松江二中2013学年新高三第一学期开学考数学试卷【盛燕】

松江二中2013年新高三暑期学习检测
数 学
一、填空题：
1、已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2},{2.3}A B = =，则()U C AUB = _____。

2、已知函数()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为____________。

3、已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x
=+，则(2)f -= 。

4、已知α、β是方程20x x a ++=的两个虚根，且||2αβ-=，则实数a 的值为__________。

5、将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母排成一排，且A 、B 均在C 的同侧，则不同的排法共有____________种（用数字作答）。

6、设sin 2sin ,(,)2π
αααπ=- ∈，则tan 2α的值是 。

7、已知点(1,1),(1,2)(2,1)(3,4)A B C D - -- , ，则向量AB u u u r 在CD u u u r 方向上的投影为 。

8、函数21()log (1)(0)f x x x
=+ >的反函数1()f x -= 。

9、在ABC ∆中内角A 、B 、C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若1sin cos sin cos 2
a B C c B A
b +=，且a b >，则B ∠= 。

10、在平行四边形ABCD 中，1,60,AD BAD =∠=o E 为CD 的中点，若·1AC BE =u u u r u u u r ，则AB 的长为 。

11、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如不计容器的厚度，则球的体积 为 。

12、若点(,)x y 位于曲线|1|y x =-与2y =所围成的封闭区域，则2x y -的最小值为____________。

13、在计算“1223(1)n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：
1(1)[(1)(2)(1)(1)]3
k k k k k k k k +=++--+， 由此得112(123012)3123(234123)31(1)[(1)(2)(1)(1)]3n n n n n n n n ⎧⨯=⨯⨯-⨯⨯⎪⎪⎪⨯=⨯⨯-⨯⨯⎨⎪⎪+=++--+⎪⎩
L L L L L ，两边分别相加， 得11223(1)(1)(2).3
n n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++类比上述方法，请你计算“123234(1)(2)n n n ⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+++”，其结果是 。

14、设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈. 给出如下三个命题：①若1m =，则{1}S =；②若1
2m =-，则114l ≤≤；③若12
l =
，则0m ≤；④若1l =，则10m -≤≤或1m =.其中正确命题的是 。

二、选择题：
15、如果0a b <<，那么下列不等式成立的是 （ ） A.11a b < B.2ab b < C.2ab a -<- D.11a b
-<-
16、84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是 （ ）
A.56
B.84
C.112
D.168
17、设12,F F 分别是椭圆2
2
2:1(01)y E x b b += << 的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且22|||||AF AB BF |、、成等差数列，则||AB 的长为 （ ） A. 23 B. 1 C. 43 D. 53
18、已知,a b r r 是单位向量，·=0a b
r r 。

若向量c r 满足||1,c a b - -= r r r 则||c r 的取值范围是（ ）
A. 1,
1]-
B. 1,2]- +
C. [1,
1] +
D. [1,2] +
三、解答题：
19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 。

设函数1
32)(++-=x x x f 的定义域为A ，函数)1()],2)(1lg[()(<---=a x a a x x g 的定义域为B 。

（1）求A ； （2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围。

20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,1AB AD A A = = =。

（1） 证明：直线1BC 平行于平面1D AC ；
（2） 求直线1BC 到平面1D AC 的距离。

21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 。

已知函数2())6sin cos 2cos 1,4f x x x x x x R π
=++-+ ∈。

（1）求()f x 的最小正周期；
（2）求()f x 在区间[0,]2
π
上的最大值和最小值。

22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 设n T 为数列{}n a 的前n 项的积，即12n n T a a a =⋅⋅⋅L ．
（1）若2n T n =，求345a a a 的值；
（2）若数列{}n a 各项都是正数，且满足()2*4
n n a T n =∈N ，证明数列{}2log n a 为等比数列，并求{}n a 的通项公式；
（3）数列{}n a 共有100项，且满足以下条件：
① 121002a a a ⋅⋅⋅=L ；
②等式12121003k k k a a a a a a ++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=L L 对*,991N k k ∈≤≤恒成立。

试问符合条件的数列共有多少个？为什么？
23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
如图，已知双曲线2
21:12x C y -=，曲线2:1C y x =+．P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点，则称P 为“12C C -型点”．
（1）在正确证明1C 的左焦点是“12C C -型点”时，要使用一条过
该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
（2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证1k >，进而证明原点
不是“12C C -型点”；
（3）求证：圆2212
x y +=内的点都不是“12C C -型点”．。