高中数学教程 三角向量

高中数学教程 三角向量 课时1 三角函数的求值与化简
目标：掌握三角函数的求值与化简的常见思路和方法
重点：利用和、差、倍角公式及同角三角函数关系进行的求值与化简 难点：角之间关系的运用以及根据问题特点灵活选择公式 一、知识梳理
1、 三角函数的定义，单位圆中的三角函数线及同角三角函数关系
2、 两角和与差的三角函数、二倍角公式
3、 sin cos θθ±与sin cos θθ∙的对称式及“1”的代换
4、 配角的技巧 二、基础题组
1、 已知θ是第二象限角，且sin θ=
35m m -+，cos θ=425
m
m -+，则m= 2、 已知tan α=2，那么22sin sin cos tan 1sin ααα
αα
+++=
3、 已知点（sin θ，cos θ），θ∈()0,π到直线cos sin 10x y θθ++=的距离小于
1
2
，则θ的取值范围是 4、 设α、β、γ∈0,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭
，且sin α+sin γ=sin β，cos β+cos γ=cos α，则βα-= 5、 函数y=3sin(10)x + +5sin(70)x + 的最大值是 6、 当函数y=3sin θ+cos θ取最大值时，tan θ=
答案：1．8； 2．
619； 3．711(
,)1212ππ； 4．3
π； 5．7； 6．3.0 三、典型例题
例1．已知34
4π
πα<<
，04πβ<<，cos()4πα-=35，3sin(
)4πβ+=5
13
，求sin()αβ+的值。

解：
344
π
π
α<<
∴ 024ππα-
<
-<，又3cos(
)45π
α-=
∴ 4sin()45
πα-=-，
又04πβ<<， ∴
3344ππβπ<+<， 3sin()4πβ+=5
13 ∴ 312
cos()413
πβ+=-
∴ 3sin()cos ()cos ()()244πππαβαββα⎡⎤⎡⎤
+=-++=-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
33cos(
)cos()sin()sin()4444ππππβαβα=-+--+-= (56)
65
=
例2．已知62
sin α+2
sin cos 2cos ααα-=0，α∈,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
，求sin(2)3πα+的值。

解：由题意，得(2sin cos )(3sin 2cos )0αααα+-=
∴ (2sin cos )0αα+=或(3sin 2cos )0αα-=
∴ 1tan 2α=-或2tan 3α= α∈,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
∴ 1tan 2α=-
∴2222sin cos 2tan 14
sin 22sin cos 1sin cos 1tan 5
14ααααααααα-==
===-+++ ∴222
222
2211cos sin 1tan 34cos2cos sin 1sin cos 1tan 5
14
ααααααααα---=-====+++
∴sin(2)sin 2cos cos2sin 333πππααα+=+==
（或由2sin cos 0αα+=
，得sin α=
，cos α=，再得sin 2cos2αα、
） 例3．已知tan ()αβ-=
12，tan β=1
7
-，α、β∈()0,π，求2αβ-的值。

解：11tan()tan 1
27tan tan[()]111tan()tan 3
127
αββααββαββ-
-+=-+===--+⨯
α∈()0,π ∴ α∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
22
2t a n 33t a n 211t a n 419
ααα===-- ∴ 2α∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
又1tan 7β=-
，β∈()0,π，∴β∈,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
，∴2(,0)αβπ-∈- 又31
tan 2tan 47tan(2)1311tan 2tan 147
αβ
αβαβ+--===+-⨯ ∴324παβ-=-
备选题：选题目的：开放题，逆向思维。

解：不唯一，如取4
π
α=
，())4
f x x π
=+
则()())])4
4
4
4g x f x x x π
π
π
π
=+=+
+
=+
∴ )2
4sin()4
2cos(2)4
2sin(2)()()(π
π
π
+
=+
+
=
=x x x x g x f x h = cos4x
备用题：对定义域分别是f D ，g D 的函数()y f x =，
()y g x =规定函数()(),()(),(),f g
f g g f f x g x x D x D h x f x x D x D g x x D x D
⎧∈∈⎪=∈∉⎨⎪∈∉⎩
当且当且当且
若()()g x f x α=+，其中α是常数且α∈()0,π，请设计一个定义域为R 的函数()y f x =及一个α的值，使()cos4h x x =，并予以证明
四、小结
本课时复习了三角函数的求值与化解，要注意公式的正用、逆用及变用，要注意三角函数的问题的求解的关键是消除差异和目标意识。

