【数学】云南省文山州2021届高三10月教学质量检测试题(理)(解析版)
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【解析】作出不等式组 所表示的可行域如下图所示：
联立 ，解得 ，即点 ，
平移直线 ，当直线 经过可行域的顶点 时，直线 在 轴上的截距最小，此时 取最小值，即 .
故答案 ： .
14.已知 ， 且 ，则 _____.
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，即 ，
∴ .
故答案为： .
15.在正三棱锥 中， ， ，则三棱锥 外接球的表面积为_____.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为函数 在 上单调递减，
所以 ，
由于函数 和函数 在第一象限为增函数，
所以 ， ，
故 .
故选：A.
11.已知函数 ，则下列说法错误的是（）
A. 的一条对称轴为
B.
C. 的对称中心为
D. 的最大值为
【答案】C
【解析】由已知得：对于选项A， ，正确；
对于选项B， ，正确；
注意事项：
本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.把答案填写在答题卡上相应的位置，在试题卷上作答无效.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知 、 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为_____.
【答案】
∴常数项为60，
故选：D.
7.若a，b为正实数，且 ，则 的最小值为（）
A. 2B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】因为a，b为正实数，
所以
，
当且仅当 时，即 时，“=”成立.
故选：A.
8.对于奇函数 ，若对任意的 ， ，且 ，则当 时，实数a的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵ 是奇函数，
（1）完成 列联表，并回答能否有85%的把握认为“得分是否优秀与性别有关”？
优秀
知识点欠缺
合计
男生
女生
合计
100
（2）从被调查的优秀学生中，利用分层抽样抽取13名学生，再从这13名学生中随机抽取2名学生介绍答题经验，求被抽取的两名学生中恰有一名男生与一名女生的概率.
参考公式： .
附：
0.15
0.10
对于选项C， ，错误；
对于选项D，令 ，
∴ ，
∴当 时， ，正确，
故选：C.
12.已知双曲线 上关于原点对称的两个点P，Q，右顶点为A，线段 的中点为E，直线 交x轴于 ，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知得M为 的重心，∴ ，又 ，∴ ，即 .
故选:D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
云南省文山州2021届高三10月教学质量检测数学试题(理)
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合 ， ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由已知得 ，
或 ，
所以 ，
故选：B.
2.已知 ，其中 ， 是实数， 为虚数单位，则 （）
∴ 可转化为 ，
又∵对任意的 ， ，且 ，
∴ 在 上为单调递增函数，
∴ ，解得 .
故选：D.
9.已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则 的面积为（）
A. 1B. 2C. 4D. 6
【答案】A
【解析】由 得 ，则 ，
又 为三角形内角，∴ ，
又 ，
所以 ，则 ，
∴ .
故选：A.
10.已知 ，则（）
当 时， ， 单调增，
所以当 时， ；
又当 时， ；而令 ，
综上： .
故答案为: .
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知数列 成等差数列，各项均为正数的数列 成等比数列， ，且 ， .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 .
解：（1）因为 是等比数列，所以 ，又 ，所以 ，
设等差数列 的公差为 ，
由 ，两式相减得 ， ，所以 ， ， Nhomakorabea所以 ，
而 ，所以 ．
（2）由（1）得 ，
．
18.某中学高三年级组织了西南四省第一次联考，为了了解学生立体几何得分情况，现在在高三年级中随机抽取100名同学进行调查，其中男生和女生的人数之比为 ，满分为12分，得分大于等于8分为优秀，否则为知识点存在欠缺，已知男生优秀的人数为35人，女生得分在8分以下的有15人.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵ ，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
∴ .
故选：A.
3.直线 与圆 有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】已知 ，即圆心 ，半径 ，
当直线与圆有两个不同的交点，直线与圆的位置关系是相交关系，
所以圆心到直线 的距离为 ，
20
55
女生
30
15
45
合计
65
35
100
解得 ，
由于要求使得直线与圆相交的充分不必要条件，
故只需要满足是 的子集的取值范围即可满足.
故选：C.
4. 2020年6月17日15时19分，星期三，酒泉卫星发射中心，我国成功发射长征二号丁运载火箭，并成功将高分九号03星、皮星三号A星和德五号卫星送入预定轨道，携三星入轨，全程发射获得圆满成功，祖国威武.已知火箭的最大速度v（单位： ）和燃料质量M（单位： ），火箭质量m（单位： ）的函数关系是： ，若已知火箭的质量为3100公斤，燃料质量为310吨，则此时v的值为多少（参考数值为 ； ）（）
【答案】
【解析】设点 为 的外心，则 平面 ，
则三棱锥 的外接球球心 在直线 上，设其外接球的半径为 ，
由正弦定理得 ， ，
在 中， ，
由勾股定理得 ，即 ，解得 ，
故答案为： .
16.已知函数 （e为自然对数的底数），若 有三个零点，则实数 的取值范围为_____.
【答案】
【解析】设 ，
当 时， ， 单调减，
A. 13.8B. 9240C. 9.24D. 1380
【答案】B
【解析】 ，
故选：B.
5.执行如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，
故选:C.
6.在 的展开式中，常数项为（）
A. B. 15C. D. 60
【答案】D
【解析】 ，
令 ，即 ，
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.842
5024
6.635
7.879
10.828
解：（1）被调查的学生中女生人数为 ，男生人数为 ，
男生优秀的人数为35，知识点欠缺的人数为20，女生知识点欠缺的人数为15，优秀的人数为30.
