2平面简谐波

四、波的能量 波的强度
形变最小
１、能量密度 能量密度 取体积元dV， 取体积元 ， dV 体元内质量为 dm =ρdV 形变最大， x ) 形变最大，速度最大 y = A cosω ( t u (t ∂y = Aω sinω ( t x ) v= u ∂t dWk = 1 dm v 2 2 1 ρdV A2 2sin2 ( t x ) ω ω = 2 u 可以证明： 可以证明：dWk = dW p
20m
(m)
x
ϕ =−
π
2
x ∴ y = A cos[ω (t + ) + ϕ ] u
（1）知道 点的振动方程 求 a 点 点 的 相 位 差 → ）知道a点的振动方程 与 o （2）知道 点的振动方程 任 意 点 与 a的 x → ）知道a点的振动方程 坐 标 差 ∆ （由相位的落后领先） 由相位的落后领先） → 波动方程 o点的振动表达式 任 意 点 x → 波动方程 点的振动表达式
2π
λ
( x − x0 ) + ϕ ′]
例2、波形图如下，求波的表达式。 、波形图如下，求波的表达式。
解：由波形图： 由波形图： 注：此时间内没有超过一个周期
r u
t = 2s t = 0
A
160m
{
20 λ = 160m u = ∆t = 10m / s 2π 2πu 20π π ω= = = = T λ 160 8
dm
振动动能
+
形变势能 = 波的能量
dW= dWk +dW p = 2 dWk 2 2 2 (t x ) A = dVρ ω sinω u dW ρA2 2sin2 ( t ω ω = 能量密度: 能量密度 w = dV 平均能量密度： 平均能量密度： w =T
1
x u )
∫
T
w dt 0
2 2
=ρAω
这表示相应于位移y 的相位， 这表示相应于位移 1的相位，向前传播了 uΔt的距离 的距离。 的距离
例1、已知 点的振动方程为 ya = A cos(ωt + ϕ ′)， 、已知a点的振动方程为
波的传播方向是沿x轴正方向传播 它距波源为 x0，波的传播方向是沿 轴正方向传播 r 求波动方程。 的。求波动方程。 u
波 动 方 程
§平面简谐波
一、简谐波： 简谐波：
1. 定义：简谐波是简谐振动的传播。 定义：简谐波是简谐振动的传播。 如果波源的振动是简谐振动， 如果波源的振动是简谐振动，介质也不 吸收波动的能量，那么介质中的质点也将作 吸收波动的能量， 简谐振动，这样的波称为简谐波。 简谐振动，这样的波称为简谐波。 行波： 行波：振动状态和能量都在传播的波 平面简谐波是最简单的行波
(1) 任一时刻，媒质中质元动能和势能相等，同时到 任一时刻，媒质中质元动能和势能相等， 达最大值，同时达到最小值（即零）。 达最大值，同时达到最小值（即零）。 (2) 质元的总能量不是一个常量，而是随时间作周期 质元的总能量不是一个常量 总能量不是一个常量， 性的变化。这表明在波动中， 性的变化。这表明在波动中，每个质元都在不断吸 收和放出能量，将能量不断传播出去。 收和放出能量，将能量不断传播出去。 (3) 波动传播能量的特点是：能量随着波动传播过去 波动传播能量的特点 特点是 但那些携带能量的质元并没有跑过去， 了，但那些携带能量的质元并没有跑过去，每个质 元都只是在各自的平衡位置附近振动， 元都只是在各自的平衡位置附近振动，传过去的只 能量。 是能量。
一维简谐波的波的表达式（右行） 一维简谐波的波的表达式（右行）
3、波动方程的物理意义 常数) 常数 x （1） = x 1 (常数
y ( x, t ) = A cos[ωt −
y o
2πx1
λ
+ ϕ0 ]tBiblioteka 表示 x1 处质点的振动方程
常数) 常数 t （2）. = t 1 (常数 y o x
y( x, t ) = A cos[ωt1 −
表示在 t 1 时刻的波形
2πx
λ
+ ϕ0 ]
（3） t 与 x 都发生变化 x t = t1 y 1 = A cos ω ( t 1 u ) + ϕ x t = t 1+∆ t y ´= A cos ω ( t 1+∆ t u ) + ϕ y
.