三角函数的差异主要体现在结构的差异、角的差异、函数的差异，其中，角的差异的消除是重点和难点。

五、应用练习
1、 若角α满足0sin cos ,02sin <-<ααα，则α在第 象限。

2、 已知α、(
,)2
π
βπ∈
且sin 510
αβ=
=-
，则αβ+= 3、
tan20tan40tan40+=
4、
sin 7cos15sin8cos7sin15sin8+=-
5、 tan θ和tan(
)4
π
θ-是方程20x px q ++=的两解，则,p q 的关系是
6、 若方程2
12cos sin 0x x a --+=有实数解，则a 的取值范围是
7、 090α<<
，若1
1)sin αα
+-=
，求α的值。

已知3cos()45πα+=，322ππα≤<，求cos(2)4
π
α+的值。

应用练习答案
1．二； 2．
74π； 3
4
．2 5．1q p -=；6.
9
[2,]8- 7
．由题意，得11sin α+=
⇒1
1sin α+=
4sin cos cos 2sin22sin(30)sin2sin(30)αααααααα⇒=⇒=+⇒=+
090α<< ∴230αα=+ 或230180αα++= ∴ 30α= 或50α=
（或11
1sin sin αα+=⇒=
2cos(6060)12sin cos cos(60)cos(60)sin αααααα
-+⇒=⇒=--
sin2cos(60)sin(30)ααα⇒=-=+ ，余同上）
8．
322π
πα≤<
，∴37444πππα≤+<，又3
cos()045πα+=>
∴37(
,)424πππα+∈∴4
s i n ()45
πα+=- ∴2
37cos(2)212525π
α⎛⎫
+=⨯-=- ⎪⎝⎭
24
sin(2)2sin()cos()2
4
4
25
π
π
π
ααα+
=+
+
=-
cos(2)cos 2cos 2cos sin 2sin 4242424πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦50=-
课时2 三角形中的三角函数
目标：掌握有关三角形中的三角函数问题的解法
重点：三角形中的边角关系的应用
难点：图形条件的发掘及有关公式的应用 一、知识梳理
1、 有关三角形的平几知识，如三角形的内角和、大（小）边对大（小）角、两边之和（差）大（小）
于第三边等；
2、 正弦定理、余弦定理、面积公式 二、基础题组
1、 A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，且A<B<C(2
C π
≠
),则 ( )
(A) sinA<sinC (B)cotA<cotC (C) tanA<tanC (D) cosA<cosC
2、 若2cos sin sin B A C =，则ABC ∆的形状是 ( ) (A) 等腰直角三角形 (B)直角三角形 (C)等腰三角形 (D)等边三角形
3、 α、β是一个钝角三角形的两个锐角，则下列四个不等式中不正确的是 ( )
(A) tan tan 1αβ∙< (B)sin sin αβ+< (C) cos cos 1αβ+> (D)
1tan()tan 22
αβαβ++< 4、 一直角三角形的三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为
5、 ABC ∆中，tanB=1，tanC=2，b=100，则a=
6、 ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2B b
C a c
=-+
(2)、若b =4a c +=，求ABC S ∆。

三、典型例题
例1．圆内接四边形ABCD 的边长为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD 的面积。

D
例2．已知锐角三角形ABC 中，3sin()5A B +=
，1sin()5
A B -= (1) 求证tan 2tan A B =
(2) 设AB=3，求AB 边上的高
例3．某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风的中心位于城市O （如图）的东偏南θ
（arccos
10
θ=）方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向东北方向移动，台风侵袭范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风侵袭？
北
东
P
备用题：在ABC ∆中，已知，cos B =，AC 边上中线sin A 的值。

