2020年陕西省西安市第八十五中学高一数学理测试题含解析

2020年陕西省西安市第八十五中学高一数学理测试题
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）
A．（﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，）D．（﹣，1）
参考答案：
D
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：∵函数f（x）=+lg（3x+1），
∴；
解得﹣＜x＜1，
∴函数f（x）的定义域是（﹣，1）．
故选：D．
2. 函数的定义域是( )
A.(3,+∞)
B.[3, +∞)
C.(4,
+∞) D.[4, +∞)
参考答案：
D
3. 函数，若实数x0是函数的零点，且0＜x1＜x0，则f（x1）（）A．恒为正值B．恒为负值C．等于0 D．不大于0
A
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】利用函数的单调性和函数零点的存在性定理进行判断．
【解答】解：函数在（0，+∞）上单调递减，
若实数x0是函数的零点，则f（x0）=0．
∵0＜x1＜x0，
∴f（x1）＞f（x0）=0．
即f（x1）恒为正值．
故选A．
4. 若平面向量和互相平行，其中.则
（）
A．（2,-4）B．（-2，4）C．（-2,0）或（2，-4）D．（-2,0）或（-2，4）
参考答案：
C
5. 函数的零点所在的区间是（）
A． B． C． D．
参考答案：
若，则，得，令，可得
，因此f(x)零点所在的区间是.答案为C. 6. 设分别为的三边的中点，则
A． B. C. D.
A
7. 的值是 ( )
A. B. C. D. 参考答案：
D
略
8. 在中，分别为三个内角所对的边，设向量=(b－c,c－a)，=(b,c+a)，若⊥，则角的大小为( )
A．B． C. D．
参考答案：
B
9. 若a=2，b=logπ3，c=log2sin，则（）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
参考答案：
A
【考点】不等式比较大小．
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解．
【解答】解：∵a=2＞20=1，
0=logπ1＜b=logπ3＜logππ=1，
c=log2sin＜log21=0，
∴a＞b＞c．
故选：A．
10. 已知数列{a n}为等比数列，其前n项和为S n，若a6=8a3，则的值为（）
A．18 B．9 C．8 D．4
参考答案：
B
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a6=8a3，∴q3=8，解得q=2．
则==23+1=9．
故选：B．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数y=3cos（x+φ）﹣1的图象关于直线x=对称，其中φ∈[0，π]，则φ的值为．
参考答案：
【考点】余弦函数的图象．
【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性可得+φ=kπ，由此求得φ的最小正值．【解答】解：∵函数y=3cos（x+φ）﹣1的图象关于直线x=对称，其中φ∈[0，π]，
∴+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z，
则φ的最小正值为，
故答案为：．
12. 给出下列命题：①若，则；②若，，则
；③若，则；④；⑤若，
，则，；⑥正数，满足，则的最小值为．其中正确命题的序号是__________．
参考答案：
②③④⑤
①令，，，，
，不符合．
②若，，则（当且仅当时，取等号），
又，
，
∴，综上，．
③若，则，，
因此，，故③正确．
④，
，
故④正确．
⑤若，，
∴，则，
∴，，
⑤正确．
⑥正数，满足，则，
，
⑥错，
∴②③④⑤正确．
13. 不等式的解集为▲．
参考答案：
略
14. 如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，
,,则这个平面图形的面积为_____________
参考答案：
15. 已知在定义域R上为减函数，且，则a的取值范围是
.
参考答案：
略
16. 用列举法表示集合__________．
参考答案：
【分析】
先将的表示形式求解出来，然后根据范围求出的可取值.
【详解】因为，所以，又因为，所以
，此时或，则可得集合：.
【点睛】本题考查根据三角函数值求解给定区间中变量的值，难度较易.