列联表如下：
优秀
知识点欠缺
合计
男生
35
联立 ，解得 ，即点 ，
平移直线 ，当直线 经过可行域的顶点 时，直线 在 轴上的截距最小，此时 取最小值，即 .
故答案 ： .
14.已知 ， 且 ，则 _____.
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，即 ，
∴ .
故答案为： .
15.在正三棱锥 中， ， ，则三棱锥 外接球的表面积为_____.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为函数 在 上单调递减，
所以 ，
由于函数 和函数 在第一象限为增函数，
所以 ， ，
故 .
故选：A.
11.已知函数 ，则下列说法错误的是（）
A. 的一条对称轴为
B.
C. 的对称中心为
D. 的最大值为
【答案】C
【解析】由已知得：对于选项A， ，正确；
对于选项B， ，正确；
注意事项：
本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.把答案填写在答题卡上相应的位置，在试题卷上作答无效.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知 、 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为_____.
【答案】
∴常数项为60，
故选：D.
7.若a，b为正实数，且 ，则 的最小值为（）
A. 2B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】因为a，b为正实数，
所以
，
当且仅当 时，即 时，“=”成立.
故选：A.
8.对于奇函数 ，若对任意的 ， ，且 ，则当 时，实数a的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵ 是奇函数，
（1）完成 列联表，并回答能否有85%的把握认为“得分是否优秀与性别有关”？
优秀
知识点欠缺
合计
男生
女生
合计
100
（2）从被调查的优秀学生中，利用分层抽样抽取13名学生，再从这13名学生中随机抽取2名学生介绍答题经验，求被抽取的两名学生中恰有一名男生与一名女生的概率.
参考公式： .
附：
0.15
0.10
对于选项C， ，错误；
对于选项D，令 ，
∴ ，
∴当 时， ，正确，
故选：C.
12.已知双曲线 上关于原点对称的两个点P，Q，右顶点为A，线段 的中点为E，直线 交x轴于 ，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知得M为 的重心，∴ ，又 ，∴ ，即 .
故选:D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
云南省文山州2021届高三10月教学质量检测数学试题(理)
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合 ， ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由已知得 ，
或 ，
所以 ，
故选：B.
2.已知 ，其中 ， 是实数， 为虚数单位，则 （）
∴ 可转化为 ，
又∵对任意的 ， ，且 ，
∴ 在 上为单调递增函数，
∴ ，解得 .
故选：D.
9.已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则 的面积为（）
A. 1B. 2C. 4D. 6
【答案】A
【解析】由 得 ，则 ，
又 为三角形内角，∴ ，
又 ，
所以 ，则 ，
∴ .
故选：A.
10.已知 ，则（）
当 时， ， 单调增，
所以当 时， ；
又当 时， ；而令 ，
综上： .
故答案为: .
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知数列 成等差数列，各项均为正数的数列 成等比数列， ，且 ， .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 .
解：（1）因为 是等比数列，所以 ，又 ，所以 ，
设等差数列 的公差为 ，
由 ，两式相减得 ， ，所以 ， ， Nhomakorabea所以 ，
而 ，所以 ．
（2）由（1）得 ，
．
18.某中学高三年级组织了西南四省第一次联考，为了了解学生立体几何得分情况，现在在高三年级中随机抽取100名同学进行调查，其中男生和女生的人数之比为 ，满分为12分，得分大于等于8分为优秀，否则为知识点存在欠缺，已知男生优秀的人数为35人，女生得分在8分以下的有15人.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵ ，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
∴ .
故选：A.
3.直线 与圆 有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】已知 ，即圆心 ，半径 ，
当直线与圆有两个不同的交点，直线与圆的位置关系是相交关系，
所以圆心到直线 的距离为 ，
20
55
女生
30
15
45
合计
65
35
100
解得 ，
由于要求使得直线与圆相交的充分不必要条件，
故只需要满足是 的子集的取值范围即可满足.
故选：C.
4. 2020年6月17日15时19分，星期三，酒泉卫星发射中心，我国成功发射长征二号丁运载火箭，并成功将高分九号03星、皮星三号A星和德五号卫星送入预定轨道，携三星入轨，全程发射获得圆满成功，祖国威武.已知火箭的最大速度v（单位： ）和燃料质量M（单位： ），火箭质量m（单位： ）的函数关系是： ，若已知火箭的质量为3100公斤，燃料质量为310吨，则此时v的值为多少（参考数值为 ； ）（）
【答案】
【解析】设点 为 的外心，则 平面 ，
则三棱锥 的外接球球心 在直线 上，设其外接球的半径为 ，
由正弦定理得 ， ，
在 中， ，
由勾股定理得 ，即 ，解得 ，
故答案为： .
16.已知函数 （e为自然对数的底数），若 有三个零点，则实数 的取值范围为_____.
【答案】
【解析】设 ，
当 时， ， 单调减，
A. 13.8B. 9240C. 9.24D. 1380
【答案】B
【解析】 ，
故选：B.
5.执行如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，
故选:C.
6.在 的展开式中，常数项为（）
A. B. 15C. D. 60
【答案】D
【解析】 ，
令 ，即 ，
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.842
5024
6.635
7.879
10.828
解：（1）被调查的学生中女生人数为 ，男生人数为 ，
男生优秀的人数为35，知识点欠缺的人数为20，女生知识点欠缺的人数为15，优秀的人数为30.
列联表如下：
优秀
知识点欠缺
合计
男生
35