四、小结
本课时复习了三角形中的三角函数问题，解决这类问题，常需将三角公式、正弦定理、余弦定理、面积公式及有关三角形的平面几何知识加以运用，另外，注意转化与化归思想、方程思想及目标意识。

五、应用练习
1、 在ABC ∆中，C=2B ，
sin 3sin B
B
等于 ( ) (A) c a (B) a c (C) b a (D) a b
2、 ABC ∆中，22tan tan a A b B
=，则ABC ∆为 ( )
(A) 直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰或直角三角形 3、 在ABC ∆中，tan
sin 2
A B
C +=，给出下列的判断
①tan cot 1A B =，②0sin sin A B <+≤，③2
2
sin cos 1A B +=， ④2
2
2
cos cos sin A B C +=
其中正确的是
(A) ①③ (B) ②④ (C) ①④ (D) ②③
4、 ABC ∆中A=
3π
，BC=3，则ABC ∆的周长是 ( )
(A))33B π++ (B) )36B π
++
(C) 6sin()33B π++ (D) 6sin()36
B π
++
5、 在ABC ∆中，,,a b c 分别角A ，B ，C 的对边，设2a c b +=，3
A C π
-=，求sinB 的值。

6、 ABC ∆中，已知tan B =1
cos 3
C =，AC =ABC ∆的面积。

7、 如图，平面上有四点A 、B 、Q 、P ，其中A 、B 为定点，AB =
，P 、Q 为动点，满足
1AP PQ QB ===，ABP ∆与PQB ∆的面积分别为m,n
1) 设30A ∠=
，求Q ∠； P Q 2) 求2
2m n +的最大值。

A B
课时2 三角形中的三角函数答案
一、基础题组
1．A ； 2．C ； 3．D ； 4
． 5
． 6．1)
cos cos sin cos 2cos 2sin sin B b B B
C a c C A C =-⇒=-++ 2sin cos cos sin sin cos A B B C B C ⇒--=
2sin cos sin()sin A B B C A ⇒-=+=，1
cos 1202B B ⇒=-
⇒=
2）ac ac c a B ac c a b b -=-+=-+=⇒=16)(cos 2132222
4
3
3sin 213=
=
⇒=⇒∆B ac S ac ABC 二、典型例题
例1．选题目的：训练学生运用转化与化归思想、方程思想，解决与几何有关的问题的能力。

解：连接AC ，
则在ABC ∆中，2
2
2
2cos AC AB BC AB BC B =+-∙∙ 436226cos B =+-⨯⨯⨯4024cos B =- 在ADC ∆中，2
2
2
2cos AC AD DC AD DC D =+-∙∙
1616244cos D =+-⨯⨯⨯3232cos D =- ∴ 4024cos 3232cos 3232cos B D B -=-=+
∴ 1cos 7B =
, B )0(π，∈ ∴
sin 7B =
∴387
3
4446221=⨯⨯+⨯⨯=
+=∆∆）（四边形ADC ABC ABCD S S S
D
C
例2．选题目的：训练学生运用基本公式进行变换同时充分运用几何关系求解问题的能力。

解及证：(1). 33
sin()sin cos cos sin 5
51
1sin()sin cos cos sin 5
5
A B A B A B A B A B A B +=
+=-=-=⎫⎧⇒⎬⎨⎭⎩
2sin cos 51
cos sin 5
tan 2tan 2tan tan A B A B A A B B ==⎧⇒⇒=⇒=⎨⎩ (2). 3sin()5
A B +=及3
tan()2
4
A B A B ππ<+<⇒+=-
t a n t a n
31t a n t a n 4t a n 2t a n
2tan 2tan 2A B A B A B A B +=-
-=⎫+⇒=+=
⎬⎭
t a n t a 3
CD CD AB AD DB A B AB =+=
+=⎫⎪
⎬⎪⎭
又
2CD ⇒=+例3．选题目的：训练学生解决实际问题的能力以及处理运动变化问题的方法。

