高三数学上学期二调考试试题 理含解析 试题

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学上学期二调考试试题理〔含解析〕
本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，考试时间是是120分钟.
第一卷〔选择题〕
一、选择题〔此题一共12小题，从每一小题给出的四个选项里面，选出最正确选项，并在答题纸上将该项涂黑〕 1.假设3cos 5x =-
，且2
x ππ<<，那么tan sin x x +的值是() A.3215
-
B.815-
C.815
D.
32
15
【答案】B 【解析】 【分析】
由利用同角三角函数根本关系式可求sinx ，tanx 的值，即可得解．
【详解】由题意，知3cosx
5=-
，且π
x π2<<，
所以4sinx 5==，那么sinx 4tanx cosx 3==-，
448
tanx sinx 3515
∴+=-+=-．
应选：B ．
【点睛】此题主要考察了同角三角函数根本关系式在三角函数化简求值中的应用，其中解答中纯熟应用同角三角函数的根本关系式，准确求解是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题. 2.设30.2a
=，2log 0.3b =，3log 2c =，那么〔〕
A.a b c >>
B.a c b >>
C.b a c >>
D.c a b >>
【答案】D 【解析】 【分析】
利用函数的单调性，并结合取中间值法即可判断大小. 【详解】由于3
00.20.2<<，
22log 0.3log 10<=，
331log 2log 2
>=
， 那么3
23log 0.30.2log 2<<，即c a b >>.
应选：D.
【点睛】此题主要考察对数与对数函数和指数与指数函数，利用函数的单调性比较大小是常用手段，属根底题.
3.奇函数()f x 满足()(4)f x f x =+，当(0,1)x ∈时，()2x f x =，那么()2log 12f =〔〕
A.43-
B.
2332 C.
34
D.38
-
【答案】A 【解析】 【分析】
利用周期性和奇函数的性质可得，()()()222log 12log 1244log 12f f f =-=--，再根据指数
运算和对数运算即可求得结果. 【详解】由题意
()(4)f x f x =+，故函数()f x 是周期为4的函数，
由23log 124<<，那么21log 1240-<-<，即204log 121<-<，
又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，
那么
()()()2244log 12
222log 12
24log 12log 1244log 122
23
f f f -=-=--=-=-
=-
， 应选：A.
【点睛】此题主要考察对数函数，奇函数，周期函数，以及抽象函数的性质，综合性较强，属中档题. 4.圆2
2:4O x
y +=与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动
3
π
弧长到达点N ，以x 轴的正半轴为始边，ON 为终边的角即为α，那么sin α
=〔〕
B.
12
C
22
D.
32
【答案】D 【解析】 【分析】
画图分析，根据弧长公式求出旋转的角的弧度数，那么可求出α的值，从而得到结果. 【详解】由题意得M (0,2)，并画出图象如下列图.
由点M 沿圆O 顺时针运动3
π
弧长到达点N ，那么旋转的角的弧度数为326
π
π=， 即以ON 为终边的角3
π
α=
，所以3
sin 2
α=
. 应选：D
【点睛】此题考察三角函数的定义和弧长公式，注意仔细审题，认真计算，属根底题.
5.函数
(),,00,2s ()()in x x
e e
f x x x
ππ-+=∈-的图象大致为()
A. B. C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性可排除B ，再根据
()0,x π∈时()f x 的符号可排除
D ，再根据
x π
→时，
()+f x →∞可排除C ，从而得到正确的选项.
【详解】函数的定义域关于原点对称，且
()()
()2sin x x
e e
f x f x x -+-==--，
故
()f x 为奇函数，其图像关于原点对称，所以排除B.
又当()0x π∈
，时，sin 0,0x x x e e ->+>，所以()0f x >，故排除D.
又当x π→时，()+f x →∞，故排除C ，
综上，选A.
【点睛】此题为图像题，考察我们从图形中扑捉信息的才能，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或者取值范围．
6.如图是函数
sin()0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭
在区间5,66ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上的图象，将该图象向右平移
(0)m m >个单位长度后，所得图象关于直线4
x π
=
对称，那么m 的最小值为〔〕
A.
