湖北省武汉市部分学校高三数学二月调研考试试题 理

湖北省部分学校2015届高三毕业生（二）月调研考试
数 学（理 科）试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、下列函数中，定义域和值域相同的是（ ）
A ．2y x =和2x y =
B ．sin y x =和tan y x =
C ．3
y x =和2log y x = D ．2y x =和y x =
2、定义{},x y x y A +B =+∈A ∈B ，设集合{}0,1i M =+，
130,2i i --⎧⎫
N =⎨⎬+⎩⎭，则集合M+N 中元素的个数为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 3、某班5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作，每个地段至少有1名学生的分配方案共有（ ）
A ．60种
B ．90种
C ．150种
D ．240种
4、设抛物线1C :22y x =与双曲线2C :22
221x y a b -=的焦点重合，且双曲线2C
的渐近线为3y x =±，则双曲线2C 的实轴长为（ ）
A ．1
B ．12
C ．14
D ．116 5、把函数
cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移12π，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 为（ ）
A ．周期为π的奇函数
B ．周期为π的偶函数
C ．周期为2π的奇函数
D ．周期为2π的偶函数 6、某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）
A ．2
B ．5
C ．6
D ．3
7、设0x >，则“1a ≥”是“
2a x x +
≥恒成立”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8、某科研所共有职工20人，其年龄统计表如下：由于电脑故障，有两个数字在表格中不能显示出来，
则下列说法正确的是（ ）
A ．年龄数据的中位数是40，众数是38
B ．年龄数据的中位数和众数一定相等
C ．年龄数据的平均数()
39,40x ∈ D ．年龄数据的平均数
一定大于中位数
9、如图所示，若输入的n 为10，那么输出的结果是（ ） A ．45 B ．110 C ．90 D ．55
10、设椭圆22214x y a +=和双曲线22
221x y a b -=有共同的焦点，连接
椭圆的焦点和短轴的一个端点所得直线和双曲线的一条渐近线平行，设双曲线的离心率为e ，则2
e 等于（ ）
A ．512+
B ．31
2+
C ．3
D ．5
二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．） （一）必做题（11—14题）
11、已知矩形CD AB 中，2AB =，C 1B =，点P 是D B 上任意一点，则()
C
BP⋅PA +P u u u r u u u r u u u r 的取值范围是 ．
12、在三角形C AB 中，A ，B ，C 是三角形C AB 的内角，设函数
()22C 2sin
sin sin cos 2222f ππB +A A A ⎛⎫⎛
⎫A =-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f A 的最大值为 ．
13、设x ，y 满足约束条件()2log 221x y x y +≤⎧⎪⎨
-≤⎪⎩，则z x y =+的最大值为 ．
14、已知矩形CD AB 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按15题作答结果计分）
15、（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知直线PA 切圆O 于点A ，直线PO 交圆O 于点B 、C ，若C 23P =+，1PA =，则圆O
的半径长为 ． 16、（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建坐标系，已知抛物线C:2
2y px =（0p >），直线l 的参数方程：2
22242x t y t
⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-+
⎪
⎩
（t 为
参数）．写出抛物线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程 、 ． 三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、（本小题满分12分）设函数
()()
2cos 23sin cos cos 2f x x x x a x π⎛⎫
=-++ ⎪
⎝⎭的一个零点是
12x π
=
．
()1求函数()f x 的周期； ()2求函数()f x 单调增区间．
18、（本小题满分12分）已知公比为负值的等比数列
{}n a 中，154a a =，41a =-．
()1求数列{}n a 的通项公式；
()2设
()
111
12231n n n n b n n +++=
++⋅⋅⋅+⨯⨯+，求数列
{}n n a b +的前n 项和n S ．
19、（本小题满分12分）农科院分别在两块条件相同的试验田分别种植了甲、乙两种杂粮作物，从两块试验田中任意选取6颗该种作物果实，测得籽重（单位：克）数据如下： 甲种作物的产量数据：
111 111 122 107 113 114
乙种作物的产量数据：
109 110 124 108 112 115
()1作出两组数据的茎叶图；
()2设1颗杂粮作物果实的籽重为x ，若()110,120x ∈，则称该果实为标准果实，现从上述
12颗果实中任选3颗，记标准果实的颗数为X ，求随机变量X 的期望．
20、（本小题满分12分）如图所示，在矩形CD AB 中，D 1A =，2AB =，点E 是线段AB 的中点，把三角形D AE 沿D E 折起，设折起后点A 的位置为P ，F 是D P 的中点．
()1求证：无论P 在什么位置，都有F//A 平面C PE ； ()2当点P 在平面CD AB 上的射影落在线
段D E 上时，求二面角C D P -E -的余弦值．
21、（本小题满分13分）已知椭圆1C :2241x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 是1
C
上任意一点，O 是坐标原点，
12Q F F O =P +P u u u r u u u r u u u r
，设点Q 的轨迹为2C ． ()1求点Q 的轨迹2C 的方程；
()2若点T 满足：2OT =MN +OM +ON u u u r u u u u r u u u u r u u u r
，其中M ，N 是2C 上的点，且直线OM ，ON
的斜率之积等于1
4-
，是否存在两定点A ，B ，使TA +TB
为定值？若存在，求出这个
定值；若不存在，请说明理由．
22、（本小题满分14分）已知函数
()ln 2
f x x ax =-+，R a ∈是常数．
()1若函数()y f x =的图象在点()(),a f a （0a >）与直线y b =相切，求a 和b 的值； ()2若函数()y f x =有两个零点，求实数a 的取值范围．
11。