江苏省无锡市硕放中学高三数学理月考试卷含解析

江苏省无锡市硕放中学高三数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设实数x，y满足：，则的最小值是（）
A. －2
B. －4
C. 0
D. 4
参考答案：
B
【分析】
由约束条件作出可行域，利用z的几何意义，可得z的最小值.
【详解】解：由已知不等式作出不等式组表示的平面区域如图：
可得直线经过的交点时z最小，
可得此点为（-2，1），
可得z的最小值为-4，
故选B.
【点睛】本题主要考查简单的线性规划，作出可行域后进行分析是解题的关键.
2. 已知为偶函数，对任意，恒成立，且当时，.设函数，则的零点的个数为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
参考答案：
C
3. 某中学要从名男生和名女生中选派人担任奥运会志愿者，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有（）
A．25种 B．35种 C．840
种 D．820种
参考答案：
答案：A
4. 空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】由三视图还原实物图．
【分析】根据已知中的三视图，结合三视图几何体由两部分组成，上部是锥体，下部为柱体，将几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案．
【解答】解：由已知中三视图的上部分是锥体，是三棱锥，满足条件的正视图的选项是A与D，由左视图可知，选项D不正确，
由三视图可知该几何体下部分是一个四棱柱
选项都正确，
故选A．
5. 若向量则=
A．（－2，－4）B．（3．4）C．（6，10）D．（－6．－10）
参考答案：
6. 用数学归纳法证明：“,在验证n＝1时，左端计算所得的项为( )
A．1 B． C． D．
参考答案：
C
7. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
C
8. 已知函数（，）的部分图象如图，则（）（A）－1 （B）（C）0 （D） 1
参考答案：
D
9. 大致的图像是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
试题分析：由，∴为偶函数，故可排除B；当时，
，即，则排除A、D；故选C.
考点：函数的图象.
10. 已知向量，夹角为，||=2，对任意x∈R，有|+x|≥|﹣|，则|t﹣|+|t﹣|（t∈R）的最小值是（）
A．B．C．1+D．
参考答案：
D
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由题意对任意x∈R，有，两边平方整理．由判别式小于等于0，可得（﹣）⊥，运用数量积的定义可得即有||=1，画出=，=，建立平面直角坐标系，设出A，B 的坐标，求得|t﹣|+|t﹣|
的坐标表示，运用配方和两点的距离公式，结合三点共线，即可得到所
求最小值．
【解答】解：向量，夹角为，，对任意x∈R，有，
两边平方整理可得x22+2x?﹣（2﹣2?）≥0，
则△=4（?）2+42（2﹣2?）≤0，
即有（2﹣?）2≤0，即为2=?，
则（﹣）⊥，
由向量，夹角为，||=2，
由||2=?=||?||?cos，
即有||=1，
则|﹣|==，
画出=，=，建立平面直角坐标系，如图所示；
则A（1，0），B（0，），
∴=（﹣1，0），=（﹣1，）；
∴=+
=+=2（+
表示P（t，0）与M（，），N（，﹣）的距离之和的2倍，
当M，P，N共线时，取得最小值2|MN|．
即有2|MN|=2=．
故选：D．
【点评】本题考查斜率的数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查转化思想和三点共线取得最小值，考查化简整理的运算能力，属于难题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数
λ=
．
参考答案：
【考点】平行向量与共线向量．
【专题】平面向量及应用．
【分析】利用向量平行即共线的条件，得到向量λ
+与+2之间的关系，利用向量相等解答．【解答】解：因为向量，不平行，向量λ+与+2平行，所以λ+=μ（+2），
所以，解得；
故答案为：．
【点评】本题考查了向量关系的充要条件：如果两个非0向量共线，那么存在唯一的参数λ，使得
12. 若点P（m+1,n-1）在不等式表示的可行域内，则的取值
范围是
参考答案：
13. 已知等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则
.
参考答案：
1+
14. 过曲线
上一点P 的切线平行于直线
，则切点的坐标为_____.
参考答案：
略
15. 下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数为a i ，j （i ，j ∈N *），则
（Ⅰ）a 9，9＝ ；
（Ⅱ）表中的数82共出现 次．
参考答案：
略
16. 已知
且
，函数
存在最小值，则
的取值范围
为
参考答案：
17. 若命题“
，有”是假命题，则实数的取值范围是 ▲ ．
参考答案：
[-4，0]
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14分）已知△
中，
的对边分别为
且
.
（1）若
，求边的大小； （2）若
，求△
的面积．
参考答案：
．…-------14分
19. 在△ABC 中，已知，cos （π﹣B ）=﹣．
（1）求sinA 与B 的值；
（2）若角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=5，求b ，c 的值．
参考答案：
【考点】正弦定理．
【专题】三角函数的图像与性质；解三角形．
【分析】（1）利用诱导公式与同角三角函数基本关系式即可得出；
（2）利用正弦定理与余弦定理即可得出． 【解答】解：（1）∵，
∴
，
又∵0＜A ＜π，
∴．
∵，且0＜B＜π，
∴．
（2）由正弦定理得，
∴，
另由b2=a2+c2﹣2accosB得49=25+c2﹣5c，
解得c=8或c=﹣3（舍去），
∴b=7，c=8．
【点评】本题主要考查解三角形的基础知识，正、余弦定理，诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和与差的余弦公式等知识，考查了考生运算求解的能力，属于中档题．
20. （12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，还喜欢打羽毛球，还喜欢打乒乓球，还喜欢踢足球，现在从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的8位女生中各选出1名进行其他方面的调查，求和不全被选中的概率．下面的临界值表供参考：
（参考公式：）
参考答案：
（1）
（2）有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关；(3) 和不全被选中的概率．
试题解析：（1）列联表补充如下：
（2）∵
∴有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关.
(3)从10位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件如下：
，
，，
，
，
，，
,
基本事件的总数为18,用表示“
不全被选中”这一事件，则其对立事件
表示
“
全被选中”这一事件，由于
由 , 3个基本事件组成，所以
由对立事件的概率公式得
.
考点：独立性检验的应用；等可能事件的概率．
21. 设矩形ABCD
中，，，点F 、E 分别是BC 、CD
的中点，如图 1.现沿AE 将
折起，使点D 至点M 的位置，且
，如图 2.
（Ⅰ）证明：AF ⊥平面MEF ； （Ⅱ）求二面角
的余弦值
.
参考答案：
（1）见解析；（2）
【分析】
(1)结合图形的特点以及垂直关系得到，再由勾股定理证得，进而得到线面垂
直；（2）建立空间坐标系得到两个面的法向量，利用向量夹角公式得到结果. 【详解】（1）证明：由题设知：
又
，
；
，
面
面，
面，
，在矩形
中，
，
，
、
为中点
，
， ，，又，
面 ，
面
（2）
面，由（1）知面
面，且
以为原点，
为轴，为
轴建立如图的空间直角坐标系 在
中，过
作
于
，
，
，
，
（也可用）
、、
、
面的一个法向量为
设面
的一个法向量为
、
由
即
令
，
则
，
，
，
,
二面角为
【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角。

在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直，或者可以通过建系的方法求两个面的法向量使得两个面的法向量互相垂直即可.求面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做。

22. （本题满分14分）如图所示，正方形与矩形
所在平面互相垂直，
,
点
为
的中点.
（Ⅰ）求证：
； （Ⅱ）求证：
；
（III ）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的
长；若不存在，请说明理由.
参考答案：
（Ⅰ） ,
点E 为
的中点,连接
的中位线
//
又
（II ）正方形
中, , 由已知可得：，
,。