离散数学期末考试试题(有几套带答案)

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离散数学试题(A卷及答案)

一、证明题(10分)

1)(⌝P∧(⌝Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)⇔R

证明: 左端⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔((⌝P∧⌝Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ⇔(⌝(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∨(Q∨P))∧R

⇔(⌝(P∨Q)∨(P∨Q))∧R⇔T∧R(置换)⇔R

2)∃x(A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)

证明:∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x)

二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分)

证明:(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)⇔⌝(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))

⇔(⌝P∧(⌝Q∨⌝R))∨(P∧Q∧R)

⇔(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R))∨(P∧Q∧R)

⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧⌝R))∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R))∨(P∧Q∧R)

⇔m0∨m1∨m2∨m7

⇔M3∨M4∨M5∨M6

三、推理证明题(10分)

1)C∨D, (C∨D)→⌝E, ⌝E→(A ∧⌝B), (A∧⌝B)→(R∨S)⇒R∨S

证明:(1) (C∨D)→⌝E (2) ⌝E→(A∧⌝B)

(3) (C∨D)→(A∧⌝B)

(4) (A∧⌝B)→(R∨S)

(5) (C∨D)→(R∨S)

(6) C∨D

(7) R∨S

2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)),∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) 证明(1)∃xP(x)

(2)P(a)

(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))

(4)P(a)→Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a)

(6)Q(y)

(7)R(a)

(8)P(a)

(9)P(a)∧R(a)

(10)∃x(P(x)∧R(x))

(11)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))

四、设m是一个取定的正整数,证明:在任取m+1个整数中,至少有两个整数,它们的差是m的整数倍

证明设

1

a,2a,…,1+m a为任取的m+1个整数,用m去除它们所得余数

只能是0,1,…,m-1,由抽屉原理可知,

1

a,2a,…,1+m a这m+1个整

数中至少存在两个数

s

a和t a,它们被m除所得余数相同,因此s a和t a的差是m的整数倍。

五、已知A、B、C是三个集合,证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) (15分)证明∵x∈ A-(B∪C)⇔ x∈ A∧x∉(B∪C)⇔ x∈ A∧(x∉B∧x∉C)⇔(x∈ A∧x∉B)∧(x∈ A∧x∉C)⇔ x∈(A-B)∧x∈(A-C)⇔ x∈(A-B)∩(A-C)∴A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)

六、已知R、S是N上的关系,其定义如下:R={| x,y∈N∧y=x2},S={| x,y∈N∧y=x+1}。求R-1、R*S、S*R、R{1,2}、S[{1,2}](10分)

解:R-1={| x,y∈N∧y=x2},R*S={| x,y∈N∧y=x2+1},S*R={| x,y∈N∧y=(x+1)2},

七、若f:A→B和g:B→C是双射,则(gf)-1=f-1g-1(10分)。

证明:因为f、g是双射,所以gf:A→C是双射,所以gf有逆函数

(gf)-1:C→A。同理可推f-1g-1:C→A是双射。

因为∈f-1g-1⇔存在z(∈g-1∧∈f-1)⇔存在z(∈f∧∈g)⇔∈gf⇔∈(gf)-1,所以(gf)-1=f-1g-1。

R{1,2}={<1,1>,<2,4>},S[{1,2}]={1,4}。

八、(15分)设是半群,对A中任意元a和b,如a≠b必有a*b≠b*a,证明:

(1)对A中每个元a,有a*a=a。

(2)对A中任意元a和b,有a*b*a=a。

(3)对A中任意元a、b和c,有a*b*c=a*c。

证明由题意可知,若a*b=b*a,则必有a=b。

(1)由(a*a)*a=a*(a*a),所以a*a=a。

(2)由a*(a*b*a)=(a*a)*(b*a)=a*b*(a*a)=(a*b*a)*a,所以有a*b*a=a。

(3)由(a*c)*(a*b*c)=(a*c*a)*(b*c)=a*(b*c)=(a*b)*c=(a*b)*(c*a*c)=(a*b*c)*(a*c),所以有a*b*c=a*c。

九、给定简单无向图G=,且|V|=m,|E|=n。试证:若n≥2

1-

m

C+2,则G是哈密尔顿图

证明若n≥2

1-

m

C+2,则2n≥m2-3m+6 (1)。

若存在两个不相邻结点u、v使得d(u)+d(v)<m,则有2n=∑

∈V

w

w

d)

(<m+(m

-2)(m-3)+m=m2-3m+6,与(1)矛盾。所以,对于G中任意两个不相邻结点u、v都有d(u)+d(v)≥m,所以G是哈密尔顿图。

离散数学试题(B卷及答案)

一、证明题(10分)

1)((P∨Q)∧⌝(⌝P∧(⌝Q∨⌝R)))∨(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R)⇔T

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