2.2.2-反证法(教师版)

※高二文科班数学课堂学习单59※
班级姓名小组
2.2.2反证法.
一，学习目标:
1，理解反证法的基本原理2、能用反证法证明一些特殊题型,
二，自学导航：p42-p43
问题一：已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．
证明：假设a，b，c成等差数列，则
a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b，
又a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，
即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，
∴a＋c－2ac＝0，即(a－c)2＝0，
∴a＝c，从而a＝b＝c这与已知中a，b，c不成等差数列矛盾，
故a，b，c不成等差数列.
小结：（1）对于“否定”型命题，从正面证明需要证明的情况太多，不但过程繁琐而且容易遗漏，故可用反证法，一般当题目中含有“不可能”“都不”“没有”“不存在”等词语时，宜采用反证法证明．
（2）假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．
这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等．
问题二：若x >0，y >0，且x ＋y >2，求证：1＋x y 与1＋y x
中至少有一个小于2. [自主解答] 假设1＋x y 与1＋y x
都不小于2， 即1＋x y ≥2，1＋y x
≥2. 又∵x >0，y >0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x .
两式相加得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )，即x ＋y ≤2.
这与已知x ＋y >2矛盾．
所以假设不成立，
所以1＋x y 与1＋y x
中至少有一个小于2. 小结：反证法证明“至少”“至多”型命题，可以避免讨论，否定结论时，需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误．
问题三：求证：两条相交直线有且只有一个交点．
[自主解答] 因为两直线为相交直线，故至少有一个交点，假设两条直线a ，b 不只有一个交点，则至少有两个交点A 和B ，这样同时经过点A ，B 的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．
综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．
小结：当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一型命题比较简单．
4，我生成的问题：
三，我的收获：本节课的知识结构、学到的方法、易错点
四，课堂检测：
1．应用反证法推出矛盾的推理过程中可作为条件使用的是()
①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①②B．②③C．①②③D．①②④
解析：根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可把“结论的否定”、“已知条件”、“公理、定理、定义”等作为条件使用．
答案：C
2．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
解析：自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．
答案：D
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是() A．三个内角中至少有一个钝角
B．三个内角中至少有两个钝角
C．三个内角都不是钝角
D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角
解析：“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．答案：B
4．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．
解析：“p且q”的否定形式为“p或q”．
答案：x≠0或y≠0
5．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误；
②所以一个三角形不能有两个直角；
③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
答案：③①②
6．已知：平面α内一点A .求证：经过点A 只有一条直线和平面α垂直．
证明：假设经过点A 至少有平面α的两条垂线AB 、AC ，因为垂直于同一平面的两条直线互相平行，所以AB ∥AC ，这与AB ∩AC ＝A 矛盾，因此，过点A 只有一条直线和平面α垂直.
7.已知实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实根．
[错解] 假设方程x 2－2x ＋5－p 2＝0有实根，由已知实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)<0，
解得－2<p <－12
， 又关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0的根的判别式Δ＝4(p 2－4)，
∵－2<p <－12
，∴Δ<0. 即关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实根．
[错因] 反证法证明问题的步骤为假设结论不成立，经过推理得出矛盾，否定假设，肯定结论，而此解法没有用到假设的结论，不是反证法．
[正解] 假设方程x 2－2x ＋5－p 2＝0有实根，
则该方程的判别式Δ＝4－4(5－p2)≥0，
解之得p≥2或p≤－2，这与已知条件实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0矛盾，
∴假设不成立，
故关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根.
