人教版七年级初一数学下学期第八章 二元一次方程组单元 易错题专题强化试卷学能测试试题

人教版七年级初一数学下学期第八章二元一次方程组单元易错题专题强化试
卷学能测试试题
一、选择题
1．如图，两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是也相等，则一块巧克力的质量是（）
A．20g B．25g C．15g D．30g
2．若关于x、y的二元一次方程组
32
34
x y a
x y a
+=+
⎧
⎨
+=-
⎩
的解满足x＋y＞2，则a的取值范围为
（）
A．a＜−2 B．a＞−2 C．a＜2 D．a＞2
3．方程组
345
3
57
2
x y
x y
+=
⎧
⎪
⎨
-+=-
⎪⎩
的解是（）
A．
2
0.25
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
B．
4.5
3
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
C．
1
0.5
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
D．
1
0.5
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
4．用一块A型钢板可制成2块C型钢板、3块D型钢板；用一块B型钢板可制成1块C 型钢板、4块D型钢板．某工厂现需14块C型钢板、36块D型钢板，设恰好用A型钢板x块，B型钢板y块，根据题意，则下列方程组正确的是（）
A．
214
3436
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
B．
3214
436
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
C．
2314
436
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
D．
214
4336
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
5．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）
A．
100
33100
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
B．
100
1
100
3
x y
x y
+=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
C．
100
1
3100
3
x y
x y
+=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
D．
100
3100
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
6．已知方程组
2(1)3(1)13
3(1)5(1)30
a b
a b
--+=
⎧
⎨
-++=
⎩
的解是
9.3
0.2
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，则方程组
2(2)3(1)133(2)5(1)30x y x y +--=⎧⎨++-=⎩
的解是（ ）． A ． 6.32.2x y =⎧⎨=⎩ B ．8.31.2x y =⎧⎨=⎩ C ．9.30.2x y =⎧⎨=⎩ D ．10.32.2x y =⎧⎨=⎩
7．甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x 千米/时，水流速度为y 千米/时，则下列方程组中正确的是( )
A ．()()1836024360x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩
B ．()()1836024360x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
C ．()()1836024360x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩
D ．()()1836024360x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩
8．若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩
，则方程组111222327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是( ) A ．2128x y =⎧⎨=⎩ B ．98x y =⎧⎨=⎩ C ．714x y =⎧⎨=⎩ D ．9
787x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 9．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作。

在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的。

《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数,
x y 的系数与相应的常数项。

把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是3219423x y x y +=⎧⎨+=⎩
，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中x 的值为3，则被墨水所覆盖的图形为
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个长方形，其中每一个小长方形的面积为（ ）
A ．400cm 2
B ．500cm 2
C ．600cm 2
D ．675cm 2
二、填空题
11．某公园的门票价格如表：
购票人数 1～50 51～100 100以上
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a 和b
（a ≥b ）．若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则共需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数a =_____；b =_____．
12． 已知21x y =⎧⎨=⎩，是二元一次方程组81
mx ny nx my +=⎧⎨-=⎩的解，则m+3n 的平方根为______． 13．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为_____．
14．在某一个学校的运动俱乐部里面有三大筐数量相同的球，甲每次从第一个大筐中取出9个球；乙每次从第二个大筐中取出7个球；丙则是每次从第三个大筐中取出5个球.到后来甲、乙、丙三人都记不清各自取过多少次球了，于是管理人员查看发现第一个大筐中还剩下7个球，第二个大筐还剩下4个球，第三个大筐还剩下2个球，那么根据上述情况可以推知甲至少取了______次.
15．方程组111
1121132x y x z
y z ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩
的解为______.
