2017学年河北省承德十六中高一下学期期末数学试卷及参考答案(理科)

2016-2017学年河北省承德十六中高一（下）期末数学试卷（理
科）
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的）
1．（5分）若集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∩N等于（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）以下列函数中，最小值为2的是（）
A．y=x+B．y=3x+3﹣x
C．y=1gx+（0＜x＜1）D．y=sinx+（0＜x＜）
3．（5分）给出下列几个命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
5．（5分）如果log x＜log y＜0，那么（）
A．y＜x＜1 B．x＜y＜1 C．1＜x＜y D．1＜y＜x
6．（5分）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．9π+42 B．36π+18 C． D．
7．（5分）已知||=||=2，向量与的夹角为60°，则|﹣|等于（）A．B．C．2 D．4
8．（5分）函数y=x|x|的图象的形状大致是（）
A． B．C．D．
9．（5分）若幂函数y=f（x）是经过点（3，），则此函数在定义域上是（）A．偶函数B．奇函数C．增函数D．减函数
10．（5分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，
则m的取值范围为（）
A．（1，3） B．（1+，+） C．（1，1+） D．（3，+）
11．（5分）集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∪B是（）
A．{y|0＜y＜1}B．{y|y＞}C．{y|y＞1}D．{y|y＞0}
12．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l 的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）
A．（0，]B．（0，]C．[，1）D．[，1）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）
13．（5分）设=（1，2），=（1，1），=+k．若⊥，则实数k的值等于．14．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x．则f （1）=．
15．（5分）如图所示，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，图中互相垂直的平面共有对．
16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且x∈（﹣1，0）时，，则f（log220）=．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（11分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC．
求证：AD⊥平面SBC．
18．（11分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；
（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．19．（12分）设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比．一天购票人数为25时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过100（不含100）时，该旅游景点须另交保险费200元．设每天的购票人数为x，盈利额为y元．
（1）求y与x之间的函数关系；
（2）该旅游景点希望在人数达到20人时就不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元（取整数）？（参考数据：≈1.41，≈1.73，
≈2.24）
20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点．求证：
（1）BE∥平面PAD；
（2）平面BEF⊥平面PCD．
21．（12分）已知函数y=f（x）在定义域[﹣1，1]上既是奇函数又是减函数．（1）求证：对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有[f（x1）+f（x2）]（x1+x2）≤0；（2）若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，求实数a的取值范围．
22．（12分）如图1，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起如图2，使∠BDC=90°．
（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（2）若BD=1，求三棱锥D﹣ABC的表面积．
2016-2017学年河北省承德十六中高一（下）期末数学试
卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的）
1．（5分）若集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∩N等于（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}
【解答】解：由集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，
得到M∩N={0，1}．
故选：A．
2．（5分）以下列函数中，最小值为2的是（）
A．y=x+B．y=3x+3﹣x
C．y=1gx+（0＜x＜1）D．y=sinx+（0＜x＜）
【解答】解：A中不满足x＞0；
B中，y=3x+3﹣x≥2，当且仅当3x=3﹣x即x=0时取等号；
C中，因为0＜x＜1，故lgx＜0，不满足条件；
D中，因为0＜sinx＜1，故“=”取不到；
故选：B．
3．（5分）给出下列几个命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：在①中，由于圆柱的母线相互平行且与轴平行，
故上、下底面中任两点的连线不一定是母线，故①错误；
在②中，由正棱柱的定义知底面为正多边形，
且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱，故②正确；
在③中，棱台的上、下底面一定相似，侧棱长一定相等，故③错误．
故选：B．
4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；