.
y1 y´
O 令 y 1= y ´
x
x´
u∆t
x
得：x ´= x +u∆ t
波速ｕ 2、选: 任意点为参考点 参考点 a 任一点ｐ 初相为ϕa， 则 o · ·
d
x
已知: 参考点a 已知: 参考点 的振动表达式为
2π (x − d) p: A,ω 均与 点的相同, 但相位落后 A,ω 均与a 点的相同, λ
x
ya(t)=Acos(ω t+ϕa) +ϕ
振动表达式
2π y ( x , t ) = A cos[ ω t + ϕ a − ( x − d )] λ
五、惠更斯原理
1. 波动的描述：（ ）波函数 （2）几何描述 波动的描述：（ ：（1） ） 几个概念： 几个概念：
(1) 波面：振动相位相同的 波面： 点组成的面称波面。 点组成的面称波面。波面是 平面的波称为平面波，波面 平面的波称为平面波， 是球面的波称为球面波。 是球面的波称为球面波。 (2) 波前 波阵面 ：传播过 波前(波阵面 波阵面)： 程中处在最前面的那个波面 称为波前或波阵面。 称为波前或波阵面。
x dt ∫ 0 sinω (t u ) T
1
T
2 2
1 ρA2 ω w=2
２、波的强度
能流P :单位时间通 能流 单位时间通 过某一面积的波能。 过某一面积的波能。 u S u
P=Swu
平均能流P 能流在一个周期内的平均值。 平均能流 : 能流在一个周期内的平均值。
P = S wu
波的强度 I（能流密度）:通过垂直于波的传 （能流密度） 通过垂直于波的传 播方向的单位面积的平均能流。 播方向的单位面积的平均能流。 1ρ 2 2 I = w u = 2 Aω u
三、平面波的波动微分方程
我们已经得到了简谐波的波动方程为： 我们已经得到了简谐波的波动方程为：
x y = A cos[ω (t − ) + ϕ )] u
将其对t， 分别求二阶偏导数 分别求二阶偏导数， 将其对 ，x分别求二阶偏导数，得： ∂2 y x 2 = − Aω cos[ω (t − ) + ϕ )] 2 ∂t u ∂2 y ω2 x = − A 2 cos[ω (t − ) + ϕ )] 2 ∂x u u
.
.
o
点的相位比a超前 解1：o点的相位比 超前： ： 点的相位比 超前：
x0
a
ω o点的振动方程：yo = A cos[ t + 点的振动方程： 点的振动方程
2π
λ
xo + ϕ′]
以o为坐标原点的 为坐标原点的 2π 2π ω y = Acos[ t − x + ( x0 + ϕ′)] 波动方程： 波动方程： λ λ
[ 的 坐 标系 x → 点的振动表达式 在 a点 中 ] = x o点的振动表达式
0
（3）知道任意点 的振动方程以 a → 波动表达式 ）知道任意点a的振动方程 点 为 原 点 波动方程
r （4）波形图 λ , A, u ） →
初位相φ是由 ＝ 时的波形决定的 时的波形决定的。 初位相 是由t＝0时的波形决定的。 是由
t时刻波面→ t+∆t时刻波面→波的传播方向 时刻波面→ ∆ 时刻波面 时刻波面→ 时刻波面
讨论： 讨论：
1.各向同性均匀媒质中波面与波线不变。 各向同性均匀媒质中波面与波线不变。 各向同性均匀媒质中波面与波线不变 2.能够定性地解释波的衍射现象。 能够定性地解释波的衍射现象。 能够定性地解释波的衍射现象 3.可以推导出波的反射定律和折射定律。 可以推导出波的反射定律和折射定律。 可以推导出波的反射定律和折射定律 4.不足：只解决波的传播问题，没解决 不足：只解决波的传播问题， 不足 这些子波对媒质各点的振动强度贡献问题
一维简谐波的波的表达式（右行） 一维简谐波的波的表达式（右行）
y P = A cos[ωt −
2π
λ
∆x
λ
x + ϕ0 ]
下述几式等价： 下述几式等价：
λ x y( x, t ) = A cos[ω (t − ) + ϕ0 ] u x y( x, t ) = A cos[2π (νt − ) + ϕ 0 ] λ 2π ′ y( x, t ) = Acos[ ( x − ut) + ϕ0 ] λ ω = 2π /T ′ y(x, t) = Acos[k(x − ut) + ϕ0 ] u = λ /T ω 2π T 2π k= = = k 角波数 u λT λ