,五，作业
一、选择题
1．用反证法证明命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)有且只有一个解”时，反设是关于x 的方程ax＝b(a≠0)()
A．无解B．有两解C．至少有两解D．无解或至少有两解
解析：“唯一”的否定上“至少两解或无解”．
答案：D
2．实数a、b、c不全为0是指()
A．a、b、c均不为0 B．a、b、c中至少有一个为0
C．a、b、c至多有一个为0 D．a、b、c至少有一个不为0
解析：“不全为0”并不是“全不为0”，而是“至少有一个不为0”．
答案：D
3．有以下结论：
①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.下列说法中正确的是( )
A ．①与②的假设都错误
B ．①与②的假设都正确
C ．①的假设正确；②的假设错误
D ．①的假设错误；②的假设正确
解析：用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p ＋q >2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．
答案：D
二、填空题
4．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于________．
解析：假设a 、b 、c 都小于13
，则a ＋b ＋c ＜1与a ＋b ＋c ＝1矛盾．故a 、b 、c 中至少有一个不小于13
. 答案：13
5．用反证法证明命题“a 、b 为整数，若a ·b 不是偶数，则a ，b 都不是偶数”时，应假设为________．
解析：“a 、b 都不是偶数”，指“a 、b 都是奇数”，它的反面是“a 、b 不都是奇数”，或“a 、b 中至少有一个是偶数”
答案：a 、b 不都是奇数(或a 、b 中至少有一个是偶数)
6．用反证法证明命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”时，第一步要假设结论的否定成立．那么结论的否定是________．
答案：存在多面体的面都不是三角形、四边形和五边形．
三、解答题
7．设a 、b 、c 都是正数，证明三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a
至少有一个不小于2 ．解析：因为a 、b 、c 都是正数，则有(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a )＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c
)≥6.故三个数中至少有一个不小于2.
8．若a ，b ，c 互不相等，证明：三个方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b ＝0至少有一个方程有两个相异实根．
证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b 2－4ac ≤0，Δ2＝4c 2－4ab ≤0，Δ3＝4a 2－4bc ≤0.
相加得a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＋c 2－2ac ＋a 2≤0，(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≤0. ∴a ＝b ＝c .这与a ，b ，c 互不相等矛盾．
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．
2．用反证法证明：若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多只有一个实数根．
证明：假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个实根，设α，β为其中的两个实根．因为α≠β，不妨设α<β，又因为函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，
所以f (α)<f (β)．这与f (α)＝0＝f (β)矛盾．
所以方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多只有一个实根．
1，已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1
(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负实根． [自主解答] 假设方程f (x )＝0有负实根x 0，
则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1
， 由0<ax 0<1⇒0<－x 0－2x 0＋1
<1，
解得12
<x 0<2，这与x 0<0矛盾． 故方程f (x )＝0没有负实根．
1．反证法解题的实质是什么？
提示：反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而证明原命题结论正确．
2．用反证法证明命题时，“a 、b 、c 都是偶数”的否定是什么？
提示：a 、b 、c 不都是偶数．
8．完成反证法证题的全过程．
题目：设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．
证明：假设p 为奇数，则________________均为奇数．①
因奇数个奇数之和为奇数，故有
奇数＝______________②
＝__________________③
＝0.
这与0为偶数矛盾，说明p 为偶数．
解析：证明过程应为：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有
奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)
＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0.
这与0为偶数矛盾，说明p 为偶数．
答案：a 1－1，a 2－2，…，a 7－7
(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)
(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)
9．已知a ，b ，c 都是小于1的正数，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 中至少有一个不大于14
. 证明：假设(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14
. ∵a ，b ，c 都是小于1的正数， ∴(1－a )b >12，(1－b )c >12，(1－c )a >12
， 从而(1－a )b ＋(1－b )c ＋(1－c )a >32
. 但是(1－a )b ＋(1－b )c ＋(1－c )a
≤(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2
＝
3－(a ＋b ＋c )＋(a ＋b ＋c )2 ＝32
，与上式矛盾． ∴假设不成立，即原命题成立．
10．用反证法证明：对于直线l ：y ＝x ＋k ，不存在这样的实数k ，使得l 与双曲线C ：3x 2－y 2＝1的交点A 、B 关于直线y ＝－x 对称．
证明：假设存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝－x 对称，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，
则线段AB 的中点M (x 1＋x 22，y 1＋y 22
)在直线y ＝－x 上， 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋k ，y 2＝3x 2－1得2x 2－2kx －1－k 2＝0. ∴x 1＋x 2＝k ，
可得M (k 2，3k 2
)． 这与M 在直线y ＝－x 上矛盾．
所以假设不成立，故不存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝－x 对称．。