16．我校第二课堂开展后受到了学生的追捧，学期结束后对部分学生做了一次“我最喜爱的第二课堂”问卷调查（每名学生都填了调査表，且只选了一个项目），统计后趣味数学、演讲与口才、信息技术、手工制作榜上有名．其中选信息技术的人数比选手工制作的少8人；选趣味数学的人数不仅比选手工制作的人多，且为整数倍；选趣味数学与选手工制作的人数之和是选演讲与口才与选信息技术的人数之和的5倍；选趣味数学与选演讲与口才的人数之和比选信息技术与选手工制作的人数之和多24人．则参加调查问卷的学生有________人．
17．若方程组2232x y k x y k +=-⎧⎨+=⎩
的解适合x+y=2，则k 的值为_____． 18．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶___km ．
19．若方程123
x y -=的解中，x 、y 互为相反数，则32x y -=_________ 20．已知方程组112
2a x y c a x y c +=⎧⎨+=⎩解为510x y =⎧⎨=⎩，则关于x ，y 的方程组1112223232a x y a c a x y a c +=+⎧⎨+=+⎩
的解是_______．
三、解答题
21．某校规划在一块长AD 为18 m 、宽AB 为13 m 的长方形场地ABCD 上，设计分别与AD ，AB 平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮，如图所示，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM∶AN＝8∶9，问通道的宽是多少？
22．规定:二元一次方程ax by c +=有无数组解，每组解记为(),P x y ,称(),P x y 为亮点，将这些亮点连接得到一条直线，称这条直线是亮点的隐线，答下列问题：
(1) 已知()()()1,2,4,3,3,1A B C ---，则是隐线326x y +=的亮点的是 ;
(2) 设()10,2,1,3P Q ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
是隐线26t x hy +=的两个亮点，求方程()
22144265t x t h y ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭中,x y 的最小的正整数解; (3)已知,m n 是实数， 27m n =,若)
,P
m n 是隐线23x y s -=的一个亮点，求隐线s 中的最大值和最小值的和. 23．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（a,a ），点B 的坐标（b,c ），且
a 、
b 、
c 满足34624a b c a b c +-=⎧⎨-+=-⎩
. (1)若a 没有平方根，判断点A 在第几象限并说明理由.
(2)连AB 、OA 、OB ，若△OAB 的面积大于5而小于8，求a 的取值范围；
(3)若两个动点M （2m,3m-5），N(n-1,-2n-3)，请你探索是否存在以两个动点M 、N 为端点的线段MN ∥AB ，且MN=AB ．若存在，求出M 、N 两点的坐标；若不存在，请说明理由.
24．每年的6月5日为世界环保日，为提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新机器，现有甲、乙两种型号的机器可选，其中每台的价格、产量如下表：
甲型机器 乙型机器 价格（万元/台）
a b 产量（吨/月） 240 180
经调查：购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多12万元，购买2台甲型机器比购买3
台乙型机器多6万元．
（1）求a、b的值；
（2）若该公司购买新机器的资金不超过216万元，请问该公司有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，若公司要求每月的产量不低于1890吨，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案．
25．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B 型电脑的利润为3500元．
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共50台，其中A型电脑的进货量不少于14台，B 型电的进货量不少于A型电脑的2倍，那么该商店有几种进货方案?该商场购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大?
(3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m (0<m<100)元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及(2)中条件，设计出使这50台电脑销售总利润最大的进货方案．
26．在今年“六•一”期间，扬州市某中学计划组织初一学生到上海研学，如果租用甲种客车2辆，乙种客车3辆，则可载180人，如果租用甲种客车3辆，乙种客车1辆，则可载165人.
（1）请问甲、乙两种客车每辆分别能载客多少人？
（2）若该学校初一年级参加研学活动的师生共有303名，旅行社承诺每辆车安排一名导游，导游也需一个座位.旅行前，旅行社的一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：同时租65座、甲种客车和乙种客车的大小三种客车，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满，请问旅行社的租车方案应如何安排？
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
设每块巧克力的质量为x克，每块果冻的质量为y克，根据每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是也相等，列出方程组即可解答
【详解】
设每块巧克力的质量为x 克，每块果冻的质量为y 克，
由题意得3250x y x y =+=⎧⎨
⎩ ， 解得2030x y ==⎧⎨⎩
， 即一块巧克力的质量是20g.
故选A.