12
π
B.
6
π
C.
4
π D.
3
π 【答案】B 【解析】 【分析】
根据三角函数的图象与性质求出
()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪
⎝
⎭，再根据右移得到函数
()sin 223g x x m π⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
，利用对称轴的性质，得到m 的表达式，从而求得m 的最小值.
【详解】令
()sin()f x y x ωϕ==+，由三角函数图象知，566
T πππ
=+=，所以
2π
πω
=，
所以2ω
=.因为函数()f x 过点,06π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，且02πϕ<<
，那么206
π
ϕ-
⨯+=，
即3
π
ϕ=
，所以
()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
将该函数图象向右平移m 个单位后，所得图象的解析式是()
sin 223g x x m π⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
，
因为函数()g x 的图象关于直线4
x π
=
对称，所以22()4
3
2
m k k Z π
π
π
π⨯
+
-=
+∈，
解得()6
2
k m k Z π
π=
-
∈，又m >0，所以m 的最小值为6π
.
【点睛】此题考察三角函数的图象与性质，解题的关键在于根据图象正确求出函数解析式，并纯熟掌握正弦函数的性质，属中档题. 7.函数
()()x x f x x e e -=-，对于实数a b ，，“0a b +>〞是“()()0f a f b +>〞的().
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分
也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】
先判断出函数为奇函数，且为R 的单调增函数，结合单调性与奇偶性利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】因为()()()
()x x x x f x x e e x e e f x ---=--=--=-，
所以
()f x 为奇函数，
0x >时，
()1x x f x x e e ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，()f x 在()0,∞+上递增，
所以函数
()f x 在R 上为单调增函数，
对于任意实数a 和b ，
假设0a b +>，那么()(),a b f a f b >-∴>-，
函数
()f x 为奇函数，()()f a f b ∴>-，
()()0f a f b ∴+>，充分性成立；
假设
()()0f a f b +>，那么()()()f a f b f b >-=-，
函数在R 上为单调增函数，a b ∴>-，
0a b ∴+>，必要性成立，
∴对于任意实数a 和b ，“0a b +>〞，是“()()0f a f b +>〞的充要条件，
应选C.
【点睛】此题主要考察函数的单调性与奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于综合题.判断充分条件
与必要条件应注意：首先弄清条件
p 和结论q 分别是什么，然后直接根据定义、定理、性质尝试
,p q q p ⇒⇒.比较.
8.0,2πα
⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，且
sin 1cos 2cos 2cos sin 2βαβαα+=+，那么tan 24πα
β⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭〔〕
A.－1
B.1
C.
3
D.3
-
【答案】A 【解析】 【分析】
利用二倍角公式和三角函数的商数关系对
1cos 22cos sin 2ααα
++进展化简变形，从而可得
tan tan 42παβ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,424παπ⎛⎫
-∈ ⎪⎝⎭
，结合正切函数的
单调性，那么4
2
π
α
β
=
-
，代入所求表达式从而可求得结果.
【详解】2sin 1cos 22cos cos 2cos sin 22cos 2sin cos βαα
βααααα
+==++
2
2
2cos sin cos
sin
1tan
cos 22222tan 1sin 42sin cos 1tan sin cos 22222α
α
α
α
α
απαααα
ααα---⎛⎫=
====- ⎪+⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝
⎭， 故tan tan 42παβ
⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,424παπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，
4
2
π
α
β∴=
-
，故22
π
βα=
-，
那么3tan 2tan 144
ππαβ⎛⎫⎛⎫
++==- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
. 应选：A.
【点睛】此题考察二倍角公式，三角函数的商数关系和正切函数的性质，综合性强，要求一定的计算化简才能，属中档题. 9.函数
()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，那么以下结论中错误的个数是〔〕
①函数()f x 的值域与()g x 的值域一样；
②假设0x 是函数()f x 的极值点，那么0x 是函数()g x 的零点； ③把函数()f x 的图像向右平移
2
π
个单位长度，就可以得到()g x 的图像； ④函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭内都是增函数. A.0 B.1
C.2
D.3
【答案】B 【解析】
【分析】
求出函数f (x )的导函数g (x )，再分别判断f (x )、g (x )的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题即可一一做出判断，从而得到答案.