D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．
故选：B．
5．（5分）如果log x＜log y＜0，那么（）
A．y＜x＜1 B．x＜y＜1 C．1＜x＜y D．1＜y＜x
【解答】解：不等式可化为：
又∵函数的底数0＜＜1
故函数为减函数
∴x＞y＞1
故选：D．
6．（5分）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．9π+42 B．36π+18 C． D．
【解答】解：由三视图可知，几何体是一个简单的组合体，
下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，
上面是一个球，球的直径是3，
该几何体的体积是两个体积之和，
四棱柱的体积3×3×2=18，
球的体积是，
∴几何体的体积是18+，
故选：D．
7．（5分）已知||=||=2，向量与的夹角为60°，则|﹣|等于（）A．B．C．2 D．4
【解答】解：|﹣|2=（﹣）2=||2+||2﹣2=4+4﹣4=4，
所以|﹣|=2，
故选：C．
8．（5分）函数y=x|x|的图象的形状大致是（）
A． B．C．D．
【解答】解：当x＞0时，y=x|x|=x2＞0，
故此时函数图象在第一象限，
当x＜0时，y=x|x|=﹣x2＜0，
故此时函数图象在第三象限，
故函数的图象过一，三象限，
故选：A．
9．（5分）若幂函数y=f（x）是经过点（3，），则此函数在定义域上是（）A．偶函数B．奇函数C．增函数D．减函数
【解答】解：设幂函数的解析式是y=xα，
则3α=，故α=﹣，
故f（x）=，
故f（x）是减函数，
故选：D．
10．（5分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，
则m的取值范围为（）
A．（1，3） B．（1+，+） C．（1，1+） D．（3，+）
【解答】解：∵m＞1，
故直线y=mx与直线x+y=1交于（，）点，
目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（，）点，取得最大值，
其约束条件如下图所示：
即＜2，
解得1﹣＜m＜1+，
又∵m＞1，
解得m∈（1，1+），
故选：C．
11．（5分）集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∪B是（）
A．{y|0＜y＜1}B．{y|y＞}C．{y|y＞1}D．{y|y＞0}
【解答】解：∵集合A={y|y=log2x，x＞1}={y|y＞0}，
B={y|y=（）x，x＞1}={y|0＜y＜}，
∴A∪B={y|y＞0}．
故选：D．
12．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l 的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）
A．（0，]B．（0，]C．[，1）D．[，1）
【解答】解：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，
∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．
取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，∴，解得b≥1．
∴e==≤=．
∴椭圆E的离心率的取值范围是．
故选：A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）
13．（5分）设=（1，2），=（1，1），=+k．若⊥，则实数k的值等于﹣
．
【解答】解：∵=（1，2），=（1，1），
∴=+k=（1，2）+（k，k）=（1+k，2+k），
∵⊥，∴•=1+k+2+k=0，
解得k=﹣，
故答案为：﹣．
14．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x．则f （1）=﹣3．
【解答】解：∵f（﹣1）=2+1=3
∵f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（﹣1）=﹣f（1）
∴f（1）=﹣3
故答案为：﹣3．
15．（5分）如图所示，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，图中互相垂直的平面共有3对．
【解答】解：∵如图所示，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，
∴图中互相垂直的平面有：
平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ADC，
∴图中互相垂直的平面共有3对．
故答案为：3．
16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且x∈（﹣1，0）时，，则f（log220）=﹣1．
【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数
又∵f（x﹣2）=f（x+2）
∴函数f（x）为周期为4是周期函数
又∵log 232＞log220＞log216
∴4＜log220＜5
∴f（log 220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2 ）
又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，
∴f（log2 ）=1
故f（log220）=﹣1
故答案为：﹣1
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（11分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC．
求证：AD⊥平面SBC．
【解答】证明：∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC．
又SA⊥面ABC，
∴SA⊥BC，
∴BC⊥面SAC，
∴BC⊥AD．
又SC⊥AD，SC∩BC=C，
∴AD⊥面SBC．
18．（11分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；
（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由题设，圆心C在y=x﹣3上，也在直线y=2x﹣4上，2a﹣4=a ﹣3，∴a=1，∴C（1，﹣2）．
∴⊙C：（x﹣1）2+（y+2）2=1，
由题，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，则=1，解得：k=﹣，…（4分）
又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为x=0或y=﹣x+3，
即x=0或12x+5y﹣15=0；