北
东 解：设在时刻()t h 台风中心为Q ，此时台风侵袭的圆形区域半径为(1060)t +km ，若在此时刻城市O 受到台风侵袭，则1060OQ t ≤+，
由余弦定理知，2222cos OQ PQ PO PQ PO OPQ =+-∙∙∠ 由于300,20PO PQ t ==，
cos cos(45)OPQ θ∠=- cos cos45sin sin45θθ=+
4101025
=
⨯+= 故2
2
2
2224
(20)3002203002096003005
OQ t t t t =+-⨯⨯⨯
=-+ 因此2222
209600300(1060)t t t -+≤+，即2
362280t t -+≤
∴ 1224t ≤≤，即12小时后该城市开始受到台风的侵袭。

备选题：训练学生运用解三角形知识解决平面几何问题的能力。

解：设E 为BC 中点，连接DE ，则DE//AB ，且12DE AB =
=，设BE x = 在
BDE ∆中，2222cos BD BE ED BE ED BED =+-∙∙∠
即2
8523x x =+
+，1x =或73x =-（舍）
∴ 2BC =，从而22228
2cos 3
AC AB BC AB BC B =+-∙∙=
即3AC =
sin 6B =∴
2sin A =
sin 14A =三、应用练习
1．D ； 2．D ； 3．B ； 4．D ；
5．3
2sin sin 2sin 2,3232A C A C B
a c
b A C B B B A C ππππ-=+=-⎫⎪
+=⇒+=⎪
⎪⎬⎪
⎧⎪⇒=-=-⎨⎪⎩⎭
2sin sin 2sin 3232B B B ππ⎛⎫⎛⎫⇒-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11o s s i n c o s s i n 2
s i n 222222B B B B
B ⇒
+-=
c o s 4s i n c o s 2
2
2B B B ⇒
=
s i n c o s 2424
B B
⇒=⇒=
sin 2sin
cos 228
B B B ⇒==
6
．1tan 60,cos sin 33
B B
C C ===
⇒=
1
sin sin(180)sin(120)sin 2
A B C C C C =--=-=
+
1132=
+=
64sin sin BC AC BC A B =⇒==+
26383
2
2)64(6321sin 21+=⨯+⨯⨯=∙∙=
⇒∆C BC AC S ABC
7．(1).在PAB ∆
中，2134PB A A =+-=- 在PQB ∆中，2112cos 22cos PB Q Q =+-=- ∴
422cos A Q -=-
∴c o s c o s 1
Q A =
- 当30A =
时，1
cos 602
Q Q =
⇒=
(2).cos 11cos 10cos 11cos 1Q A A A Q ⎧=-⎪
-<<⇒<<⎨⎪-<<⎩
22
2211111sin 22m n A Q ⎛⎫⎛⎫
+=⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22223131
sin sin sin (1cos )4444
A Q A Q =
+=+-
)
22131
sin 1444
A A =+-
-
233cos 24
A A =-
+
2
37
cos 268
A ⎛=--+ ⎝⎭
∴
cos (0,1)A =
时，()22max 78m n +=
课时3三角函数的图象和性质
教学目标：1.掌握基本三角函数的图象与性质
2.掌握sin()y A x ωϕ=+的图象的五点法作图及其与函数sin y x =图象的关系 重 点：sin()y A x ωϕ=+的图象与性质 难 点：数形结合及转化与化归思想的应用 一、知识梳理
1、sin y x =、
cos y x =和tan y x =的图象与性质
2、五点法作sin()y A x ωϕ=+的图象及其与sin y x =图象间的关系
3、有关函数图象的对称性研究 二、基础题组
x x y cos 1-=、 的部分图象是( )
(A) (B) (C) )3
2sin(2π
+
-=x y 、的递减区间是 )(3x f y =、的周期是2π，其图象的一部分如图：
则()y f x =的解析式是( ) (A) 3sin(1)y x =+ (B) 3sin(1)y x =-+(C) 3sin(1)y x =- (D) 3sin(1)y x =--
4、 奇函数()f x 在区间[]1,0-上为减函数，又A 、B 为锐角三角形的两个内角，则下列一定成立的是 (A) (cos )(cos )f A f B > (B) (sin )(sin )f A f B > (C) (sin )(cos )f A f B > (D) (sin )(cos )f A f B <
5、 要得到sin 2x y =的图象，则需将函数sin()23
x y π
=-的图象，按向量a = 平移得到。