【详解】
()sin cos 224f x x x x x x π⎫⎛
⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
，
()sin +cos ++224g x x x x x x π⎫⎛⎫
===⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
，
①，
()4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()4g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，两函数的值域一样，都是[，
故①正确；
②，假设0x 是函数()f x 的极值点，那么0
4
2
x k π
π
π
-
=
+，k Z ∈，解得0
34
x k π
π=+
，k Z ∈，
()
03044g x k πππ⎛
⎫=++= ⎪⎝
⎭，0x ∴也是函数()g x 的零点，故②正确；
③，把函数()f x 的图象向右平移
2
π
个单位，得sin cos cos sin ()222f x x x x x g x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=---=--≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，故③错误；
④，,44x ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，,042x ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 是单调增函数，0,42x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()g x 也是单
调增函数，故④正确.
综上所述，以上结论中错误的个数是1. 应选：B.
【点睛】此题考察了两角和与差的正弦公式，正弦函数的单调性，以及三角函数图象的变换，纯熟掌握公式和正弦函数的性质是解此题的关键，属中档题. 10.函数
()cos f x x =，假设存在实数12,,,n x x x ，满足1204n x x x π≤<<<≤，且
()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-+
+-=，2n ≥，n *∈N ，那么n 的
最小值为〔〕 A.3 B.4
C.5
D.6
【答案】C 【解析】 【分析】
由余弦函数的有界性可得，对任意x i ，x j (i ，j =1，2，3，…，n )，都有
()()max min ()()2i j f x f x f x f x --=，要使n 获得最小值，尽可能多让x i 〔i =1，2，3，…，n 〕
获得最高点和最低点，然后作图可得满足条件的最小n 值． 【详解】∵()cos f x x =对任意x i ，x j (i ，j =1，2，3，…，n )，
都有
()()max min ()()2i j f x f x f x f x --=，
要使n 获得最小值，尽可能多让x i (i =1，2，3，…，n )获得最高点和最低点， 考虑0≤x 1＜x 2＜…＜x n ≤4π，
()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，
按以下列图取值即可满足条件， 那么n 的最小值为5. 应选：C.
【点睛】此题考察三角函数与数列的综合，考察了余弦函数的图象与性质，审清题意，画出图象是解决此题的关键，属中档题.
11,(,2)
(){1(2),[2,)2
x x f x f x x --∈-∞=-∈+∞，那么函数()()1F x xf x =-的零点的个数为()
A.4
B.5
C.6
D.7
【答案】C 【解析】
试题分析：，转化为如图，画出函数和的图像，
当时，有一个交点， 当
时，
，，此时，是函数的一个零点， ，
，满足
，所以在
有两个交点，
同理，所以在有两个交点， ，所以在
内没有交点，
当时，恒有
，所以两个函数没有交点
所以，一共有6个．
考点：1．分段函数；2．函数的零点．3数形结合求函数零点个数．
12.0>ω，2
π
ϕ≤
，在函数
()sin()f x x ωϕ=+，()cos()g x x ωϕ=+的图象的交点中，相邻两
个交点的横坐标之差的绝对值为2
π，当(,)64x ππ
∈-时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，那么ϕ的
取值范围是〔〕
A.(
,)63
ππ
B.,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
C.(
,)32
ππ
D.,32ππ⎡⎤⎢
⎥⎣
⎦ 【答案】D 【解析】 【分析】 令F 〔x 〕＝()sin
x ωϕ+﹣()cos x ωϕ+＝0求出零点，利用相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2
π
得ω值，然后根据当,64x ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，f(x)>0恒成立即可得到ϕ的取值范围. 【详解】由题意，函数()()sin f x x ωϕ=+，()()cos g x x ωϕ=+的图象中相邻两个交点的横坐
标之差的绝对值为
2
π． 令F 〔x 〕＝()sin x ωϕ+﹣()cos x ωϕ+＝02
sin 〔4
x π
ωϕ+-
〕＝0，
即4
x π
ωϕ
+-
＝k π，k ∈Z ．
当k ＝0时，可得一个零点x 1＝
4
π
ω-∅
当k ＝1时，可得二个零点x 2
＝54πω
-∅
,ω＞0，
那么|x 1
﹣x 2
|＝|54
4|2
ππππωωω-∅-∅
-==，可得ω2=,那么()()sin 2f x x ϕ=+， 又当,64x ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝
⎭时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方， 当f(x)>0时2k π2x φ2k ππ,<+<+解得k πx k π2
2
2
ϕ
π
ϕ
-
<<+
-
,
只需26224k k ϕπππϕππ⎧-≤-⎪⎪⎨
⎪+-≥⎪⎩
即2k π2,3
2
k π
π
ϕπ+
≤≤+
又
2
π
ϕ≤
，那么当k=0时，ϕ的取值范围是,32ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
应选：D ．
【点睛】此题考察三角函数图像的性质，考察恒成立问题，属于中档题.