【点睛】
此题考查二元一次方程组的应用，列出方程组是解题关键
2．A
解析：A
【分析】
先解根据关于x ，y 的二元一次方程组3234x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩①②
①+②得4x+4y=2-3a ，234
a x y -+=
；然后将其代入x ＋y ＞2，再来解关于a 的不等式即可． 【详解】 解：3234x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩①②
①+②得
4x+4y=2-3a
234
a x y -+= ∴由x+y>2，得
2324
a -> 即a<-2
故选A
【点睛】
本题综合考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式．解答此题时，采用了“加减消元法”来解二元一次方程组；在解不等式时，利用了不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变．
3．D
解析：D
【分析】
整理后①×7+②×2得出41x=41，求出x ，把x 的值代入①求出y 即可．
【详解】
解：整理得：34510143x y x y +=⎧⎨-=⎩
①② ， ①×7+②×2得：41x=41，
∴x=1，
把x=1代入①得：3+4y=5，
∴y=0.5，
∴方程组的解是：10.5x y =⎧⎨
=⎩
， 故选D ．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，关键是把二元一次方程组转化成一元一次方程，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算． 4．A
解析：A
【分析】
根据“用一块A 型钢板可制成2块C 型钢板、3块D 型钢板；一块B 型钢板可制成1块C 型钢板、4块D 型钢板及A 、B 型钢板的总数”可得
【详解】
设恰好用A 型钢板x 块，B 型钢板y 块，
根据题意，得：2143436x y x y +=⎧⎨
+=⎩
， 故选：A ．
【点睛】
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系． 5．C
解析：C
【分析】
设大马有x 匹，小马有y 匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数＝100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数＝100，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】
解：设大马有x 匹，小马有y 匹，由题意得：
100131003x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组及其应用，首先选取两个量作为未知数，再根据已知条件列出
两个方程，再将两个二元一次方程组合起来便构成了二元一次方程组．
6．A
解析：A
【分析】
根据二元一次方程组的解可得a -1，b +1的值，然后对比得到x+2，y -1的值，求解即可．
【详解】
∵方程组2(1)3(1)133(1)5(1)30a b a b --+=⎧⎨-++=⎩
∴9.30.2
a b =⎧⎨=⎩ ∴18.31 1.2a b -=⎧⎨+=⎩
∴对比两方程组可知：12a x -=+；11b y +=-
∴=3x a -，=2y b +
∴x ＝6.3，y ＝2.2
故选：A ．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的知识；求解的关键是掌握二元一次方程组的性质，从而完成求解．
7．A
解析：A
【详解】
根据题意可得，顺水速度为：x y +，逆水速度为：x y -，所以根据所走的路程可列方程
组为()()1836024360x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩
，故选A ． 8．C
解析：C
【分析】
先将111222327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩化简为11
12223277327
7a x b y c a x b y c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，然后用“整体代换”法，求出方程组的解即可；
【详解】
解：1112
22327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩，
11
12223277327
7a x b y c a x b y c ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩， 设3727
x t y s ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 1112
22a t b s c a t b s c +=⎧∴⎨+=⎩， 方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩
， ∴方程组111222a t b s c a t b s c +=⎧⎨+=⎩的解为34
t s =⎧⎨=⎩， 337247
x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩， 解得：714x y =⎧⎨=⎩
． 故选C ．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
根据3219423x y x y +=⎧⎨+=⎩
，结合图1可判断出：（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10，“||||”中的横线表示5；因此，设被墨水所覆盖的图形表示的数字为k ，列出方程组求解即可.
【详解】
由题意可知，（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10，“||||”中的横线表示5，
设被墨水所覆盖的图形表示的数字为k ，则有：
211427x y x ky +=⎧⎨+=⎩
将3x =代入可解得：53y k =⎧⎨=⎩
根据图形所表示的数字规律，可推出3k =代表的图形为“|||”.
故答案为：C.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据图1和其方程组判断出图形所表示的数字是解题关键，此型题较为新颖，是近年来的常考点.
10．D
解析：D
【解析】
试题分析：设小长方形的宽为xcm ，则长为3xcm ，根据图示列式为x+3x=60cm ，解得x=15cm ，因此小长方形的面积为15×15×3=675cm 2.
故选D.
点睛：此题主要考查了读图识图能力的，解题时要认真读图，从中发现小长方形的长和宽的关系，然后根据关系列方程解答即可.