6、
66
sin cos y x x =+的最小正周期是 ，其图象的对称轴是 ，对称中心是 。

三、典型例题
例1．求函数44sin cos cos y x x x x =+-的最小正周期和最小值，并写出该函数在[]0,π上的单调递增区间。

例2．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（0,0,A ωϕπ>><）的图象的一个最高点D 的坐标（2，由最高点D 运动到相邻的最低点F 时，曲线与X 轴相交于点E （6，0） (1) 求A 、ω、ϕ的值；
(2) 求函数()y g x =使其图象与()y f x =的图象关于直线8x =对称。

例3．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0,0ωϕπ><<）是R 上的偶函数。

其图象关于点M （
3,04
π
）对称，且在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是单调函数，求ω、ϕ的值。

备用题： 5,123x ππ⎡⎤
∈-
-⎢⎥⎣⎦
，求2tan()tan()cos()366y x x x πππ=+-+++的最大值。

四、小结
借助三角函数图象研究三角函数性质是数形结合的重要体现，同时，有些问题与化简结合在一起，又体现了转化与化归思想，熟练运用基本三角函数和sin()y A x ωϕ=+的图象和性质及有关三角变换是解题的关键。

五、应用练习
1、设R ω+
∈，如果函数()2sin f x x ω=在[,34
ππ
-
]上递增，则ω的范围是 。

2、函数2sin (sin cos )y x x x =∙+的单调区间为
3、函数sin()y A x ωϕ=+（0,0A ω>>）在同一个周期内，12
x π
=时，max y =2；712
x π
=
时，min 2y =-，则函数解析式为
=y 。

4cos 1x x a +=+在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两解，则a 的取值范围是 。

5、给出下列命题：①存在实数α，使sin cos 1αα=成立；②存在实数α，使3
sin cos 2
αα+=成立；③函数5sin(
2)2y x π=-为偶函数；④直线8
x π
=是函数5sin(2)4y x π=+的对称轴；⑤α、β为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>。

其中正确命题的序号是 。

6、设函数sin(2)y x ϕ=+（0πϕ-<<）的图象的一条对称轴是8
x π
=。

(1)求ϕ；
(2)求()y f x =的单调增区间； (3)画出()y f x =在[]0,π上的图象。

7、已知函数()2cos()f x x ωϕ=+是奇函数且在0,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
上递增，求ω和ϕ的值
8、函数()f x =
(1)写出()f x 的定义域，并判断()f x 的奇偶性；
(2) ()f x 是否为周期函数？如果是，写出()f x 的最小正周期； (3)写出()f x 的单调区间。

课时3 三角函数的图象和性质答案
一、基础题组
1、D
2、Z k k k ∈+
-
],125,12[πππ
π 3、B 4、D 5、a =（－)0,3
2π
6、y=Z k ）k ，（Z k k x T x ∈+∈=
=+,8
485;,4;2,4cos 8385π
πππ对称中心对称轴 1二、典型例题：
例、选题目的：利用基本三角变换转化为标准型研究有关性质
()442sin cos x x x +-解：
2cos 2sin 26,22
6
2
6
3
x x
x x x πππ
π
π
π
π
ππππ-⎛
⎫- ⎪⎝
⎭∴≤-
≤+
∈≤≤+
∈min =2
T= y =-2
令2k -
2k ,k Z ，则k -
k ,k Z
[]536ππππ⎡⎤⎡⎤
∴⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
在0,上的递增区间是0，和， 。

