理）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
1
1
n
k k
S
==∑_______________． 【答案】
21
n
n + 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，
由题意有1123
43
4102
a d a d +=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩， 数列的前n 项和()()()
111111222
n n n n n n n S na d n --+=+
=⨯+⨯=
， 裂项可得
1211
2()(1)1
k S k k k k ==-++， 所以
1111111122[(1)()()]2(1)223111n
k k
n S n n n n ==-+-++-=-=+++∑L ． 三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分10分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，且5624a a +=，315S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）*
21()n a n n ∴=+∈N ；（2）
4(1)
n
n +．
【解析】（1）5624a a +=Q ，315S =．12924a d ∴+=，13315a d +=，（3分）
联立解得13a =，2d =，*
21()n a n n ∴=+∈N ．（5分） （2）由（1）知*
21()n a n n =+∈N ，
（7分）
1111
11
[(1)()()]42231
n T n n ∴=-+-++-+L 11(1)414(1)n n n =-=++．（10分）
16．（本小题满分10分）
已知正项数列{}n a 满足2
122(n n n S S t a n -+=⨯+≥，0)t >，11a =，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和．
（1）求2a 及数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1
1
{
}n n a a +的前n 项和为n T ，若2n T <对所有的*n ∈N 都成立，求证：01t <≤． 【答案】（1）21a t =，11
12n n a n n t
=⎧⎪
=-⎨≥⎪⎩,,；（2）证明见解析．
（2）当1n =时，12T t =<；
当2n ≥时，2222
122334(1)n t t t t T t n n
=+++++⨯⨯⨯-⨯L 2(11)t t n =+-
21
n t t n
-=+⨯，（8分）
要使2n T <对所有的*n ∈N 恒成立，只要2
21
2n n T t t t t n
-=+⨯
<+≤成立， 又0t >，故01t <≤，得证．（10分） 17．（本小题满分10分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，3(1)n n S na n n =--，n ∈*N ． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）是否存在正整数n ，使得23
123(1)20161232
n S S S S n n +++⋅⋅⋅+--=？若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）65n a n =-；（2）存在正整数807n =，使得
23
123(1)20161232
n S S S S n n +++⋅⋅⋅+--=．
（2）因为21(1)322
n n n d
S na n n -=+=-， 所以32n S n n =-，故数列{}n S
n
是等差数列．（7分）
所以
2312(132)31123222
n S S S S n n n n n +-++++==-L ， 令
222312331353(1)(1)2016123222222
n S S S S n n n n n n ++++--=---=-=L ， 解得807n =，即当807n =时，23
123(1)20161232
n S S S S n n ++++--=L ． 故存在正整数807n =，使得
23
123(1)20161232
n S S S S n n +++⋅⋅⋅+--=．（10分）。