数学·高二选修-(人教a版)：评估验收卷(二)_word版含解析

评估验收卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设t ＝a ＋2b ，S ＝a ＋b 2＋1，则下列t 与S 的大小关系中正确的是( ) A ．t ＞S B ．t ≥S C ．t ＜S D ．t ≤S
解析：t －S ＝a ＋2b －(a ＋b 2＋1)＝－(b 2－2b ＋1)＝－(b －1)2≤0.故应选D. 答案：D
2．已知a ，b ，c ，d 都是正数，且bc ＞ad ，则a b ，a ＋c b ＋d ，a ＋2c b ＋2d ，c
d 中最大的
是( )
A.a b
B.a ＋c b ＋d
C.a ＋2c b ＋2d
D.c
d 解析：因为a ，b ，c ，d 均是正数且bc ＞ad ， 所以有c d ＞a b
.①
又c d －a ＋c b ＋d ＝c （b ＋d ）－（a ＋c ）d
d （b ＋d ）＝bc －ad d （b ＋d ）＞0， 所以c d ＞a ＋c b ＋d
，②
c d －a ＋2c b ＋2d ＝c （b ＋2d ）－（a ＋2c ）·
d d （b ＋2d ）＝bc －ad d （b ＋2d ）＞0， 所以c d ＞a ＋2c b ＋2d
.③
由①②③知c
d 最大．
答案：D
3．已知a ＝6＋7，b ＝5＋8，c ＝5，则a ，b ，c 的大小关系排列为( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c
D ．c ＞a ＞b
解析：由已知得a 2＝6＋7＋242＝13＋242；b 2＝8＋5＋410＝13＋240；c 2＝25＝13＋12＝13＋236，因为236＜240＜242.所以a ＞b ＞c .
答案：A
4．若1a ＜1
b ＜0，则下列结论不正确的是( )
A ．a 2＜b 2
B ．ab ＜b 2 C.b a ＋a
b
＞2 D ．|a |＋|b |＞|a ＋b |
解析：因为1a ＜1b ＜0，所以1a －1
b ＜0，a ＜0且b ＜0.所以b －a ab ＜0，所以b ＜a
＜0.
由此断定A ，B ，C 正确，故选D. 答案：D
5．若q ＞0，且q ≠1，m ，n ∈N ＋，则1＋q m ＋n 与q m ＋q n 的大小关系是( ) A ．1＋q m ＋n ＞q m ＋q n B ．1＋q m ＋n ＜q m ＋q n C ．1＋q m ＋n ＝q m ＋q n
D ．不能确定
解析：(1＋q m ＋n )－(q m ＋q n )＝(q m －1)(q n －1)．(分q ＞1及0＜q ＜1两种情况讨论)
答案：A
6．已知非零实数a ，b 满足a ＞b ，则下列不等式成立的是( )
A ．a 2＞b 2 B.1a ＜1b C ．a 2
b ＞ab 2
D.a b 2＞b a
2 解析：由于a ，b 正负不确定，故A 、B 、C 三个选项不成立．
D 项中，由于a b 2－b
a 2＝a 3－
b 3a 2b
2，
因为a ＞b ，所以a 3＞b 3
.因此a b 2－b a 2＝a 3－b 3
a 2b
2＞0.
所以a b 2＞b
a 2，即D 项正确．
答案：D
7．否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个为偶数”时，正确假设为( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数
C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数
D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数 答案：D
8．对于x ∈[0，1]的任意值，不等式ax ＋2b ＞0恒成立，则代数式a ＋3b 的值( )
A ．恒为正值
B ．恒为非负值
C ．恒为负值
D ．不确定
解析：依题意2b ＞0，所以b ＞0，且a ＋2b ＞0. 所以a ＋2b ＋b ＞0，即a ＋3b 恒为正值． 答案：A
9．使不等式3＋8＞1＋a 成立的正整数a 的最大值为( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13
解析：用分析法可证a ＝12时不等式成立，a ＝13时不等式不成立．故应选C.
答案：C
10．(2015·湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2
b ＝ab ，则ab 的最小值为( )
A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4
解析：由已知1a ＋2
b ＝ab ，可知a ，b 同号，且均大于0.
由ab ＝1a ＋2
b
≥2
2
ab
，得ab ≥2 2. 即当且仅当1a ＝2
b ，即b ＝2a 时等号成立，故选C.
答案：C
11．M ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1
n （n ＋1）与1的大小关系是( )
A ．M ＞1
B ．M ＜1
C ．M ＝1
D ．不确定
解析：M ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n （n ＋1）
＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋
1
n －
1
n ＋1＝1－1
n ＋1＜1.
答案：B
12．设a ＞b ＞c ，n ∈N ，且1a －b ＋1b －c ≥n a －c ，则n 的最大值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝⎣⎡⎦⎤（a －b ）＋（b －c ） ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋
a －
b b －
c ＋b －c a －b
≥4，
故n的最大值为4，应选C
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时的假设是________．
解析：“三角形中最多只有一个内角是钝角”的对立事件是“三角形中内角有2个钝角或3个全是钝角”．故应填三角形中至少有两个内角是钝角．答案：三角形中至少有两个内角是钝角
14．用分析法证明：若a，b，m都是正数，且a＜b，则a＋m
b＋m
＞
a
b.完成下列
证明过程．
因为b＋m＞0，b＞0，
所以要证原不等式成立，只需证明
b(a＋m)＞a(b＋m)，
即只需证明________．
因为m＞0，所以只需证明b＞a，
由已知显然成立，所以原不等式成立．
解析：b(a＋m)＞a(b＋m)与bm＞am等价，因此欲证b(a＋m)＞a(b＋m)成立，只需证明bm＞am即可．
答案：bm＞am
15．不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)＞a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围________．
解析：由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，
则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2，
所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)＞a.对于一切x∈R恒成立，则需a＜2.