第二卷〔非选择题〕
二、填空题〔此题一共4小题〕 13.曲线
3y x x =-在点()00,x y 处的切线平行于直线220x y --=，那么0x =______.
【答案】－1 【解析】 【分析】
求出函数的导数，代入x 0求得切线的斜率，再由两直线平行的条件可得到关于x 0的方程，解方程即可得到所求值，注意检验. 【详解】3y x x =-的导数为231y x '=-，
即在点
()00,x y 处的切线斜率为2031k x =-，
由切线平行于直线220x y -
-=，
那么2k
=，即2
312x -=， 解得01x =或者1-.
假设01x =，那么切点为(1,0)，满足直线220x y --=，不合题意.
假设0
1x =-，那么切点为(1,0)-，不满足直线220x y --=，符合题意.
故答案为：1-.
【点睛】此题考察导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，同时考察两直线平行的问题，属根底题. 14.设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，那么不等式()()121x e f x f x -<-的解集为
__________． 【答案】(1,)+∞ 【解析】 【分析】
根据条件构造函数F 〔x 〕()x
f x e
=
，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．
【详解】设F 〔x 〕()x
f x e
=
，
那么F ′〔x 〕()()
'x
f x f x e
-=
，
∵
()()f x f x '>，
∴F ′〔x 〕＞0，即函数F 〔x 〕在定义域上单调递增． ∵()()1
21x e
f x f x -<-
∴
()()21
21x
x f x f x e
e
--＜，即F 〔x 〕＜F 〔2x 1-〕
∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()1
21x e
f x f x -<-的解为()1,+∞
故答案为：
()1,+∞
【点睛】此题主要考察函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决此题的关键． 15.如图，阴影局部是由曲线22y x =和223x y +=及x 轴围成的封闭图形，那么阴影局部的面积为
______.
【答案】
32
8
π
-
【解析】 【分析】
首先求出曲线的交点，然后求直线
3y x =与22y x =围成的面积1S ，利用扇形的面积公式，求得扇形
AOB 的面积2S ，那么阴影局部的面积为21S S S =-，计算即可求得结果.
【详解】曲线
22y x =和圆223x y +=的在第一象限的交点为33,22A ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
那么直线OA 的方程为：
3y x =，
如图，
那么直线OA 与抛物线
22y x =所围成的面积
(
)
33
2
22310
32332333
322324388S x x dx x x ⎛⎫=
-=-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎰，
又扇形AOB 圆心角为3
π
α=
，那么扇形AOB 的面积22
1132232
S r ππ
α==⨯⨯=，
所以阴影局部的面积213
2
8
S
S S π
=-=
-
. 故答案为：
32
π
. 【点睛】此题考察了利用定积分求阴影局部的面积，关键是利用定积分正确表示对应的面积，属中档题.
