2018-2019学年吉林省舒兰一中高二上学期第二次11月月考数学(理科)试卷含答案

2018-2019学年吉林省舒兰一中
高二上学期第二次（11月）月考数学（理）试卷
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题
1．已知数列 是等差数列， ，则其前 项的和是 A ．45 B ．56 C ．65 D ．78
2．在极坐标系中，点P(ρ，θ)关于极点对称的点的一个坐标是 A ．(－ρ，－θ) B ．(ρ，－θ) C ．(ρ，π－θ) D ．(ρ，π＋θ)
3．关于 的不等式 的解集是 ，关于 的不等式 解集是 A ． B ． C ． D ． 4．如果 ，那么下列不等式一定成立的是 A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，都有
，则 的值是
A ．1
B ．0
C ．3
D ．
6．设 满足约束条件
,则目标函数 的最大值为
A ．
B ．
C ．
D ．
7．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒， 1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
8．已知 为等比数列， 是它的前 项和. 若 ，且 与2 的等差中项为
，则 =
A ．31
B ．32
C ．33
D ．34
9．在 中，内角 所对的边长分别是 。

若 ，则 的形状为
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
10．设 ， ，若 是 与 的等比中项，则 的最大值为 A ．
B ．
C ．
D ．
11．如图所示，点 是抛物线 的焦点，点 分别在抛物线 及圆 的实线部分上运动，且 总是平行于 轴，则 的周长的取值范围
A ．
B ．
C ．
D ．
12的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，
D 为虚轴上的一个端点，且ABD ∆为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（ ）
A
B
C
或
D
二、填空题
13．已知数列 的前 项和 （ ），则此数列的通项公式为__________． 14．椭圆
(x ≥0,y ≥0)与直线x-y-5=0的距离的最小值为__________．
15．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,则直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的余弦值是_____. 16．在锐角 中，角 , , 所对的边长分别为 , , ，已知 ，且
,则 的周长的取值范围为________．
三、解答题
此
卷只
装订
不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
17．已知命题 ，命题 ． (1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围； (2)若m ＝2，“ ”为真命题，求实数x 的取值范围．
18．在锐角三角形 中，内角 的对边分别为 且 ． （1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的面积．
19．已知数列 是各项均为正数的等比数列，且 （1）数列 的通项公式； （2）设数列 满足
，求该数列 的前n 项和
.
20．如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝
PD.
(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求直线D Q 与面PQC 成角的正弦值
21．已知椭圆 ：
， 为右焦点，圆 ， 为椭圆 上一点，且 位于第
一象限，过点 作 与圆 相切于点 ，使得点 ， 在 的两侧.
（Ⅰ）求椭圆 的焦距及离心率； （Ⅱ）求四边形 面积的最大值
.
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高二上学期第二次（11月）月考数学（理）试卷
数学答案
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
由等差数列的等差中项得a7=6，再由求和公式和性质可得S13=13a7即可.
【详解】
∵在等差数列{a n}中，a5+a7+a9=18，∴a5+a7+a9=3a7=18，
解得a7=6，
∴该数列的前13项之和：
S13=×（a1+a13）=13a7=13×6=78．
故选：D．
【点睛】
本题考查等差数列的前n项和，利用等差数列的性质和的公式是解题的关键，属于基础题．2．D
【解析】
【分析】
把点P（ρ，θ）绕极点逆时针旋转π弧度即可．
【详解】
把点P（ρ，θ）绕极点逆时针旋转π弧度，即可得到点P关于极点对称的点，故点P（ρ，θ）关于极点对称的点的一个坐标是（ρ，θ+π），
故选：D．
【点睛】
本题主要考查在极坐标系中，求点的极坐标的方法，属于基础题．
3．A
【解析】
【分析】
由不等式ax﹣b＜0的解集知a＜0且=2，代入关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）<0中求解即可．【详解】
∵关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（2，+∞），
∴a＜0，且=2，则b=2a；
∴关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）<0，
可化为（ax+2a）（x﹣3）<0，因为a<0,即（x+2）（x﹣3）>0，
解得x>3或x<-2，∴所求不等式的解集
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解集，利用一元一次不等式的解集得到a与b的等式是关键，注意一元二次不等式的开口方向，属于基础题.
4．D
【解析】
对于选项A,因为，所以，所以即，所以选项A错误；对于选项B，，所以，选项B错误；对于选项C，，当时，，当，，故选项C错误；对于选项D，
，所以，又，所以，所以，选D.
5．D
【解析】
试题分析：因为，且四点共面，所以必有，解得，故选D．
考点：空间向量的共面问题．
6．C
【解析】
【分析】
先作出不等式组对应的可行域，如图所示，再利用线性规划求出目标函数的最大值.
【详解】
由题得不等式组对应的可行域如图所示，
由题得y=-2x+z,当直线y=-2x+z经过点A时，直线的纵截距z最大，
联立得A(),所以z最大为.
故选:C.
【点睛】
(1)本题主要考查线性规划，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)
解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.
7．C
【解析】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B1A1到E，使A1E=A1B1，连结AE，EC1，则AE∥A1B，∠EAC1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC1为正三角形，∴∠EC1B为600，故选C．
8．A
【解析】
【分析】
设等比数列{a n}的公比为q，由已知可得q和a1，代入等比数列的求和公式即可．
【详解】
设等比数列{a n}的公比为q，则可得a1q• 1q2=2a1，因为即a1q3==2，
又a4与2a7的等差中项为，所以a4+2a7=，即2+2×2q3=，
解得q=，可得a1=16，故S5=（-）
-
=31．
故选：A．
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和求和公式的应用，也利用等差数列的性质，属基础题．9．D 【解析】
余弦定理得代入原式得
解得或
则形状为等腰或直角三角形,选D.
点睛：判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用
π这个结论．
10．C
【解析】
【分析】
先由等比中项化简得2x+y=1，进一步利用均值不等式求出结果．
【详解】
因为x＞0．y＞0，若是9x与3y的等比中项，
则：（），即：2x+y=1，
由1=2x+y．（当且仅当2x=y=等号成立）
即xy
故选：C．
【点睛】
本题考查的是由基本不等式求最大值问题，也利用了等比数列的性质，属基础题．11．A
【解析】
由题意知抛物线的准线为，设、两点的坐标分别为，，则。