二、填空题
11．40
【分析】
根据题中a 、b 的求知范围，可得a+b 的取值范围，分两种情况讨论，由两次门票费用，分别列出方程组，及可求解．
【详解】
解：∵ ，，
∴1≤b≤50，51＜a≤100，
若a+
解析：40
【分析】
根据题中a 、b 的求知范围，可得a+b 的取值范围，分两种情况讨论，由两次门票费用，分别列出方程组，及可求解．
【详解】 解：∵12903991313= ，129031171111
=， ∴1≤b ≤50，51＜a ≤100，
若a +b ≤100时，
由题意可得：1311129011()990
b a a b +=⎧⎨+=⎩， ∴60150a b =-⎧⎨=⎩（不合题意舍去），
若a+b＞100时，
由题意可得
13111290 9(990
b a
a b
+=
⎧
⎨
+=
⎩）
，
∴
70
40 a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
故可70，40．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系式是解题的关键．12．±3
【分析】
把x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可求出所求．
【详解】
解：把代入方程组得：，
①×2-②得：5m=15，
解得：m=3，
把m=3代入①得：n=2，
则m+3n=3+6=9
解析：±3
【分析】
把x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可求出所求．
【详解】
解：把
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入方程组得：
28
21
m n
n m
+=
⎧
⎨
-=
⎩
①
②
，
①×2-②得：5m=15，
解得：m=3，
把m=3代入①得：n=2，
则m+3n=3+6=9，9的平方根是±3，
故答案为：±3
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，以及平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．【分析】
先列出方程10x+9y+6z＝108，再根据x，y，z是正整数，进行计算即可得出结论．
【详解】
解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，∵每种规格都要有且
解析：【分析】
先列出方程10x+9y+6z＝108，再根据x，y，z是正整数，进行计算即可得出结论．【详解】
解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，
∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，
∴0＜x＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x，y，z都是整数，
则10x+9y+6z＝108，
∴x＝10896
10
--
y z
＝
3(3632)
10
--
y z
，
∵0＜x＜10，且为整数，
∴36﹣3y﹣2z是10的倍数，
即：36﹣3y﹣2z＝10或20或30，
当36﹣3y﹣2z＝10时，y＝262
3
-z
，
∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，
∴26﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，
∴z＝23
2
（舍）或z＝10或z＝
17
2
（舍）或z＝7或z＝
11
2
（舍）或z＝4或z＝
5
2
（舍）
或z＝1，
当z＝10时，y＝2，x＝3，当z＝7时，y＝4，x＝3，当z＝4时，y＝8，x＝3
当z＝1时，y＝8，x＝3，
当36﹣3y﹣2z＝20时，y＝162
3
-z
，
∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，
∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，
∴z＝13
2
（舍）或z＝5或z＝
7
2
（舍）或z＝2或z＝
1
2
（舍）
当z＝5时，y＝2，x＝6，当z＝2时，y＝4，x＝6，
当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝62
3
-z
，
∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴6﹣2z＝3，
∴z＝3
2
（舍）
即：满足条件的不同的装法有6种，故答案为6．
【点睛】
此题主要考查了三元一次方程，整除问题，分类讨论时解本题的关键．
14．30
【分析】
设每框球的总数为k，甲取了a次，乙取了b次，丙取了c次．根据题意得可列方程k=9a+7=7b+4=5c+2(k，a，b，c都是正整数)，然后根据整除的性质解答即可．
【详解】
设每框
解析：30
【分析】
设每框球的总数为k，甲取了a次，乙取了b次，丙取了c次．根据题意得可列方程
k=9a+7=7b+4=5c+2(k，a，b，c都是正整数)，然后根据整除的性质解答即可．
【详解】
设每框球的总数为k，甲取了a次，乙取了b次，丙取了c次．根据题意得：
k=9a+7=7b+4=5c+2(k，a，b，c都是正整数)
∴9a+7=5c+2，
∴9a=5(c-1)，
∴a是5的倍数．
不妨设a=5m(m为正整数)，
∴k=45m+7=7b+4，
∴b=4533(1)
6
77
m m
m
++
=+，
∵b和m都是正整数，
∴m的最小值为6．
∴a=5m=30．
故答案为：30．
【点睛】
本题考查了三元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的者方程，会根据整除性进一步设未知数．
15．【分析】
先将三个方程依次标号，然后相加可得④，由④-①，④-②，④-③即可得出答案.
【详解】
解：由方程组，可得：，
所以④，
由可得：，由可得：，由可得
综上所述方程组的解是.
【点睛】 解析：43445x y z ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩
【分析】 先将三个方程依次标号，然后相加可得11194
x y z ++=④，由④-①，④-②，④-③即可得出答案.
【详解】 解：由方程组1111121132x y x z
y z ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩
①
②③
，++①②③可得：111922x y z ⎛⎫++= ⎪⎝⎭， 所以11194
x y z ++=④， 由-④①可得：154,45
z z =∴=，由-④②可得：11,44y y =∴=，由-④③可得13,4
x = 43
x ∴= 综上所述方程组的解是43445x y z ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩
.
