等差数列的前n项和公式PPT

（4）Sn=An2+Bn(A，B为常数）{an}是等差数列
4.等差数列前n项和的性质
（1）等差数列连续的k项之和构成的数列sk ,s2k sk ,
s3k s2k ,s4k s3k , .....组成公差为k2d的等差数列；
例8：某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报 告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2 个座位.问第1排应安排多少个座位?
例7：已知一个等差数列{an}前10项的和是310，
前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等 差数列的首项和公差吗?
分析：若要确定其前n项求和的公式，则要确
定a1和d，由已知条件可获两个关于a1和d的关 系式，从而可求得.
学以致用：
1.在等差数列{an}中，已知第1项到第10项的和 为310，第11项到第20项的和为910，求第21项 到第30项和.
s3k s2k ,s4k s3k , .....组成公差为k2d的等差数列；
学以致用：
2.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，
则S6等于( C )
A.12 B.18 C.24 D.42
3.在等差数列{an}中，若a1＋a2＝1，a3＋a4＝2，
则a7＋a8＝___4_____
学以致用：
8.两个数列an ，bn 的前n项和分别为Sn，Tn，
若 Sn = 2n ，求 an .
Tn 3n+1
bn
2n 1 3n 1
n（n 1) Sn na1 2 d
Sn
d 2
n2
(a1
d )n
2
令Ad2 ,Ba1 d2 Sn An2 Bn
注：1.等差数列的判定方法
（1）an+1－an＝d（常数）（n∈N+){an}是等差数列
（2）2an+1=an+an+2（n∈N+){an}是等差数列 （3）an=pn+q(p,q为常数，n∈N+）{an}是等差数列
7.已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取
得最小值时，n为___2_3_或__2_4___
4.等差数列前n项和的性质
（3）若数列
an
是等差数列，则数列
Sn n
也为等差数列；
（4）若数列{an}与{bn}都是等差数列，且前n项
的和分别为Sn和Tn，则 an S2n1 bn T2n1
4.等差数列前n项和的性质
（2）若一个数列是首项为正的递减数列，则所有正数 项之和最大；
若一个数列是首项为负的递增数列，则所有负数 项之和最小。
学以致用：
4.设Sn是公差小于零的等差数列{an}的前n项和，且
a1＞0，若S5＝S9，则当Sn最大时，n＝( C )
A.6 B.10 C.7 D.9
5.等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，若S16＞0，
且S17＜0，则当Sn取最大值时n的值为( B )
A.7 B.8 C.9 D.16
4.等差数列前n项和的性质
（2）若一个数列是首项为正的递减数列，则所有正数 项之和最大；
若一个数列是首项为负的递增数列，则所有负数 项之和最小。
学以致用：
6.已知等差数列{an}中，a1＝－15，公差d=2，
当{an}的前n项和最小时，n=__8_____
等差数列的前n项和公式：
Sn
na1
n（n 1) 2
d
Sn
d 2
n2
(a1
d )n
2
令Ad2 ,Ba1 d2 Sn An2 Bn
当d≠0时，等差数列的前n项和Sn是一个关于n且常数项
为零的二次函数.
注：1.等差数列的判定方法
（1）an+1－an＝d（常数）（n∈N+){an}是等差数列
（2）2an+1=an+an+2（n∈N+){an}是等差数列 （3）an=pn+q(p,q为常数，n∈N+）{an}是等差数列 （4）Sn=An2+Bn(A，B为常数）{an}是等差数列
温故知新：
1.数列的前n项和： 一般地，我们称a1+a2+…+an为数列{an}的前n项和，
常用Sn表示，即Sn=a1+a2+…+an
2.Sn与an的关系： an
SS1n,
n Sn1, n
1 2
3.等差数列的前n项和公式：
①Sn
n(a1 2
an )
(Sn，a1,n,an 知三求一)
代入an a1 n 1d
a1 =21.
因此，第1排应安排21个座位.
例9：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 =10，公 差d=-2，则Sn是否存在最大值?若存在，求Sn的最大值 及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
解：由an1 an 2 0,得an1 an , 所以 an 是递减数列.
又由an 10 (n 1) (2) 2n 12, 可知 : 当n 6时, an 0; 当n 6时,an 0; 当n 6时,an 0.
所以S1 S2 S5 S6 S7 . 即当n 5或6时, Sn最大.
因为S5
510
54 2
(2)
30
所以Sn的最大值为30.
解法2： 由题意知,a1 10,d 2,
Sn
10n
n(n 1) 2
(2)
n2
11n
(n
11)2 2
121 4
所以当n 5或6时, Sn最大, 最大值为30.(Sn，a1, n, d知三求一)
练习1：已知数列 an 的通项公式是 an 3n 1 ，
求证：数列 an 为等差数列.
证明： an1 an [3(n 1) 1] （3n 1） 3(常数）
数列 an 为等差数列.
练习2：已知数列的通项公式为an＝pn＋q，其中p， q是常数，那么这个数列是否是等差数列？如果是， 其首项与公差是什么？
解：数列 是等差数列，且首项为a1＝p＋q， 公差为p
练习2：已知数列的通项公式为an＝pn＋q，其中p， q是常数，那么这个数列是否是等差数列？如果是， 其首项与公差是什么？
解：数列 是等差数列，且首项为a1＝p＋q， 公差为p
注：1.等差数列的判定方法
（1）an+1－an＝d（常数）（n∈N+){an}是等差数列 （2）2an+1=an+an+2（n∈N+){an}是等差数列 （3）an=pn+q(p,q为常数，n∈N+）{an}是等差数列
分析:将第1排到第20排的座位数依次排成一列,构成数列{an}.设数列{an} 的前n项和为Sn,由题意可知, {an}是等差数列,且公差及前20项的和已知, 所以可利用等差数列的前n项和公式求首项.
解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次 排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn，根据题意，数 列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20 =800.
1.在等差数列{an}中，已知第1项到第10项的和为310， 第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项和.
解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，得
即第21项到第30项和为1510.
解2：数列S10， S20－S10， S30－S20，构成等差数列．
∴ S30－S20=1510
4.等差数列前n项和的性质 （1）等差数列连续的k项之和构成的数列sk ,s2k sk ,