由消去整理得，解得，
∵在图中圆的实线部分上运动，
∴。

∴的周长为。

选A。

点睛：解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线定义的运用。

特别是对于焦点弦的问题更是这样，利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离（两点间的距离）转化成该点到准线的距离（点到直线的距离），然后再借助几何图形的性质可使问题的解决变得简单。

12．D
【解析】 ，可得右焦点(),0F c
，则
若ABD ∆表示以A 为直角顶点的直角三角形时，
若ABD ∆表示以D 为直角顶点的直角三角形时，
则AD BD ⊥，即AD BD ⊥，则0AD BD ⋅=，
a ⎪⎭
又222c a b =+，整理得4224420c a c c -+=， 则42420e e -+=，解得
D ．
13． 【解析】 【分析】
由数列的前n 项和得 ，再由a n =S n ﹣S n ﹣1（ ≥2）求得a n ，验证 即可． 【详解】
由S n =n 2
，得a 1=S 1=1，
当 ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2﹣（n ﹣1）2
=2n-1．
当n=1时 =1代入上式成立，∴a n =2n-1． 故答案为：2n-1． 【点睛】
本题考查了由数列的前n 项和求数列的通项公式的问题，应用a n =S n ﹣S n ﹣1（ ≥2）是关键，属于基础题．
14． 【解析】 【分析】
画出椭圆的图形以及直线的方程，找出曲线上的点与直线x ﹣y ﹣5=0的距离的最小值即可. 【详解】
在坐标系中画出椭圆
（ ≥0， ≥0）与直线x ﹣y ﹣5=0的图形，
如图：可知（3，0）到直线x ﹣y+5=0的距离最小，d=
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，注意x ，y 的范围，利用数形结合找出点的位置，再利用点到直线的距离公式解出即可．
15．
【解析】 【分析】
如图,以D 为坐标原点,直线DA ,DC ,DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,再利用向量法求直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的余弦值.
【详解】
如图,以D 为坐标原点,直线DA ,DC ,DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则D (0,0,0),A 1(1,0,1),B (1,1,0),C 1(0,1,1),
则 =(1,0,1), =(1,1,0),
=(-1,0,1),
设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),
则即所以
令x=1得,n=(1,-1,-1),
设直线BC1与平面A1BD所成角为θ,
则sinθ=|cos <,n>|=,故cosθ=.
故答案为：
【点睛】
（1）本题主要考查直线和平面所成角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找作（定义法）证（定义）指求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中是直线的方向向量，是平面的法向量，是直线和平面所成的角.
16．，
【解析】
设△ABC的外接圆半径为R.
由acosB +bc osA=，结合正弦定理可得
sinA cosB +sinBcosA=，∴sin(A+B)=sinC=，∴C=，
∴A+B=，2R=，∴a+b+c=2R(sinA+sinB)+c
=(sinA+sin(-A))+2=(sinA+cosA+sinA)+2
=4sin(A+)+2.
∵C=，△ABC是锐角三角形，
∴A，B∈（，），∴A+∈（，），
∴sin(A+)∈（，1]，∴a+b+c=4sin(A+)+2∈（2+2，6].
点睛：由题中式子知道sin(A+B)=sinC=，∴C=，知道一边和对角，用正弦定理，边化角，得周长范围.
17．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出命题q的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可得到结论；（2）当m=2时，求出命题，由“”为真命题，可得，至少有一个真命题，故求出，都为假命题时的取值范围，从而可得“”为真命题时的取值范围.