【点睛】
本题考查的是三元一次方程组的解法，利用加减消元的思想是解题的关键.
16．48
【分析】
设选信息技术的有x 人，选演讲与口才有y 人，则手工制作的有（x+8）人，选趣味数学的有a （x+8）人，根据题意列出方程组，结合实际情况讨论求解即可.
【详解】
设选信息技术的有x人，选
解析：48
【分析】
设选信息技术的有x人，选演讲与口才有y人，则手工制作的有（x+8）人，选趣味数学的有a（x+8）人，根据题意列出方程组，结合实际情况讨论求解即可.
【详解】
设选信息技术的有x人，选演讲与口才有y人，则手工制作的有（x+8）人，选趣味数学的有a（x+8）人，
根据题意得：
()()()
()()
185
8824
a x x y
a x y x x
⎧++=+
⎪
⎨
++--+=
⎪⎩
①
②
，
②可变形为：（a-1）（x+8）=24+x-y③，①+③，得2a（x+8）=24+6x+4y，
即a=1232
8
x y
x
++
+
；
①-③，得x+3y=20．∵x、y都是正整数，
∴
17
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
14
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
11
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
8
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
5
5
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
2
6
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
当
17
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
、
14
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
、
11
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
、
8
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
、
5
5
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
a=1232
8
x y
x
++
+
都不是整数，不合题意．
当
2
6
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
时，a=
1232
8
x y
x
++
+
=3．
∴选信息技术的有2人，选演讲与口才的有6人，选手工制作的有10人，选趣味数学的有30人，
由于每名学生都填了调査表，且只选了一个项目，
所以参加调查问卷的学生有2+6+10+30=48（人）．
故答案为48
【点睛】
本题考查了二元一次方程的正整数解、二元一次方程组等知识点，题目难度较大，根据方程组得到二元一次方程，是解决本题的关键．
17．3
【解析】
分析：根据等式的性质,可得关于k的方程,根据解方程,可得答案.
详解：两式相加,得
3(x+y)=3k-3, 由x+y=2, 得 3k-3=6,
计算得出k=3,
故答案为:3.
解析：3
【解析】
分析：根据等式的性质,可得关于k 的方程,根据解方程,可得答案.
详解：两式相加,得
3(x+y)=3k-3, 由x+y=2, 得 3k-3=6,
计算得出k=3,
故答案为:3.
点睛：本题考查了二元一次方程组的解，利用等式的性质得出3(x+y)=3k-3是解答本题的关键.
18．3750
【解析】
设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ，则安装在前轮的轮胎每行驶1km 磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为．又设一对新轮胎交换位置前走了xkm ，交换位置后走了ykm ．分别以
解析：3750
【解析】
设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ，则安装在前轮的轮胎每行驶1km 磨损量为
5000k ，安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000
k ．又设一对新轮胎交换位置前走了xkm ，交换位置后走了ykm ．分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有
+=50003000+=50003000
kx ky k ky kx k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，两式相加，得()()250003000k x y k x y k +++=，则x+y=2
1150003000
+=3750（千米）. 故答案为：3750．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
19．【解析】试题分析：根据x 、y 互为相反数，可得x+y=0，然后和方程构成方程组，解得，所以3x-2y=.
20．【分析】
根据方程组解的定义，把x ＝5，y ＝10代入即可得出a1，a2，c1，c2的关系，再代入计算即可．
【详解】
解：∵方程组
∵解为：x ＝5，y ＝10，
∴，
∴
∵，
∴，
①−②，得3a
解析：25x y ⎧⎨⎩
＝＝ 【分析】
根据方程组解的定义，把x ＝5，y ＝10代入即可得出a 1，a 2，c 1，c 2的关系，再代入计算即可．
【详解】
解：∵方程组112
2==a x y c a x y c +⎧⎨+⎩ ∵解为：x ＝5，y ＝10，
∴112
2510=510=a c a c +⎧⎨+⎩， ∴()12125a a c c -=-
∵1112
2232=32=a x y a c a x y a c ++⎧⎨++⎩， ∴112
232=61032=610a x y a a x y a ++⎧⎨++⎩①②， ①−②，得3a 1x−3a 2x ＝6a 1−6a 2，
∴x ＝2，
把x ＝2代入①得，y ＝5，
∴方程组1112
2232=32a x y a c a x y a c ++⎧⎨+=+⎩的解是=2=5x y ⎧⎨⎩， 故答案为：=2=5x y ⎧⎨⎩
． 【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，掌握方程组的解法是解题的关键．
三、解答题
21．1
【分析】
利用AM:AN=8:9，设通道的宽为xm ，AM=8ym ，则AN=9ym ，进而利用AD 为18m ，AB 为13m ，得出等式求出即可.