∂2 y 1 ∂2 y 比较上两式， 比较上两式，得： = 2 2 2 ∂x u ∂t
（波动微分方程） 波动微分方程）
∂2 y 1 ∂2 y = 2 2 2 ∂x u ∂t
对于任一沿x方向传播的平面波， 对于任一沿 方向传播的平面波，如果不是简谐 方向传播的平面波 可以认为是由许多不同频率的平面简谐波合成， 波，可以认为是由许多不同频率的平面简谐波合成， 将其对x和 求二阶导数后 所得结果仍然是上式， 求二阶导数后， 将其对 和t求二阶导数后，所得结果仍然是上式， 所以上式反映的是一切平面波都必须满足的微分方 程。
2. 波是相位的传播 沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。 沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。
u a ·
∆x
传播方向
b ·
x
图中b点比 点的相位 图中 点比a点的相位落后 点比 点的相位落后
2π ∆ϕ = ∆x λ
一维简谐波的表达式(波函数 波函数) 二. 一维简谐波的表达式 波函数
讨论: 沿+x方向传播的一维简谐波(u , ω ) 讨论: 方向传播的一维简谐波( 方向传播的一维简谐波 假设: 媒质无吸收( 假设: 媒质无吸收(质元振幅均为A) 1、选: 原点o为参考点。 初相为ϕ0 ，则 原点o为参考点。
角波数在数值上等于2π长度上的完整波数目 角波数在数值上等于 长度上的完整波数目
y( x, t ) = A cos[ωt −
2πx
+ ϕ0 ]
注：若u沿x轴负向，P点的振动领先： 轴负向， 点的振动领先： 2πx y( x, t ) = A cos[ωt + + ϕ0 ] λ
x y ( x, t ) = A cos[ω (t + ) + ϕ 0 ] u x y( x, t ) = A cos[2π (νt + ) + ϕ0 ] λ 2π ′ y( x, t ) = Acos[ ( x + ut) + ϕ0 ] λ ′ y( x, t ) = A cos[k ( x + ut) + ϕ0 ] y u x x o P
波射线 波面
波前
波射线
波面 波前
波面
波射线 波前
波面 波前
波射线
(3) 波线：波的传播方向称为波线或波射线，它是 波线：波的传播方向称为波线或波射线， 能量传输的方向。在各向同性的媒质中， 能量传输的方向。在各向同性的媒质中，波线总是 与波面垂直。 与波面垂直。
2. 惠更斯原理： 惠更斯原理：
(1) 目的：只要知道某一时刻的波阵面，就可以用 目的：只要知道某一时刻的波阵面， 几何方法决定下一时刻的波面。 几何方法决定下一时刻的波面。 (2) 原理：媒质中任一波阵面上的各点，都可以看 原理：媒质中任一波阵面上的各点， 作是发射子波的波源，其后任一时刻， 作是发射子波的波源，其后任一时刻，这些子波的 包络面就是新的波阵面。 包络面就是新的波阵面。 (3) 应用：对任何波动过程都适用，不论是机械波 应用：对任何波动过程都适用， 或是电磁波， 或是电磁波，不论这些波动经过的媒质是均匀的或 非均匀的。因而可以广泛地帮助我们研究波的传播。 非均匀的。因而可以广泛地帮助我们研究波的传播。
y x
u P x
o
y
点的振动： （1）o点的振动： ） 点的振动
u x P x
o y0 = A cos(ωt + ϕ0 )
（2） p点相位落后 ∆ϕ = ） 点相位落后
2π
∆x 这个形式传到P点需要的时间 点需要的时间： 或：这个形式传到 点需要的时间：∆t = u x P点的振动：y P = A cos[ω (t − ) + ϕ 0 ] 点的振动： 点的振动 u
.
o
r u
x0
.
a
λ
∆x
p
λ
点的相位比a落后 解2：p点的相位比 落后： 2 π ∆ x = 2 π ( x − x 0 ) ： 点的相位比 落后： a点的振动方程：ya = A cos[ωt + ϕ ′)] 点的振动方程： 点的振动方程 即得波动方程： 即得波动方程：
y p = A cos[ωt −