2019-2020年高二上学期阶段性练习数学试卷

2019-2020年高二上学期阶段性练习数学试卷
班级姓名学号
（本卷满分160分，考试时间120分钟）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解答过程，请把答案直接填
写在题后横线
．．．．上．
1．已知点（1，2，3），则该点关于x轴的对称点的坐标为．
2．与直线垂直的一条直线的斜率k= ．
3．空间直角坐标系中，点，点在轴上，，则点的坐标为．
4．直线x－y－5＝0被圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0所截得的弦的长为．
5．在长方体中，，，则四棱锥的体积为
cm3．
6．已知异面直线a和b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有条．
7．为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三点的距离分别是，，，则P到A点的距离是．
8．用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题，正确的有．
①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥；
③若∥，∥，则∥；④若⊥，⊥，则∥.
9．在直角坐标系中，已知两点，沿轴把直角坐标平面折成直二面角后，两点的距离为．10．设m≠0，则圆与圆的位置关系是．(请填写“内含”、“内切”、“相交”、“外切”、“外离”之一)
11．过点P(2，1)且被圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0截得弦长最长的直线l的方程是．12．若直线ax+by=1与圆相交，则点P(a,b)与圆的位置关系是．
13．已知长方体的相邻三个侧面面积分别为，则它的体积是．
14．如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为．
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
二、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)
已知圆方程：，求圆心到直线的距离的取值范围.
16．(本小题满分14分)
在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形. 求证：(1)平面B 1AC //平面DC 1A 1;(2)平面B 1AC ⊥平面B 1BDD 1.
17．(本小题满分15分)
如图,四棱锥P-ABCD 是底面边长为1的正方形，PD ⊥BC , PD =1,PC =. (Ⅰ)求证:PD ⊥面ABCD ； (Ⅱ)求二面角A －PB －D 的大小.
P
18．(本小题满分15分)
如图，棱柱的侧面是菱形，．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）设是上的点，且平面，求的值．
19．(本小题满分16分)
在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点，P A＝2AB＝2．
（1）求证：PC⊥；（2）求证：CE∥平面P AB；
（3）求三棱锥P－ACE的体积V．
20．(本小题满分16分)
圆的半径为3，圆心在直线上且在轴下方，轴被圆截得的弦长为。

（1）求圆的方程；（2）是否存在斜率为1的直线，使得以被圆截得的弦为直径的圆过原点？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。