【详解】
设通道的宽是xm ，AM ＝8ym.
因为AM ∶AN ＝8∶9，所以AN ＝9ym.
所以22418,1813.x y x y +=⎧⎨+=⎩解得1,2.3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
答：通道的宽是1m.
故答案为1.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用.
22．（1）B ；（2）,x y 的最小整数解为104x y =⎧⎨
=⎩；（3）隐线中s 的最大值和最小值的和为72
【分析】
（1）将A,B,C 三点坐标代入方程,方程成立的点即为所求,
（2）将P,Q 代入方程,组成方程组求解即可,
（3）将P 代入隐线方程,
27n +=组成方程组,求解方程组的解,再由
()2723147s n n n =--=-即可求解.
【详解】
解：（1）将A,B,C 三点坐标代入方程,只有B 点符合,
∴隐线326x y +=的亮点的是B.
（2）将()10,2,1,3P Q ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
代入隐线方程 得：226163h t h -=⎧⎪⎨-=⎪⎩
解得253t h ⎧=⎨=-⎩
代入方程得：5626x y -=
,x y ∴的最小整数解为104x y =⎧⎨=⎩
（3
）由题意可得273n n s
==⎪⎩
72n =-
n ∴= ()2723147s n n n ∴=--=-
2122
s ∴=- s ∴的最大值为14，最小值为212
- 隐线中s 的最大值和最小值的和为2171422-
= 【点睛】
本题考查了二元一次方程的新定义,二元一次方程与直线的关系,运用了数形结合的思想,理解题意是解题关键.
23．（1）第三象限；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平方根的意义得到a ＜0，然后根据各象限点的坐标点的特征可判断点A 在第三象限；（2）先利用方程组34624
a b c a b c +-=⎧⎨-+=-⎩，用a 表示b 、c ，得b=2+a.c=a, 则B 点的坐标为（2+a ，a ）,故AB //x 轴，AB=|2+a-a|=2，故11|y |2||||22
OAB B S AB a a =⨯⨯=⨯⨯= 由若△OAB 的面积大于5而小于8，可得5||8a <<计算即可得a 的取值范围；
（3）由AB //x 轴即MN ∥AB 可得MN ∥x 轴，则M 、N 的y 坐标，以及MN=AB =2，可得方程组解得m 、n 的值，即可得出结论；
【详解】
（1）∵a 没有平方根，
∴a ＜0，
∴点A 在第三象限；
（2）解方程组34624a b c a b c +-=⎧⎨-+=-⎩
用a 表示b 、c ，得2b a c a =+⎧⎨=⎩
∵点B 坐标为（b ，c ）
∴点B 坐标为（2+a ，a ）
∵点A 的坐标为（a ，a ）
∴AB =|2+a-a|=2，AB 与x 轴平行 ∴11|y |2||||22
OAB B S
AB a a =⨯⨯=⨯⨯= ∵△OAB 的面积大于5而小于8，
∴5||8a << 解得：58a <<或85a -<<-
(3) ∵AB ∥x 轴
又∵MN ∥AB
∴MN ∥x 轴
∵M(2m, 3m-5) N(n-1, -2n-3), MN=AB=2 ∴3523122m n n m -=--⎧⎨--=⎩
∴3523122m n n m -=--⎧⎨--=⎩ 3523122m n n m -=--⎧⎨--=-⎩
∴47137m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或4717m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴847647,,7774M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、 或823623,,777
7M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、 【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，平方根，解三元一次方程组，三角形的面积，解不等式，审清题意，能灵活运用各个知识点之间的联系是解决的关键.
24．（1）3018a b =⎧⎨=⎩
；（2）有 4 种方案：3 台甲种机器，7 台乙种机器；2 台甲种机器，8 台乙种机器；1 台甲种机器，9 台乙种机器；
10 台乙种机器. （3）最省钱的方案是购买 2 台甲种机器，8 台乙种机器.
