第1章 牛顿力学基础(机械部分)

(
)(
)
= m (v x dv x + v y dv y + v z dv z )
1 1 1 2 2 2 2 2 = md v x + v y + v z = md v = d mv 2 2 2
(
)
( )
质点的动能定理
1 dA = d ( mv 2 ) 2
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
y0
m y1 y y2 y
O
m
v mg
k ( y + y0 )
m
一维运动，以正负表示物理矢量的方向。 解：一维运动，以正负表示物理矢量的方向。 重力作正功为 AP =
∫
y2
y1
v r y2 f P ⋅ dr = ∫ f P dr
y1 y2
= mg ∫ dy = mg ( y2 − y1 )
y1
弹性力做负功为
功、动能、势能、机械能守恒定律 动能、势能、
1.5.2.1 质点的动能定理与动能守恒定律
1. 力的功
v r 恒力做功 A = F ⋅ ∆r
变力做功
α
v r dA = F ⋅ dr
元功
由 A 到 B，变力的功为 ，
A
v dr
v F (t )BΒιβλιοθήκη A=S A∫B
dA = ∫
B
A
r r F ⋅ dr
在直角坐标系下
1.5.2 机械能守恒定律
力对质点的空间积累称为功 力对质点的空间积累称为功， 其效应是质点能量的改变。 其效应是质点能量的改变。 物体在机械运动中的能量称为机械能 机械能， 物体在机械运动中的能量称为机械能， 动能： 动能：物体由于运动所具有的能量 势能： 势能：与相互作用物体间的相对位置有关的能量
O
v f
m
λmax
x
m
v mg
解：以物体为研究对象 重力做功 弹性力做功
A1 = mgλmax
A2 = ∫
λ max
0
1 2 − kxdx = − kλmax 2 1 2 − kλmax = 0 − 0 2 2mg = k
质点动能定理
mg λmax
弹簧的最大压缩量
λmax
在例1.18中，用手把重物 m 从静止的平衡 例1.19 在例 中 位置往下拉到一定距离时松手， 位置往下拉到一定距离时松手，重物会在弹力和 重力下（忽略空气阻力）往复上下运动， 重力下（忽略空气阻力）往复上下运动，称它为 振动。 振动。当重物由 y1 位置往下运动到 y2 位置时动能 增加了多少？ 增加了多少？
v f1 v r1
m1 v r2
v dr21
m2
v f2
r r f 2 ⋅ dr21
A=∫
2
1
所以计算一对内力的功，可以把一个质点看作静止， 所以计算一对内力的功，可以把一个质点看作静止，以它 为坐标原点，计算另一个质点在此坐标系中受力所做的功。 为坐标原点，计算另一个质点在此坐标系中受力所做的功。
=∫
B A
v v Bv v B v v F1 ⋅ dr + ∫ F2 ⋅ dr + ⋅ ⋅ ⋅ + ∫ Fn ⋅ dr
A A
=∫
B
A
v v v B v v v (F1 + F2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Fn )⋅ dr = ∫ R ⋅ dr
A
功率：力在单位时间内所做的功。 功率：力在单位时间内所做的功。
l0
O x1 x x2 x
A = ∫ − kxdx
x1
x2
选弹簧原长处为势能零点 弹性势能
0
1 2 1 2 = kx1 − kx2 2 2
1 2 EP = ∫ − kxdx = kx x 2
1 2 1 2 A = − kx2 − kx1 = −(EP 2 − EP1 ) 2 2
AK = ∫
y2
y1
v y2 r f K ⋅ dr = ∫ − k ( y + y0 )dy
y1
1 1 2 2 = − k ( y2 + y0 ) − k ( y1 + y0 ) 2 2
2. 质点的动能定理
v v v v 功的定义 dA = F ⋅ dr = m dv ⋅ dr dt v v dr v v = mdv ⋅ = md v ⋅ v dt v v v v v v = m d v x i + dv y j + d v z k ⋅ v x i + v y j + v z k
r 相对元位移 drAB = 0
As = ∫
∆r
v r f s ⋅ drAB = 0
即地面参照系中A 即地面参照系中 和 B 间一对静摩擦力的功为零