通州区三余中学xx～xx学年（上）阶段性练习试卷
高二数学参考答案
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．
1．已知点（1，2，3），则该点关于x轴的对称点的坐标为．（1，－2，－3）
2．与直线垂直的一条直线的斜率k= ．2
3．空间直角坐标系中，点，点在轴上，，则点的坐标为．或
4．直线x－y－5＝0被圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0所截得的弦的长为．
5．在长方体中，，，则四棱锥的体积为
cm3．6
6．已知异面直线a和b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有条．2
7．为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三点的距离分别是，，，则P到A点的距离是．1
8．用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题，正确的有．①④
①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥；
③若∥，∥，则∥；④若⊥，⊥，则∥.
9．在直角坐标系中，已知两点，沿轴把直角坐标平面折成直二面角后，两点的距离为．10．设m≠0，则圆与圆的位置关系是．(请填写“内含”、“内切”、“相交”、“外切”、“外离”之一) 外切
11．过点P(2，1)且被圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0截得弦长最长的直线l的方程是．
3x－y－5＝0
12．若直线ax+by=1与圆相交，则点P(a,b)与圆的位置关系是．在圆
13．已知长方体的相邻三个侧面面积分别为，则它的体积是．
14．如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2
的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米
粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为．
二、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
15．(本小题满分14分)
已知圆方程：，求圆心到直线的距离的取值范围.
15．解:将圆方程配方得(2分)
故满足，解得或(6分)
由方程得圆心到直线的距离
,(10分),得
16．(本小题满分14分)
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形. 求证：(1)平面B 1AC //平面DC 1A 1;(2)平面B 1AC ⊥平面B 1BDD 1.
16．(1)因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是直四棱柱，所以，A 1C 1//AC ，
而A 1C 1平面B 1AC ，AC 平面B 1AC ，所以A 1C 1//平面B 1AC .
同理，A 1D //平面B 1AC . 因为 A 1C 1、A 1D 平面DC 1A 1，A 1C 1A 1D ＝A 1，
所以平面B 1AC //平面DC 1A 1. 因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是直四棱柱，所以B 1B ⊥平面ABCD ， 而AC 平面ABCD ，所以AC ⊥B 1B .因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD .因为B 1B 、BD 平面B 1BDD 1，B 1B BD ＝B ，所以AC ⊥平面B 1BDD 1. 因为AC 平面B 1AC ，故有平面B 1AC ⊥平面B 1BDD 1. 17．(本小题满分15分)
如图,四棱锥P-ABCD 是底面边长为1的正方形，PD ⊥BC , PD =1,PC =. (Ⅰ)求证:PD ⊥面ABCD ； (Ⅱ)求二面角A －PB －D 的大小. 17．(Ⅰ)证明:, .……2分 又,
∴ PD ⊥面ABCD ………7分
(Ⅱ)解:连结BD ,设BD 交AC 于点O , 过O 作OE ⊥PB 于点E ,连结AE , ∵PD ⊥面ABCD , ∴, 又∵AO ⊥BD , ∴AO ⊥面PDB.
P
A
B
C
D
∴AO⊥PB,
又∵,
∴,从而,
故就是二面角A－PB－D的平面角.……………………10分∵PD⊥面ABCD, ∴PD⊥BD,
∴在Rt△PDB中, ,
又∵, ∴,………………………………………12分∴ .
故二面角A－PB－D的大小为60°.…………………14分
18．(本小题满分15分)
如图，棱柱的侧面是菱形，．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）设是上的点，且平面，
求的值．
18．解：（Ⅰ）因为侧面BCC1B1是菱形，所以
又已知
所又平面A1BC1，又平面AB1C ，
所以平面平面A1BC1 .
（Ⅱ）设BC1交B1C于点E，连结DE，
则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，
因为A1B//平面B1CD，所以A1B//DE.
又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点.
即A1D：DC1=1
19．(本小题满分16分)
在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，
∠BAC＝∠CAD＝60°，
P A⊥平面ABCD，E为PD的中点，P A＝2AB＝2．
（1）求证：PC⊥；（2）求证：CE∥平面P AB；
（3）求三棱锥P－ACE的体积V．
19. 解析：（1）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．取中点，连，则∵P A ＝AC＝2，∴PC⊥．
∵P A⊥平面ABCD，平面ABCD，
∴P A⊥，又∠ACD＝90°，即，
∴，∴，
∴∴
∴PC⊥．
（2）证法一：取AD中点M，连EM，CM．则
EM∥P A．∵EM 平面P AB，P A平面P AB，
∴EM∥平面P AB．
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，
∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．
∵MC 平面P AB，AB平面P AB，
∴MC∥平面P AB．
∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面P AB．
∵EC平面EMC，∴EC∥平面P AB．
证法二：延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．
∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C为ND的中点．
∵E为PD中点，∴EC∥PN．
∵EC 平面P AB，PN 平面P AB，∴EC∥平面P AB．
(3)由(1)知AC＝2，．
在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2，得．
则V＝．
20．(本小题满分16分)
圆的半径为3，圆心在直线上且在轴下方，轴被圆截得的弦长为。

（1）求圆的方程；（2）是否存在斜率为1的直线，使得以被圆截得的弦为直径的圆过原点？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。

20．解：（1）如图易知C（1，-2）
（2）设L的方程y=x+b，以AB
OAOB，设A（x1，y1），B（x2，y2），则
x1x2+ y1y2=0 ①---------------（6分）
由得
----------（8分）
要使方程有两个相异实根，则
△=＞0 即<b< ---------（9分）
------------------------------------------（10分）
由y1=x1+b，y2=x2+b，代入x1x2+ y1y2=0，得2x1x2+（x1+x2）b+b2=0---------（12分）
即有b2+3b-4=0，b=-4,b=1（舍去）-----------------------------------------------（13分）
故存在直线L满足条件，且方程为或----------------------（14分）。