（2）设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，化简得：x2+（y+1）2=4，
∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，
又∵点M在圆C上，
∴圆C与圆D的关系为相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，
∴1≤≤3，
解得：0≤a≤．
19．（12分）设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比．一天购票人数为25时，
该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过100（不含100）时，该旅游景点须另交保险费200元．设每天的购票人数为x，盈利额为y元．
（1）求y与x之间的函数关系；
（2）该旅游景点希望在人数达到20人时就不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元（取整数）？（参考数据：≈1.41，≈1.73，
≈2.24）
【解答】解：（1）根据题意，当购票人数不多于100时，
可设y与x之间的函数关系为y=30x﹣500﹣k（k为常数，k∈R且k≠0），
因为人数为25时，该旅游景点收支平衡，所以30×25﹣500﹣k=0，解得k=50，
所以y=；
（2）设每张门票价格为m元，根据题意，得m×20﹣50﹣500≥0
所以m≥25+5≈36.2，
故每张门票最少要37元．
20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点．求证：
（1）BE∥平面PAD；
（2）平面BEF⊥平面PCD．
【解答】证明：（1）因为AB∥CD，CD=2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，AB=DE，
所以ABED为平行四边形．
所以BE∥AD，又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BE∥平面PAD．
（2）因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形．
所以BE⊥CD，AD⊥CD，
由PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，
因为PA∩AD=A，
所以CD⊥平面PAD．所以CD⊥PD．
因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，
所以CD⊥EF．
又EF∩BE=E，
所以CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD．
21．（12分）已知函数y=f（x）在定义域[﹣1，1]上既是奇函数又是减函数．（1）求证：对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有[f（x1）+f（x2）]（x1+x2）≤0；（2）若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，求实数a的取值范围．
【解答】（1）证明：∵x2∈[﹣1，1]，∴﹣x2∈[﹣1，1]，
设x1≤﹣x2，则∵函数y=f（x）是减函数，
∴f（x1）≥f（﹣x2），
∵函数y=f（x）是奇函数，
∴f（x1）≥﹣f（x2），
∴f（x1）+f（x2）≥0，
∵x1+x2≤0，
∴[f（x1）+f（x2）]•（x1+x2）≤0；
（2）解：由题意f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，则f（1﹣a）＜f（a2﹣1），
∴1＞1﹣a＞a2﹣1＞﹣1，
∴0＜a＜1．
22．（12分）如图1，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起如图2，使∠BDC=90°．
（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（2）若BD=1，求三棱锥D﹣ABC的表面积．
【解答】证明：（1）∵折起前AD 是BC 边上的高． ∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ，…（2分） 又DB ∩DC=D ，∴AD ⊥平面BDC ， ∵AD ⊂平面ABD ，
∴平面ABD ⊥平面BDC…（4分）
（2）由（1）知，DA ⊥DB ，DB ⊥DC ，DC ⊥DA ， ∵DB=DA=DC=1， ∴
AB=BC=CA=
，…（6分）
从而S △DAB =S △DBC =S △DCA =×1×1=，…（8分） S △ABC =×
×
×sin60°=
，…（10分）
∴三棱锥D ﹣ABC 的表面积S=×3+
=
…（12分）
赠送：初中数学几何模型举例
【模型四】 几何最值模型： 图形特征：
P A
B
l
运用举例：
1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为
E
M F
B
2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

D
F
A
3.在Rt△POQ中，OP=OQ=4．M是PQ中点，把一把三角尺的直角顶点放在点M处，以M 为旋转中心．旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B。

（1）求证：MA=MB；
（2）连接AB．探究：在旋转三角尺的过程中．△AOB的周长是否存在最小值．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
4.如图，在锐角△ABC 中，AB =42BAC =45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 和N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 .
D
C
M
5.如图，△ABC 中，︒=∠60BAC ，︒=∠45ABC ，AB =22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 。

F
E
O
C
A
B
D
6. 在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点.
（1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；
（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且2EF ，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、
F 的坐标.
x
y x
y
D
C
B
A O
D C
B
A
O
E。