例题：有一面为1/4凹圆柱面 半径R） 凹圆柱面（ 例题：有一面为 凹圆柱面（半径 ）的物体 质量M）放置在光滑水平面，一小球（ （质量 ）放置在光滑水平面，一小球（质量 m），从静止开始沿圆面从顶端无摩擦下落（如 ），从静止开始沿圆面从顶端无摩擦下落 ），从静止开始沿圆面从顶端无摩擦下落（ ），小球从水平方向飞离大物体时速度 图），小球从水平方向飞离大物体时速度 v ，求： 内力所做的功。 内力所做的功。
此形式也只能使用于惯性系。不同的惯性系， ☆ 此形式也只能使用于惯性系。不同的惯性系， 观测到的位移不同, 功的数值和正负可以不同。 观测到的位移不同 功的数值和正负可以不同。 ☆ 内力能改变系统动能，不能改变系统总动量。 内力能改变系统动能，不能改变系统总动量。
例题：如图所示， 例题：如图所示，设物体 A 和 B 的质量分别为 mA 绳与滑轮的质量不计，绳不能伸缩， 和 mB，绳与滑轮的质量不计，绳不能伸缩，A 与 斜面之间， 斜面之间，滑轮轴与轴承之间的摩擦等均忽略不 由静止沿斜面下滑， 计，物体 A 由静止沿斜面下滑，同时物体 B 被绳 子拉着上升。 子拉着上升。当物体 A 滑过距离 s 时试求物体 B 的速率。 与物体 A 的速率。
A 和 B 速率相同
2 gs (m A sin α − mB ) v= m A + mB
2. 质点系的势能
一对内力做功
r r r r dA = f1 ⋅ dr1 + f 2 ⋅ dr2 v v O 考虑到 f1 = − f 2 r r r r r = f 2 ⋅ d (r2 − r1 ) = f 2 ⋅ dr21 r r r r r 或者 = f 1⋅d (r1 − r2 ) = f1 ⋅ dr12
积分形式
A=∫
v2
v1
1 1 2 1 2 d ( mv ) = mv2 − mv12 = Ek 2 − Ek 1 2 2 2
例题：如图， 例题：如图，物体的质量为 m，弹簧的劲度系数 ， k，A 板及弹簧质量均可忽略不计，求自弹簧原长 ， 板及弹簧质量均可忽略不计， O 处，突然无初速的加上物体时，弹簧的最大压 突然无初速的加上物体时， 缩量。 缩量。
y
v r dA = F ⋅ dr = F cos θdx
= 6 x(0.70 − 0.02 x )dx
O
x1 θ
10
v F
x2
20
M
x
在全路程上的功为
A = ∫ 6 x(0.70 − 0.02 x )dx = 350(J ) x
x2
1
r r r 例1.17 如果一质点位置的时间函数是 r = 2i + 3tj ， r r 质点受到的力中有一个力 F = 2ti (N ) 。求：当质点 从 t = 1 s秒位置运动到 t = 2 s 秒位置过程中这个力 秒位置运动到 的功。 的功。
根据功的定义， 解：根据功的定义，力 F 的功为
A=∫
B
A
r r r r r r r B 2 F ⋅ dr = ∫ (2ti ) ⋅ d (2i + 3tj ) = ∫ 2ti ⋅ 3dtj = 0
A 1
也可用作图法判断
例题： 的均质柔绳， 例题：一条长为 l、质量为 M 的均质柔绳，A 端 、 挂在天花板的钩子上，自然下垂。 挂在天花板的钩子上，自然下垂。现将 B 端沿铅 端同一高度处， 垂方向提高到与 A 端同一高度处，求该过程中重 力所做的功。 力所做的功。 变力做功， 解：变力做功，建立坐标系 变力 元功
如图， 一起运动了△r， 例1.20 如图，物体 A 和 B 一起运动了 ，求地 面参照系中A 间一对静摩擦力的功。 面参照系中 和 B 间一对静摩擦力的功。
A B
v ∆r v F
A B
v F
解：地面参照系中 A 和 B 间一对静摩擦力的功等 上观测， 做功。 于站在 B 上观测， B 给 A 的静摩擦力 fs 做功。
∑ dA = ∑ dA
i i i
i外
+ ∑ dAi内
i
质点系动能定理的积分形式
1 1 2 2 （ ∑ Ai = ∑ ( 2mi vi 2 ) − ∑ 2mi vi1）= EK 2 − EK1 i i i
作用于质点系所有外力的功和 作用于质点系所有外力的功和质点系的 质点系所有外力的功 所有内力功之和等于质点系动能的增量 之和等于质点系动能的增量。 所有内力功之和等于质点系动能的增量。
1 2 质点动能定理 A = E K 2 − E K 1 = − k ( y2 − y12 ) 2
1.5.2.2 质点系的动能、势能 质点系的动能、 与机械能守恒定律
1. 质点系的动能定理
一个质点系的动能是组成此系统各质点动能之和
1 EK = ∑ mi vi2 i 2
质点系动能定理的微分形式
1 1 2 2 ∑ dAi = ∑ d ( 2mi vi ) = d (∑ 2mi vi ) i i i