宣威市第五中学2020年春季学期高二年级期末考试文数-答案

令 f (x) 0 ，得 x 1 ．…………………………………………………………………（6 分）
当 x 1 或 x 1时， f (x) 0， f (x) 单调递增；
当 1 x 1 时， f (x) 0， f (x) 单调递减； …………………………………………（8 分）
∴当 x 1 时， f (x) 取得极大值， f (1) 2 ，
……………………………………………………………………………………（9 分）
而点
F
到平面
PBC
的距离等于点
A
到平面
PBC
距离的
1 2
，
∴点
E
到平面
PBC
的距离
h
1 2
AB
1 2
．
…………………………………………………………………………………（10 分）
故 VEPBC
1 3 S△PBC
h
1 3
1 2
11
当 x 1时， f (x) 取得极小值， f (1) 2 ，……………………………………………（10 分）
f (x) 的大致图象如图 6：
由图象知要使方程 f (x) k 有 3 个解，只需 2 k 2 ，
故实数 k 的取值范围为 (2，2) ．
………………………………………………………（12 分）
a4
2a6
3 ，所以
a6
1 2
，所以
q
1 2
，
a1
16
，所以
S5
16
1
1 2
1
1 2
5
31 ，故选
D．
6．x，y
满
足
约
束
条
件
x
x
y y
a≥0， 1≤0
的
可
行
域
如
图
1：其中
A
a
2
1，1
2
a
，作直线
l：x
2
y
0
，平移直线，当直线经过
A
时，z
取得最小值，可得
a
2
1
2
1
2
a
2
，解得
46
，甲的平均数为
x甲
1 10
(27
28
31
30
45
41
43
50
52
62)
40.9
，乙的平均数为
x乙
1 10
(22
31
38 44 45 47 47 50 53 65) 44.2 ， 甲 的 极 差 为 62 27 35 ， 乙 的 极 差 为
65 22 43 ．从茎叶图看，乙更集中，甲更分散，故甲的方差更大，故选 B．
21．（本小题满分 12 分）
25 80
5)2
1225 96
12 10.828 ，……………………………………（4 分）
所以有超过 99.9%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关．
……………………………………………………………………………………（5 分）
（Ⅱ）由频率分布直方图可求得 70 以上（含 70）的人数为100 (0.020 0.015 0.005) 10 40 ，
2 f (x) xf (x) x2≥0 ，故当 x 0 时， g(x) 0 ，即 g(x) 单调递增，所以 g(x) 在 R 上单
调递增．不等式 (x 2019)2 f (x 2019) 4 f (2) 0 ，即 (x 2019)2 f (x 2019) 4 f (2) ，
(x 2019)2 f (x 2019) 4 f (2) ，即 g(x 2019) g(2) ，所以 x 2019 2 ，解得 x 2017 ，
1 2
1 12
．
…………………………………………………………………………………（12 分）
20．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）∵ f (x) ax3 bx ，∴ f (x) 3ax2 b ．……………………………………（1 分）
又∵当 x 1时， f (x) 的极值为 2 ，
∴
a b 2， 3a b 0，
∴1 2sin2 B 1 2sin2 C 2sin B sin C 1 2sin2 A 1 ，
…………………………………………………………………………………（2 分）
∴b2 c2 a2 bc ．………………………………………………………………………（4 分）
由余弦定理得 cos A
原点对称，排除 A；当 x 0 时， f (x) 0 ，排除 B，C，故选 D．
图2
9．执行程序框图，k
1
，a
9
，9
3
9 3
0
2
；k
2
，a
16
，
16
3
16 3
1
2
；k
3
，
a
23
，
23
3
23 3
2
，
23
5
23 5
3
，满足条件，退出循环，则输出的
a
23
，故
选 C．
10．由条件②，可知：丁、戊两个项目至少要引进一个，∴选项 A，D 排除；假设引进丁项目，
右顶点，B 是虚轴上的端点，F 是左焦点，∵在△ABF 中，AB⊥BF，
∴ OB2 OA OF ，即 b2 ac ，因此， c2 a2 ac ，两边都除以
a2
并整理，得 e2
e
1
0
，解得
e
1
2
5
（舍负），∴“优美双
图4
曲线”的离心率为 1 5 ． 2
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．考虑 △BCD 是等腰直角三角形，且 CD 是斜边时，三棱锥 A BCD
的外接球，如图
3
所示，当 BDC
π 4
且
△BCD
是等腰直角三角
形时， BD BC ，且 BD BC 2 ，∵平面 ABC 平面 BCD ，平
面 ABC 平 面 BCD BC ， BD 平 面 BCD ， 所 以 BD 平 面
又∵b2 c2 a2 bc ， a 4 ，
∴b c 3bc a2 316 16 8 ．…………………………………………………（12 分）
文科数学 XW5 参考答案·第 4 页（共 8 页）
19．（本小题满分 12 分）
（Ⅰ）证明：∵AD∥BC，AD⊥AB，∴BC⊥AB． ……………………………………（2 分）
图3
ABC
．由正弦定理知，等边三角形
ABC
的外接圆直径为
2r
2 sin 60
43 3
，所以球
O
的
直径为 2R
(2r)2
BD2
2
21 3
，因此球 O 的表面积为 4πR2
π (2R)2
28π 3
．
16．根据“优美椭圆”的定义，可得“优美双曲线”的虚轴一端与左焦
点的连线，垂直于该点与右顶点的连线．如图 4，设 A 是双曲线的
……………………………………………………………………………………（6 分）
所以按分层抽样的方法抽出 5 人时，“安全意识优良”的有 2 人．
记“安全意识优良”的为 1，2，………………………………………………………（7 分）