17. 设是R上的奇函数，且当时，，则
．
参考答案：
－2
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 2013年4月20日，四川省雅安市发生7.0级地震，某运输队接到给灾区运送物资任务，该运输队有8辆载重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送720t救灾物资．已知每辆卡车每天往返的次数为A型车16次，B型车12次，每辆卡车每天往返的成本为A型车240元，B型车378元，问每天派出A型车与B型车各多少辆，运输队所花的成本最低？
参考答案：
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】设每天派出A型车x辆，B型车y辆，由题意列出约束条件，作出可行域，求出
使目标函数取得最小值的整解得答案．
【解答】解：设每天派出A型车x辆，B型车y辆，则A型车每天运物96x（0≤x≤8）吨，每天往返成本费240x元；
B型车每天运物120y（0≤y≤4）吨，每天往返成本费378y元；
公司总成本为z=240x+378y，
满足约束条件的可行域如图示：
由图可知，当x=8，y=﹣0.4时，z有最小值，但是A（0，﹣0.4）不合题意，
目标函数向上平移过C（7.5，0）时，不是整解，继续上移至B（8，0）时，
z=240×8+378×0=1920有最小值，最小值为1920元．
即当每天应派出A型车8辆、B型车0辆，能使公司总成本最低，最低成本为1920元．19. （12分）已知函数f(x)的定义域为（-2,2），函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).
(1) 求函数g(x)的定义域；
（2）若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≦0的解集
参考答案：
20. 已知函数f（x）满足f（x+1）=lg（2+x）﹣lg（﹣x）．
（1）求函数f（x）的解析式及定义域；
（2）解不等式f（x）＜1；
（3）判断并证明f（x）的单调性．
参考答案：
【考点】指、对数不等式的解法；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）可令t=x+1，则x=t﹣1，代入可得f（t），即f（x）的解析式；再由对数的真数大于0，可得函数的定义域；
（2）运用对数的运算性质和对数函数的单调性，可得不等式，解不等式可得解集；（3）f（x）在（﹣1，1）上为增函数．由单调性定义，分设值、作差、变形和定符号、下结论，注意运用对数函数的性质，即可得证．
【解答】解：（1）f（x+1）=lg（2+x）﹣lg（﹣x），
可令t=x+1，则x=t﹣1，可得f（t）=lg（1+t）﹣lg（1﹣t），
即有f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x），
由1+x＞0且1﹣x＞0，解得﹣1＜x＜1，
则函数f（x）的定义域为（﹣1，1）；
（2）由f（x）＜1即lg（1+x）﹣lg（1﹣x）＜1，
即为lg（1+x）＜lg10（1﹣x），
可得0＜1+x＜10（1﹣x），
解得﹣1＜x＜，
则不等式的解集为（﹣1，）；
（3）证明：f（x）在（﹣1，1）上为增函数．
理由：设﹣1＜m＜n＜1，则f（m）﹣f（n）=lg（1+m）﹣lg（1﹣m）﹣[lg（1+n）﹣lg （1﹣n）]
=lg﹣lg=lg?=lg?，
由于﹣1＜m＜n＜1，可得1﹣m＞1﹣n＞0，1+n＞1+m＞0，
可得0＜＜1，0＜＜1，
则0＜?＜1，
即有lg?＜0，
则f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n），
故f（x）在（﹣1，1）上为增函数．
21. 已知数列{a n}满足，．
（1）证明：数列是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；
（2）设，数列{b n}的前n项和为S n，求使不等式S n＜k对一切恒成立的实数k的范围．
参考答案：
（1）见解析，；（2）
【分析】
（1）对递推式两边取倒数化简,即可得出，利用等差数列的通项公式得出，再得出；
（2）由（1）得，再使用裂项相消法求出，使用不等式得出的范围，从而得出的范围．
【详解】（1）∵，两边取倒数,∴，即，又，
∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴，∴．
（2）由（1）得，
∴＝，
要使不等式S n＜对一切恒成立，则．
∴的范围为:．
【点睛】本题考查了构造法求等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题．
22. 如图，在△ABC中，已知，边BC和AC所夹的角为C．
（1）关系式是否成立；
（2）证明或者说明（1）中你的结论．
参考答案：
解：（1）中关系式是成立的……………………………………3分（2）证明：如图，设……………5分则……………………………………6分
…………………9分
∴…………………10分。