答案：(＋∞，2)
16．用放缩法证明不等式
1
n＋1
＋
1
n＋2
＋…＋
1
2n＜1(n∈N＋)时，关键是要用下
列不等式进行有效放缩，它们是________．
答案：
1
n＋1
＜
1
n，
1
n＋2
＜
1
n，…，
1
2n＜
1
n
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知a，b，c∈(0，＋∞)，比较a2＋b2与ab＋a＋b －1的大小．
解：因为(a2＋b2)－(ab＋a＋b－1)＝a2＋b2－ab－a－b＋1＝1
2(2a
2＋2b2－2ab
－2a－2b＋2)＝1
2[(a 2－2ab＋b2)＋(a2－2a＋1)＋(b2－2b＋1)]＝1
2[(a－b)
2＋(a－1)2
＋(b－1)2]≥0，
所以a2＋b2≥ab＋a＋b－1.
18．(本小题满分12分)已知a＋b＋c＞0，abc＞0，ab＋bc＋ca＞0，求证：a ＞0，b＞0，c＞0.
证明：用反证法．不妨假设a＞0不成立，则a≤0.分两种情况讨论：
(1)当a＜0时，因为abc＞0，所以bc＜0.
因为a＋b＋c＞0，
所以b＋c＞－a＞0.
所以a(b＋c)＜0.
从而ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc ＜0，这和已知条件矛盾． (2)当a ＝0时，则abc ＝0与已知条件abc ＞0矛盾． 综上可知，“a ＞0不成立”的假设是错误的． 因此a ＞0成立，同理可证b ＞0，c ＞0.
19．(本小题满分12分)求证：若n ≥3，n ∈N ，则133＋143＋153＋…＋1n 3＜112.
证明：当k ≥2，k ∈N 时，
有1k 3＜1（k －1）k （k ＋1）＝12⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1（k －1）k －1k （k ＋1），
所以133＋143＋153＋…＋1n 3＜12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2×3－13×4＋
⎝ ⎛⎭⎪⎫13×4－14×5＋…＋
⎦
⎥⎥⎤1（n －1）n －1n （n ＋1）＝
12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤16－1n （n ＋1）＝112－12n （n ＋1）＜112
. 从而原不等式得证．
20．(本小题满分12分)设a ＋b ＝2，b ＞0，当12|a |＋|a |
b 取得最小值时，求a
的值．
解：由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |
b ＝
a 4|a |＋
b 4|a |＋|a |
b
， 由于b ＞0，|a |＞0，所以b 4|a |＋|a |
b
≥2
b 4|a |·|a |
b ＝1，因此当a ＞0时，12|a |＋|a |b
的最小值是14＋1＝5
4
；
当a ＜0时，12|a |＋|a |b 的最小值是－14＋1＝34.
故12|a |＋|a |b 的最小值为3
4
，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b ，a ＜0 即a ＝－2.
21．(本小题满分12分)设a ，b ，c 是不全相等的正实数． 求证：lg
a ＋
b 2＋lg b ＋
c 2＋lg c ＋a
2
＞lg a ＋lg b ＋lg c . 证明：法一：要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a
2
＞lg a ＋lg b ＋lg c ，
只需证：lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫
a ＋
b 2
·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg(abc )， 只需证：a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2
＞abc ，
因为a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，c ＋a
2≥ca ＞0，
所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2≥abc ＞0成立．
因为a ，b ，c 为不全相等的正数， 所以上式中等号不成立． 所以原不等式成立． 法二：因为a ，b ，c ∈{R ＋}，
所以a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，c ＋a 2
≥ca ＞0.
又因为a ，b ，c 为不全相等的实数，所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a
2
＞abc .
所以lg ⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫
a ＋
b 2
·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg(abc )， 即lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a
2
＞lg a ＋lg b ＋lg c .
22．(本小题满分12分)等差数列{a n }各项均为正整数，a 1＝3，前n 项和为S n .等比数列{b n }中，b 1＝1，且b 2S 2＝64，{ba n }是公比为64的等比数列．
(1)求a n 与b n ；
(2)证明：1S 1＋1S 2＋1S 3
＋…＋1S n ＜3
4.
(1)解：设{a n }的公差为d (d ∈N)，{b n }的公比为q ， 则a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.
依题意⎩⎪⎨⎪
⎧ba n ＋1ba n ＝q 3＋nd －1
q 3＋（n －1）d －
1＝q d ＝64， ①S 2b 2
＝（6＋d ）q ＝64. ②
由①知，q ＝641
d ＝26
d .③
由②知，q 为正有理数．所以d 为6的因子1，2，3，6中之一，因此由②③知d ＝2，q ＝8，
故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.
(2)证明：S n ＝3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)， 则1S n ＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫1n －1n ＋2. 所以1S 1＋1S 2＋1S 3
＋…＋1S n ＝
12⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝ 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1n ＋1－
1n ＋2＜12×32＝34。