16.设ABC ∆的内角
A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1
cos cos 2
A C
B --=
，延长BC 至D ，假设2BD =，那么ACD ∆面积的最大值为__________.
【解析】 【分析】 由()1cos
cos 2A C B --=
，可得1
cos cos 4
A C =，由,,a b c 成等比数列，结合正弦定理 可得2sin sin sin
B A
C =，两式相减，可求得3
B
π
=
，从而得ABC ∆为正三角形，
设正三角形边长为a ，ACD
S ∆()2a =
-，利用根本不等式可得结果. 【详解】
()cos cos A C B --()()1cos cos 2
A C A C =-++=
， 1
cos cos 4
A C ∴=
，① 又
,,a b c 成等比数列，2b ac ∴=，
由正弦定理可得2sin sin sin B A C =，② ①-②得
21
sin cos cos sin sin 4
B A
C A C -=- ()cos cos A C B =+=-，
21cos 1cos 4B B ∴+-=-，解得1cos ,23
B B π==，
由()1
cos cos 2A C B --=，
得()1
cos cos 12A C B -=+=，
0,A C A B -==，ABC ∆为正三角形，
设正三角形边长为a ， 那么2CD a =-，1
sin1202
ACD
S AC CD ∆=
⋅ ()2
2
444
a a ⎡⎤+-⎣⎦≤=，1a =时等号成立。

即ACD ∆
面积的最大值为
【点睛】此题主要考察比照中项的应用、正弦定理的应用以及根本不等式求最值，属于难题.利用根本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等〞的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或者积是否为定值〔和定积最大，积定和最小〕；三相等是，最后一定要验证等号能否成立〔主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是屡次用≥或者≤时等号能否同时成立〕. 三、解答题〔解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤〕 17.将函数
3sin 2y x =的图像向左平移
6
π
个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，得到()f x 的图像.
〔1〕求
()f x 的单调递增区间；
〔2〕假设对于任意的,22x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦，不等式()3f x m 恒成立，务实数m 的取值范围.
【答案】(1)52,2,66k k k ππππ⎡
⎤-
+∈⎢⎥⎣
⎦Z .(2)30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【解析】 【分析】
(1)此题首先可通过题意中函数
3sin 2y x =图像的转化得到()3sin 3
f x x
，然后通过正弦函
数的相关性质即可计算出函数
()f x 的单调递增区间；
(2)首先通过,22x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦计算出函数()f x 的最大值以及最小值，然后将()3f x m 转化为
3()3m f x m -<<+，即可列出不等式组
max min
33
f x m f x
m ，通过计算得出结果。

【详解】〔1〕函数
3sin 2y x =的图像向左平移
6
π
个单位长度可得3sin 2+
3
y x ，
然后将
3sin 2+
3
y x 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得
()3sin 3
f x x
，
令22,2
3
2
k x k k π
π
π
ππ-
+
+
∈Z ，即5
2,2,66
x k
k k Z ，
故
()f x 的单调递增区间为5
2,2,6
6
k
k k
Z .
〔2〕因为,22x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦，所以5636
x πππ
-+
，
所以函数
()f x 在,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为3，此时32x ππ+=
，即6
x π
=
，
最小值为32-
，此时36x ππ+=-，即2x π
=-. 对于任意的,22x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，不等式()3f x m 恒成立， 即3()3m f x m -<<+恒成立，
max min
33
f x m f x
m ，
所以
33
33
2
m m ，302m <<
，故实数m 的取值范围为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭。

【点睛】此题考察三角函数的相关性质，主要考察三角函数的图像变换以及通过三角函数性质解不等式，考察推理才能，在三角函数的图像变换中一定要注意函数
sin y x ω=向左平移n 个单位得出的函数是
sin ωy x n
，是中档题。

18.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22sin sin sin sin A B A C +=.
〔1〕求证：
sin sin 2cos C
A A
=；
〔2〕假设B 为钝角，且ABC ∆的面积S 满足2(sin )S b A =，求角A 的大小.
【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕8
A π
=
.