【解析】
【分析】
（1）根据购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多12万元，购买2台甲型机器比购买3台乙型机器多6万元这一条件建立一元二次方程组求解即可,（2）设买了x 台甲种机器,根据该公司购买新机器的资金不超过216万元，建立一次不等式求解即可,（3）将两种机器生产的产量相加,使总产量不低于1890吨，求出x 的取值范围,再分别求出对应的成本即可解题.
【详解】
（1）解：由题意得
12 236 a b
a b
-=
⎧
⎨
-=⎩
,
解得，
30
18
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
；
（2）解：设买了x台甲种机器
由题意得:30＋18(10－x)≤216
解得：x≤3
∵x为非负整数
∴x＝0、1、2、3
∴有4 种方案：
3 台甲种机器，7 台乙种机器；
2 台甲种机器，8 台乙种机器；
1 台甲种机器，9 台乙种机器；
10 台乙种机器.
（3）解：由题意得：240＋180（10－x）≥1890
解得：x≥1.5
∴1.5≤x≤ 3
∴整数x＝2 或3
当x＝2 时购买费用＝30×2＋18×8＝204(元)
当x＝3 时购买费用＝30×3＋18×7＝216(元)
∴最省钱的方案是购买2 台甲种机器，8 台乙种机器.
【点睛】
本题考查了利润的实际应用,二元一次方程租的实际应用,一元一次不等式的实际应用,难度较大,认真审题,找到等量关系和不等关系并建立方程组和不等式组是解题关键.
25．(1) 每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；（2）该商店有三种进货方案；商店购进14台A型电脑和36台B型电脑的销售利润最大；(3)见解析【解析】
【分析】
（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；然后根据销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元列出方程组，然后求解即可；
（2）根据A型电脑的进货量不少于14台，B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，列不等式组求出x的取值范围，再根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
(3)结合（2）找出y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质分m-50＜0、m-50=0和m-50＞0来解决最值问题．
【详解】
解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；
根据题意得：
10204000 20103500
a b
a b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
100
150 a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
．
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；（2）设购进A型电脑x台，则购进B型电脑（50-x）台，销售总利润为y元根据题意得，y=100x+150（50-x），
即：y=-50x+7500；
根据题意得，
14 502
x
x x
≥
⎧
⎨
-≥
⎩
，
解得：
2 1416
3
x
≤≤，
∵x为正整数，
∴x=14，15，16；
∴该商店有三种进货方案；
∵y=-50x+7500，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=14时，y取最大值，则50-x=36，
此时最大利润是y=-50×14+7500=6800．
即商店购进14台A型电脑和36台B型电脑的销售利润最大，最大利润是6800元．（3）由已知得：y=（100+m）x+150（50-x）=（m-50）x+7500，
当0<m＜50时，m-50＜0，
则购进14台A型电脑和36台B型电脑的销售利润最大；
当m=50时，m-50=0，
则A、B两种电脑随意搭配（14≤A型电脑数≤16），销售利润一样多；
当50<m100
<时，m-50＞0，
则购进16台A型电脑和34台B型电脑的销售利润最大
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握．
26．（1）甲45人，乙30人 (2) 租65座的客车2辆，45座的客车2辆，30座的3辆【解析】
分析：（1）根据题意，设甲种客车每辆能载客x人，乙两种客车每辆能载客x人，由等量关系列方程组求解即可；
（2）根据坐满的租车方案，由总人数列方程求解即可.
详解：（1）设甲种客车每辆能载客x人，乙两种客车每辆能载客x人，根据题意得
231803165x y x y +=⎧⎨+=⎩，解之得：4530x y =⎧⎨=⎩
答：甲种客车每辆能载客45人，乙两种客车每辆能载客30人.
（2）设同时租65座.45座和30座的大小三种客车各m 辆，n 辆，（7﹣m ﹣n ）辆， 根据题意得出：65m+45n+30（7﹣m ﹣n ）=303+7，
整理得出：7m+3n=20，
故符合题意的有：m=2，n=2，7﹣m ﹣n=3，
租车方案为：租65座的客车2辆，45座的客车2辆，30座的3辆．
点睛：本题考查二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的等关系式，列出对应的方程．。