【详解】
(1).由得2＜x＜4，
若p是q的充分条件，所以-
+
(2).当m=2时，命题:0<x<3，若“”为真命题，则p，q至少有一个真命题即可，则当p，q 都为假命题时x的取值范围为，
所以“”为真命题时x的取值范围是.
【点睛】
本题考查的是求参数和自变量的取值范围，利用充分条件和“”为真命题的否定来解决问题，属于基础题.
18．（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）利用正弦定理及，便可求出，得到的大小；
（2）利用（1）中所求的大小，结合余弦定理求出的值，最后再用三角形面积公式求出值.
试题解析：（1）由及正弦定理，得.
因为为锐角，所以.
（2）由余弦定理，得，
又，所以，
所以.
考点：正余弦定理的综合应用及面积公式.
19．（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）由已知条件和等比数列的通项公式列出关于q 和a 1的方程组，解出q 和a 1即可.
（2）把 代入
中得
，
即，整理求出
，然后根据错位相减法求出数列{b n }的前n
项和T-n .
试题解析：（1）设等比数列 的公比为 ，由已知得
，
，
2分
又∵ ， ，解得 ， ，
3分
∴ ； 5分 （2）由题意可得
，
， （
）
两式相减得
，
∴，（） 7分
当 时， ，符合上式， ∴ ，（ ） 8分 设 ，
， 两式相减得 ，
∴ ． 1
中，
，顶点
上的
，
．
考点：1.等比数列的通项公式；2.数列的求和方法. 20．（1）见解析 （2）
【解析】 【分析】
根据题意得以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA ，DP,DC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D ﹣xyz ；（1）根据坐标系，求出 的坐标，由向量积的运算易得 =0，
=0；进而可得PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，由面面垂直的判定方法，可得证明；（2）先求平面的PQC 的法向量 ，再求出cos ＜ ， ＞，直线D Q 与面PQC 成角的正弦值等于cos ＜ ， ＞即可.
【详解】
如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA ，DP,DC 分别为x ，y ，z 轴建立空
间直角坐标系D ﹣xyz ；
（1）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0），D(0,0,0)；
则=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，﹣1，0），
所以
•
=0，
•
=0；即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，故PQ ⊥平面DCQ ，
又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ ； （2）依题意，
=（1，﹣1，0），
设=（x ，y ，z ）是平面的PQC 法向量，
则
即 - - + ，可取=（1，1，2）；
=（1，1，0），所以cos ＜ ， ＞=
设直线D Q 与面PQC 所成的角为 ，
sin =cos ＜ ， ＞=
.
【点睛】
本题考查的是面面垂直的判定和求线面角的正弦值，建立空间坐标系用向量法解决面面垂直的判定与线面角的求法要容易，注意准确写出点的坐标，也考查了计算，属于中档题. 21．（Ⅰ） ,
；（Ⅱ）
. 【解析】
分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何性质求椭圆 的焦距及离心率. （Ⅱ）设 （ ， ），先求出四边形 面积的表达式 四边形
.
（Ⅰ）在椭圆 ：
中， ， ， 所以 ，
故椭圆的焦距为，离心率．
（Ⅱ）设（，），
则，故．
所以，
所以，
．
又，，故．
因此
四边形
．
由，得，即，
，
所以
四边形
当且仅当，即，时等号成立.
的表达式和化简，由于四边形是不规则的图点睛：本题的关键在于求此
四边形
，其面积求出来之后，又要利用已知形，所以用割补法求其面积
四边形
条件将其化简为，再利用基本不等式求其最小值.。