其余的 3 人记为 a，b，c，从中随机抽取 3 人，基本事件有(1，2，a)，(1，2，b)，(1，2，c)， (1，a，b)，(1，a，c)，(1，b，c)，(2，a，b)，(2，a，c)，(2，b，c)，(a，b，c)共 10 个，…………………………………………………………………………………………（9 分）
宣威市第五中学 2020 年春季学期高二年级期末考试 文科数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 B C B A D B C D C B A A
【解析】
1． A {1，2，3，4，5，6，7，8} ， B {x | 3 x 7} ，∴ A B {4，5，6} ，故选 B．
故选 A．
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号 答案
13
14
15
2
2020
28π 3
文科数学 XW5 参考答案·第 2 页（共 8 页）
16
1 5 2
【解析】
13．向量
a
，b
的夹角为
π 3
，且
|
a
|
2，|
b
|
1，则
|
a
2b
|
2． 11
z z
i ，则1
z
i
zi
，即 (1 i)z
1
i
，即
z

1 i 1 i
(1 i)(1 i) (1 i)(1 i)
i
，∴
z 2019
i2019
i i2018 i (i2 )1009 = - i ，故选 C．
3．依题意，甲的中位数为
41 43 2
42
，乙的中位数为
45 47 2
又∵平面 PAB⊥平面 ABCD，平面 PAB∩平面 ABCD AB ，
∴BC⊥平面 PAB，………………………………………………………………………（4 分）
而 BC 平面 PBC，
∴平面 PAB⊥平面 PBC．…………………………………………………………………（5 分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AB⊥BC，
b2
c2 a2 2bc
1 2
，…………………………………………………（6
分）
∵A
(0，π)
，∴
A
π 3
．…………………………………………………………………（8
分）
（Ⅱ）∵△ABC 的面积为 4 3 ，
∴
1 2
bc
sin
A
3 4
bc
4
3，
∴bc 16 ．………………………………………………………………………………（10 分）
恰有一人为“安全意识优良”的事件有 6 个，………………………………………（10 分）
所以恰有一人为“安全意识优良”的概率
P
6 10
3 5
．
…………………………………………………………………………………（12 分）
18．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）∵cos 2B cos 2C 2sin B sin C cos 2A 1，
则由条件④，可知必引进丙项目，∴选项 C 排除，故选 B．
11．设
P(x0，y0 )
，则
Q(x0，
y0 )
( y0
0)，
A(a，0)，F (c，0)， 则
M
x0
2
a，
y0 2
．∵Q，F，
y0
M 三点共线，∴ kQF
kMF，∴
y0 x0 c
2 x0 a
2
c
，化为 a
3c ，∴ e
1 ，故选 3
a
1
，故选
B．
图1
文科数学 XW5 参考答案·第 1 页（共 8 页）
7．该几何体是棱长为 2 的正方体削去一个角后得到的几何体（如图 2），
其表面积为
S
3
2
2
2
(1
2) 2
2
1 2
2
2
1 2
2
2
3 20
6 ，故选 C．
8． f (x) x sin2 (x) x sin2 x f (x) ，则函数是奇函数，图象关于
A．
12．设 g(x) x2 f (x) ，因为 f (x) 为 R 上的奇函数，所以 g(x) (x)2 f (x) x2 f (x) ，即 g(x)
为 R 上 的 奇 函 数 ， 对 g(x) 求 导 ， 得 g(x) x[2 f (x) xf (x)] ， 而 当 x 0 时 ， 有
2 a
4a
b
4b
2
=
4
4
2
1
1 2
4
2.
14．Sn n2，可得 a1 S1 1. 当 n ≥ 2 时，an Sn Sn1 n2 (n 1)2 2n 1，即有 an 2n 1 ，
a1 a2 a3 a4 … a2019 a2020＝(1 3) (5 7) … (4037 4039) 2 1010 2020 ．
又 AB⊥PB，∴AB⊥平面 PBC．…………………………………………………………（7 分）
如图 5，设 PA 的中点为 F，连接 EF，则 EF∥AD 且
EF
1 2
AD
．………………………………………（8
分）
又
BC∥AD，且
BC
1 2
AD
，∴EF∥BC，
图5
∴点 E 到平面 PBC 的距离等于点 F 到平面 PBC 的距离．
17．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）列联表为
拥有驾驶证
没有驾驶证
合计
得分优秀
15
5
20
得分不优秀
25
55
80
合计
40
60
100
……………………………………………………………………………………（2 分）
文科数学 XW5 参考答案·第 3 页（共 8 页）
K2
100 (15 55 40 60 20
4．A：
y
cos2 4x
sin2 4x
cos8x
是偶函数，周期 T
π 4
，符合条件；B：
y
sin4x
是奇函数，
不符合条件；C： y sin2x cos2x
2
sin
2x
π 4
，是非奇非偶函数，不符合条件；D：
y cos2x 是偶函数，周期 T π ，不符合条件，故选 A．
5．设{an} 的公比为 q(q 0) ，因为 a1a6 2a3 ，而 a1a6 a3a4 ，所以 a3a4 2a3 ，所以 a4 2 ．又
……………………………………………………………………………（3
分）
解得
a b
1， 3.
……………………………………………………………………………（4 分）
文科数学 XW5 参考答案·第 5 页（共 8 页）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 f (x) x3 3x ，
∴ f (x) 3x2 3 3(x 1)(x 1) ．