【解析】 【分析】 〔1〕由
22sin sin sin sin A B A C
+=及正弦定理，得
22c a ab
-=，根据余弦定理可得
sin sin cos 2sin B A A C +=
，再将sin 2cos C A
化简变形即可证明结论；〔2〕由2
(sin )S b A =和面积公式可得
sin sin 22sin c C A b B =
=，结合〔1〕可得cos sin A B =，根据条件，2B A π=+，22C A π
=-，代
入sin 2cos C A 中进展化简变形即可求得角A . 【详解】〔1〕由22sin sin sin sin A B A C +=及正弦定理，得2
2ab a c +=，即22c a ab -=，
那么2222sin sin cos 2222sin b c a b ab b a B A A bc bc c C
+-+++====
， 那么()2
2
222
2sin sin 11sin 2cos sin sin 22222c R C C c ab a a A b a A B A R b a R b a R R R
+===⋅=⋅==++++， 其中R 为ABC ∆的外接圆半径，即证得sin sin 2cos C
A A
=；
〔2〕由题意得
221
sin sin 2bc A b A =， 所以sin sin 22sin c C
A b
B ==
， 又sin cos 2sin C
A A =，
所以sin sin cos sin A A A B
=
，所以cos sin A B =. 又B 为钝角，所以2
B
A π
=
+，又A B C π++=，
所以
2A A C ππ⎛⎫
+++= ⎪⎝⎭
，解得22C A π=-，
所以sin 2sin cos22sin 2cos 2cos 2cos A C A A A A A
π⎛⎫
- ⎪
⎝⎭===，
所以cos2sin2A A =，所以tan21A =. 又
A 为锐角，所以()20,A π∈，
那么24
A π
=
，所以
8
A π
=
.
【点睛】此题考察解三角形和三角恒等变换，根据正余弦定理和三角恒等变换公式对式子进展化简变形是解决此题的关键，属中档题. 19.设函数
()sin cos ,[0,]2
f x a x x x x π
=-∈．
〔Ⅰ〕当1a =时，求证：()0f x ≥；
〔Ⅱ〕假设
()0f x ≥恒成立，务实数a 的最小值．
【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕1. 【解析】 【分析】
〔Ⅰ〕求得
()sin f x x x
'=，利用导数证明
()
f x 在区间
0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，从而可得
()()00f x f ≥=；
〔Ⅱ〕讨论三种情况：当1a =时，由〔Ⅰ〕知符合题意；当1a >时，因为0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，先证明
()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，可得()()0f x f ≥符合题意；当1a <时，存在唯一
00,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
使得()00g x =，任意()00,x x ∈时，()() 00f x f <=，不合题意，综合即可得结
果.
【详解】〔Ⅰ〕因为1a =，所以
()sin cos ,f x x x x =-()sin f x x x '=.
当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以
()()00f x f ≥=.
〔Ⅱ〕因为
()sin cos ,0,2f x a x x x x π⎡⎤
=-∈⎢⎥⎣⎦
，
所以
()()1cos sin f x a x x x =+'-.
①当1a =时，由〔Ⅰ〕知，
()0f x ≥对0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立；
②当1a >时，因为0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以()0f x '>. 因此
()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，
所以
()()00f x f ≥=对0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立；
③当1a <时，令()()g
x f x ='，那么()()2sin cos g x a x x x =+'-，
因为0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以()0g x '≥恒成立， 因此()g
x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增， 且()01
0022g
a g ，ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
，
所以存在唯一00,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
使得()00g x =，即()00f x '=. 所以任意()00,x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 上单调递减.
所以
()()00f x f <=，不合题意.
综上可知，a 的最小值为1.
【点睛】此题主要考察利用导数研究不等式恒成立问题与不等式的证明问题，属于难题.比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者者进一步利用导数证明. 20.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4cos cos cos a A c B b C =+.
〔1〕假设4a
=，ABC ∆b ，c 的值；
〔2〕假设sin sin (0)B k C k
=>，且ABC ∆为钝角三角形，务实数k 的取值范围.