例2、选题目的：利用数形结合思想求出有关参量和复习有关图象间对称问题的解法
)(
∴解： 1 最高点D
(
))()()()00624
42sin 8828
2
4
84
,8,T
x f x P x y y g x x Q x y πππωϕωπ
π
π
ϕωπ
π
ωϕ=-=⎛⎫
⇒=⇒=+ ⎪
⎝⎭⨯+=
⇒=
∴=
=
== 由题意知， T=16, T=
A= ，
2设为图象上任一点，它关于对称点为
()00
01682
y y x x x x ⎧=⎧⎪
⇒+⎨⎨=-=⎩⎪⎩0
y=y 代入y=f x
的解析式中，(
)16848
4x x πππ
π⎡⎤⎛⎫-+=-+ ⎪
⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 得 例3、选题目的：利用函数性质及图象自对称的条件解题
2
00cos 0cos sin 2)sin()sin()
()()(π
ϕπϕϕϕωϕωϕω=⇒⎭⎬⎫<<=⇒=⇒+=+-⇒=-⇒x x x x f x f R x f 上的偶函数是解：
N
k k N k k x x x x f x f M x f x
x x f ∈+=⇒∈+=⇒>=⇒=⇒--=+⇒--=+⇒=+
=⇒,324,2430,043cos 0cos 43cos )]
43(cos[)]43(cos[)4
3()43(043)(cos )2
sin()(ωππωπωωπϕωππ
ωπωπ
ππϕπ
ω又）对称，（
的图象关于点2
3
2
2
2
]2,0[cos )(==∴≤⇒≥⇒=ωωωπ
ωππϕ或上单调且只能递减在又x x f
备选题：利用三角变换及三角函数性质解决最值问题 解：)6
cos()32cot()32tan(πππ+++++
=x x x y )6
c o s ()
3
2s i n ()32c o s (1
π
π
π+
+++=
x x x
)6c o s ()3
42s i n (2
π
π+
++=
x x
max 542,,,12332364625cos ,46123sin 33y πππππππππππππ
⎡⎤
⎡⎤⎡⎤∈-⇒∈∈-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎡⎤
⇒- ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦ ⎪⎝⎭⇒=x -2x+,x+- 和x+在-上同时为增函数
2x+ x=-时，
、③④
5 );1,13[4);3
2sin(23;],87,83[2;2301-+=∈++≤
<、、、、三、应用练习
π
ππππωx y Z k k k
;
204
20)4,0()(sin 2)(,,122;
024
20)4,0()(sin 2)(,,21),2
cos(2)(,2
0cos 0cos cos )cos(2)cos(2)()()(7)3,2
243222),432sin()24
30,4
,2
8
21600≤<⇒≥>⇒=∈-=<≤-⇒≥-<⇒-=∈=∈+
+=⇒∈+=⇒=⇒=⇒+-=+-⇒-=-⇒∈+≤-≤--=-
=⇒<<-∈+
=⇒∈+
=+⨯
ωπ
ωπωπωωπ
ωπωπωπ
πωπ
πϕϕϕωϕωϕωπππππππ
ϕϕππ
πϕπ
πϕπ
且上递增在则是奇数时，令当且上递增在则是偶数时，令当是奇函数、略
令又）、x f x x f Z n n k k x f x x f Z n n k k Z
k k x x f Z
k k x x x x f x f x f Z k k x k x y Z k k Z k k
())22
sin cos cos 0|,2x
x
x x x k k Z π
π
ϕπωϕπωππ∴∈≤∈≤⎧⎫
≠⇒≠+∈⎨⎬
⎩⎭
=2n +
,n Z,-2<0; 或=2n -
,n Z,0< 2.
8、f x =
1定义域
∴定义域关于原点对称 ()()()=-⇒ f -x f x f x 是奇函数
)()tan ,2,2,tan ,cos 022tan ,cos 03tan ,2,2,22x x k k k Z x x x x x x k k k Z
ππππππππ⎧⎛
⎫∈-+∈ ⎪⎪⎧⎪⎝⎭
==⎨⎨
-⎛⎫⎩⎪-∈++∈ ⎪⎪⎝⎭⎩>2f x <
Z k k k Z k k k x f T ∈+
+
∈+
-=,2
32,2
2,2
2,2
2)(32）递减区间为（）的递增区间为（）仍由图象得，，
作出图象知，π
ππ
ππ
ππ
ππ
课时1平面向量
教学目标：掌握平面向量的概念、运算法则及其应用 重点：平面向量的运算法则及其应用 难点：有向线段形式的向量的运算 一、知识梳理
1、向量的概念及表示
2、向量运算的法则、几何表示及坐标表示
3、向量平行、垂直的充要条件
4、定比分点及平移 二、基础题组
1、已知向量(1,2)a = ，(,1)b x =
，若)22//()2(-+，则x =
2、a 、b 为两非零向量，则命题①22a b = ，②2
a b b ∙= ，③a b = 且b a //，可以作为a b = 的必要
不充分条件是
3、已知12e = ，23e = ，1e 、2e 的夹角为60
，若实数t 使12te e + 与12e te + 垂直，则t =
4、函数sin 2y x =的图象按向量a 平移后，所得函数是cos21y x =+，则a
=
5、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足()AB AC
OP OA AB AC
λ=++
，
[)0,λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的 心
6、____),(,,=++=∆m OC OB OA m OH ABC H O 则的外心和垂心分别是 三、典型例题
例1．设两个向量1e 、2e 满足12e = ，21e = ，1e 、2e 的夹角为60
，若向量1227te e + 与向量12
e te + 的夹角为钝角，求t 的取值范围。

