2020年上海昂立中学生教育(大桥校区)高一数学文月考试题含解析

2020年上海昂立中学生教育(大桥校区)高一数学文月考
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 偶函数y=f（x）满足下列条件①x≥0时，f（x）=x；对任意x∈[t，t+1]，不等式f （x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】函数恒成立问题．
【分析】根据f（x）为偶函数便可得到f（|x+t|）≥2f（|x|），从而得到
|x+t|≥2|x|，两边平方便有（x+t）2≥4x2，经整理便可得到3x2﹣2tx﹣t2≤0在[t，t+1]上恒成立，这样只需3（t+1）2﹣2t（t+1）﹣t2≤0，解该不等式即可得出实数t的取值范围．
【解答】解：根据条件得：f（|x+t|）≥2f（|x|）；
∴|x+t|≥2|x|；
∴（x+t）2≥4x2；
整理得，3x2﹣2tx﹣t2≤0在[t，t+1]上恒成立；
设g（x）=3x2﹣2tx﹣t2，g（t）=0；
∴g（t+1）=3（t+1）2﹣2t（t+1）﹣t2≤0；
解得t≤﹣；
故选：B．
2. 下列函数中，增长速度最快的是（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
3. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）
A．直角三角形B．等腰三角形 C. 等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
参考答案：
B
因为，所以
因为，所以
因此的形状是等腰三角形.
4. 函数的零点所在区间是
A． B． C． D．
参考答案：
C
若，则，得，令，可得
，因此f(x)零点所在的区间是
5. 已知函数,若，则（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
6. 如图1，当参数时，连续函数的图像分别对应曲线和
, 则 [ ]
A B
C D
参考答案：
解析:解析由条件中的函数是分式无理型函数，先由函数在
是连续的，可知参数，即排除C，D
项，又取，知对应函数值，由图可知所以，即选B项。

7. 若点共线,则a的值为（）
A. －2
B. －1
C. .0
D. 1
参考答案：
A
【分析】
通过三点共线转化为向量共线，即可得到答案.
【详解】由题意，可知，又，点共线，
则，即，所以，故选A.
【点睛】本题主要考查三点共线的条件，难度较小.
8. 抛掷三枚质地均匀硬币，至少一次正面朝上的概率是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】互斥事件的概率加法公式．
【分析】抛掷三枚质地均匀硬币，先求出全都反面向上的概率，再用对立事件求出至少一次正面朝上的概率．
【解答】解：抛掷三枚质地均匀硬币，
全都反面向上的概率为p1=，
∴至少一次正面朝上的概率为：
p=1﹣=．
故选：A．
9. （5分）函数f（x）=3x+lnx﹣5的零点所在区间为（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
参考答案：
B
考点：二分法求方程的近似解．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：由题意，函数f（x）=3x+lnx﹣5在其定义域上连续，且单调递增；再代入函数值，利用零点判定定理判断．
解答：∵函数f（x）=3x+lnx﹣5在其定义域上连续，且单调递增；
f（1）=3﹣5=﹣2＜0，f（2）=9+ln2﹣5＞0；
∴f（1）?f（2）＜0；
故函数f（x）=3x+lnx﹣5的零点所在区间为（1，2）；
故选B．
点评：本题考查了函数的零点判定定理的应用，属于基础题．
10. 已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表
填写下列f[g(
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （3分）已知lg2=a，lg3=b，试用a，b表示lg6= ．
参考答案：
a+b
考点：对数的运算性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用对数的运算性质把要求的式子化为 lg（2×3）=lg2+lg3，再把已知条件代入求得结果．
解答：原式=lg（2×3）=lg2+lg3=a+b．
故答案为：a+b．
点评：本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
12. 函数的定义域
参考答案：
略
13. 采用简单随机抽样从含个个体的总体中抽取一个容量为的样本，个体前两次未被抽到，第三次被抽到的机会为______________整个过程中个体被抽中的机会是
_________
参考答案：
（不论先后，被抽取的概率都是），0.4
14. （5分）函数y=的定义域是．
参考答案：
（﹣∞，0）
考点：函数的定义域及其求法．
专题：计算题．
分析：利用x0有意义需x≠0；开偶次方根被开方数大于等于0；分母不为0；列出不等式组求出定义域．
解答：，
解得x＜0
故函数的定义域为（﹣∞，0）
故答案为（﹣∞，0）
点评：求函数的定义域时：需使开偶次方根被开方数大于等于0；分母不为0；含x0时需x≠0；对数函数的真数大于0底数大于0且不等于1．
15. 已知角终边过点P，则，，
，。

参考答案：
16. 关于有以下命题：
①若则；②图象与图象
相同；③在区间上是减函数；④图象关于点对称。

其中正确的命题是．
参考答案：
②③④
略
17. 已知函数f（x）=cos2x+sinx﹣1(0≤x≤)，则f（x）值域是，f（x）的单调递增区间是．
参考答案：
，
【考点】三角函数的最值；复合函数的单调性．
【分析】由三角函数的诱导公式化简f（x）=﹣sin2x+sinx，然后利用换元法再结合二次函数的性质，求得函数的最值以及单调区间．
【解答】解：f（x）=cos2x+sinx﹣1=（1﹣sin2x）+sinx﹣1=﹣sin2x+sinx，
设sinx=t，t∈[0，1]，
∴f（x）=﹣t2+t=﹣t（t﹣1），当t=，即sinx=，x=时函数f（x）取得最大值为，
当t=0，即sinx=0时，函数f（x）取得最小值为0．
∴f（x）值域是，f（x）的单调递增区间是．
故答案为：，．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某公园内有一块以O为圆心半径为20米圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为等腰梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中
，，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台中心O处的距离都不超过60米（即要求）.设
，.
（1）当时求舞台表演区域的面积；
（2）对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？
参考答案：
（1）平方米（2）对于任意α，上述设计方案均能符合要求，详见解析
【分析】
（1）由已知求出的弧度数，再由扇形面积公式求解；（2）过作垂直于，垂直为，可求，，由图可知，点处观众离点
处最远，由余弦定理可得，由范围，利用正弦函数的性质可求，由，可求上述设计方案均能符合要求．【详解】（1）当时，
所以舞台表演区域的面积平方米
（2）
作于H，则
在中，
因为，所以当时，
所以对于任意α，上述设计方案均能符合要求.
【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．
19. 已知的三个顶点(4,0），(8,10），(0,6）.
(Ⅰ)求过A点且平行于的直线方程；
(Ⅱ)求过点且与点距离相等的直线方程。

参考答案：
（1）过A点且平行于BC的直线为…6分
(2).设过B点的直线方程为.....8分
由即.....10分所求的直线方程为或即
或…………12分
略
20. (本题满分14分)
已知函数f(x)=(1)求f(0)的值;
(2)已知,,求;
(3)已知,,求.
参考答案：
21. 已知函数f（x）=，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知，且＜α＜2π，求sinα﹣cosα．参考答案：
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）利用f（0）=1求出φ的值即得三角函数的解析式；
（2）根据三角函数值求出角的取值范围，再计算三角函数值．
【解答】解：（1）∵，∴，
又∵，∴，
∴；
（2）∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
又，
∴．
【点评】本题考查了求三角函数的解析式以及根据三角函数值求值的应用问题，是中档题目．
22. （本小题满分14分）计算下列各题：
（1）
（2）
参考答案：
解：（1）原式； (7)
分
（2）原式＝。

……………………14分。