【答案】〔1〕4b =
，2c =或者2b =，4c =；
〔2〕10,(4,)4⎛
⎫
⋃+∞ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
〔1〕由4cos cos cos a A c B b C =+及正弦定理可求cos A 和sin A ，从而利用余弦定理和面积公式
建立关于b 和c 的两个方程即可求出结果；〔2〕由sin sin (0)B
k C k =>，得b kc =，由余弦定理可得
222112a k k c ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
=，分别从角B 是钝角和角C 是钝角两种情况列不等式求解即可求出k 的范围.
【详解】
〔1〕由4cos cos cos a A c B b C =+及正弦定理得： ()4sin cos sin cos sin cos sin sin A A C B B C C B A =+=+=，
sin 0A ≠，所以1cos 4A =
，所以sin A ==，
由余弦定理得2
22221
2cos 162
a
b c bc A b c bc =+-⋅=+-=，①
又ABC ∆的面积11=sin 22ABC S bc A bc ∆==，所以8bc =.② 由①②得4b
=，2c =或者2b =，4c =；
〔2〕由sin sin (0)B
k C k =>，得b kc =，
所以()2
2
22222112cos 2142a
b c bc A kc c kc c k k c ⎛⎫
=+-⋅=+-⋅⋅
=-+ ⎪⎝⎭
， 假设B 为钝角那么2
22
a c b
+<，即2
21112k
k k ⎛
⎫
-++< ⎪⎝
⎭
，解得4k >， 假设C 为钝角，那么2
22
a b c
+<，即2
21112k
k k ⎛⎫
-++< ⎪⎝⎭
，解得104k <<. 综上，实数k 的取值范围为()10,
4,4⎛
⎫
⋃+∞ ⎪⎝⎭
. 【点睛】此题考察利用正弦定理和余弦定理解三角形以及求满足三角形形状的参数范围，纯熟掌握三角形中钝角的等价条件是解决第二问的关键，属中档题. 21.函数
22()x f x e ax =-，a ∈R .
〔1〕假设()f x 在区间(0,)+∞内单调递增，求a 的取值范围； 〔2〕假设()f x 在区间(0,)+∞内存在极大值M ，证明：4
a
M <
. 【答案】〔1〕(,2e]-∞；〔2〕证明见解析 【解析】 【分析】
〔1〕由题意得
()2220x
f x e ax '=-≥在区间()0,∞+内恒成立，即2x e
a x
≤
在区间
()0,∞+内恒
成立，构造函数()2x
e g x x
=
，利用导数求出最小值即可得到结果；〔2〕构造函数()()h
x f x ='，那
么()242x h x e a '
=-，由此可得出函数()f x '的单调区间，利用零点存在性定理可得函数()f x '的
零点所在区间：
110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和21,ln 2x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，那么可得函数()f x '的单调性，从而得到极大值
1221x M e ax =-，结合条件和根本不等式即可证明结论.
【详解】〔1〕由题意得
()2220x f x e ax '=-≥在区间()0,∞+内恒成立，
即2x
e a x
≤
在区间
()0,∞+内恒成立，
令()2x
e g x x
=
，那么()()2222
2
212x
x x x e
xe e g x x x --=='.
当102x <
<
时，()0g x '<，()g x 在区间10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递减； 当12x >
时，()0g x '>，()g x 在区间1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
内单调递增，故()min 122g x g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以2e a ≤，所以a 的取值范围为(],2e -∞；
〔2〕由〔1〕知当2a e ≤时，()f x 在区间()0,∞+内单调递增，那么不存在极大值.
当2e a >时，
11ln 222a <，1ln ln 22
a
a >. ()222x f x e ax '=-，令()()h x f x ='，那么()242x h x e a '=-.
令()0h x '
=，那么1ln 22
a
x =
， 那么易知函数
()f x '在区间10,ln 22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在区间1ln ,22a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
内单调递增.
又
()020f '=>，1202f e a ⎛⎫
=-< ⎪⎝⎭
'， ()()2ln ln 22ln 2ln 0a f a e a a a a a '=-=->〔易证明ln 0a a ->〕，
故存在110,
2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得()1
21
1220x f x e ax '=-=， 存在2
1,ln 2x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，使得()20f x '=， 那么当()10,x x ∈时，()0f x '>；当()12,x x x ∈时()0f x '<；当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，
故
()f x 在区间()10,x 内单调递增，在区间()12,x x 内单调递减，在区间()2,x +∞内单调递增，
所以当1x x =时，()f x 获得极大值，即1221x M e ax =-. 由11
02
x <<
，得110x ->，111x x ≠-， 由1
21220x e
ax -=，得121x e ax =，
故()1
2
222
11111111124x x x a M
e ax ax ax ax x a +-⎛⎫=-=-=-<= ⎪⎝⎭
，所以4a M <. 【点睛】此题考察单调性求参数的范围和利用导数证明不等式，其中恒成立问题通常转化为求函数最值问题，极值点问题通常转化为导函数的零点问题，应纯熟掌握零点存在性定理的应用，属难题.
22.函数
1()(ln 1)f x a x x =-+的图像与x 轴相切，2
1
()(1)log 2
b x g x b x -=--
. 〔1〕求证：
2
(1)()x f x x
-≤； 〔2〕假设2
1x b <<，求证：2
(1)0()2
b g x -<<.
【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析 【解析】 【分析】
〔1〕求出()f x 的导数，设()f x 的图象与x 轴相交于点
()0,0x ，可得()()
0000f x f x ⎧=⎪
⎨
='⎪⎩，解方程可得1a =，原不等式等价于ln 1x x -，设()ln 1h x x x =-+，求出导数和单调区间，可得极值、最值，即可得
证； 〔2〕设1
()
(1)ln x h x x x
-=
>，求出导数，运用〔1〕的结论可得()h x 单调递增，再由不等式的性质可
得
211
ln ln x b x b
--<
，即()0>g x ，再运用()f x 的单调性和不等式的性质，证得1ln b b b -<，进而证得右边不等式. 【详解】〔1〕由题得
()2
1
a f x x x -'=
，设
()f x 的图像与x 轴相切于点()0,0x ，那么
()()0000f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即()002001ln 1010
a x x a x x ⎧
-+=⎪⎪⎨
⎪-=⎪⎩
，解得01a x ==， 所以
()1
ln 1f x x x
=-+
，那么
()
()2
1x f x x
-≤
，即为ln 1x x ≤-.
设()ln 1h
x x x =-+，那么()11h x x
'=-.
当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减.
所以()()10h
x h =，即ln 1x x -，
所以
()
()
2
1x f x x
-；
〔2〕先证()0g x >，设()1
(1)ln x x x x
ϕ-=>，那么()()
21
ln 1ln x x x x ϕ-'+=
， 由〔1〕可知，当1x >时，1
ln 10x x
+
->，从而有()0x ϕ'>，所以()x ϕ单调递增. 又2
1x b <
<，从而有()
()2
x
b ϕϕ<，即22
11
ln ln x b x b
--<， 所以()()21ln 11log 2ln b b x
x b x b
--<=-，即()0g x >.
再证()
()2
12
b g
x -<
，因为()()()221ln 11
1log 2ln 2
b b x x x g x b x b ---=--=-
()()22222ln 111111112ln 22ln 22ln x x x x x b b b b b b -----⎛⎫
=-⋅-<-⋅-=⋅- ⎪⎝⎭
，
又由〔1〕知，
()211
0(1)f x x x x
'=
->>，故()f x 在()1,+∞单调递增，
那么
()1ln 1(1)0f x x f x =-+>=，即1ln 1b b >-，所以1ln b b b
-<. 又2
1x b <
<，所以()()
()()
2
2
1112
2
x
b b g x ---<
<
.
综上可知，()
()2
102
b g x -<
<
.
【点睛】此题考察导数的几何意义、利用导数证明不等式的方法，利用导数研究函数的单调性和最值，以及构造函数证明不等式，综合性强，其中，选择适宜函数进展构造是解决此题的关键，属难题.。