例2． 如图在Rt ABC ∆中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以A 为中点。

问：PQ 与BC
的夹角θ取
何值时，PQ CQ ∙
的值最大？并求这个最大值。

例3．已知向量a 、b 、c 、d 及实数x 、y 满足1a b == ，2
(3)c a x b =+- ，d y a x b =-∙+∙ ，
若a b ⊥ ，c d ⊥ 且c ≤
(1) 求y 关于x 的函数关系式()y f x =及其定义域；
(2) 若(x ∈时，不等式()16f x mx ≥+恒成立，求实数m 的取值范围。

备选题：已知ABC ∆中，AB=3，BC=7，AC=5，O 为ABC ∆的外心，用向量AB 、AC
为一组，基底表示向量AO。

四、小结
向量的两种形式的运算及几何表示是向量的特色，体现了向量的数形二重性，因此解决向量问题的方法，大多要注意数形结合。

向量的坐标形式的运算的处理相对容易，以有向线段形式出现的向量的运算，要充分注意平面几何知识的运用。

五、应用练习
1、设P 是ABC ∆所在平面上的一点，13
AP AB t AC =+
，()t R ∈使P 落在ABC ∆内部的t 的取值范
围是
2、点O 是ABC ∆所在内一点，满足OA OB OB OC OC OA ∙=∙=∙
，则点O 是ABC ∆的 心
3、在ABC ∆中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC ∙+
的最小值是
4、已知e 为单位向量，11)a = ，且a 与e 的夹角为4
π
，则e =
5、非零向量OA a = ，OB b = ，若点B 关于OA 的对称点为1B ，则1OB =
（用a 、b 表示）
6、已知a 、b 、c
是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =
(1)若c =
⊥，求c 的坐标；
(2)若b = ，且2a b + 与2a b - 垂直，求a 、b 的夹角θ。

7、四边形ABCD 中，,,,AB a BC b CD c DA d ==== ，a b b c c d d a ∙=∙=∙=∙
，
判断四边形ABCD 的形状。

8、G 是ABC ∆的重心，过G 任坐一直线交ABC ∆的边AB ，AC 与M 、N ，设A M xA B = ，AN yAC
=
（0xy ≠）
(1)求证
11
3x y
+= (2)求ABC AMN S S ∆∆:的最大值和最小值。

课时1 平面向量答案
一、基础题组 1、
21； 2、①、③； 3、6
13313±-； 4、)1,4(π-； 5、内心； 6、1 二、 典型例题
例一、选题目的：向量数量积运算及夹角公式、共线条件的应用
解：1
21
1221=⨯⨯=∙e e
2
14,0712********
1
7071527)72(2)()72(21210212122
2212
2
12121-=<=++++-
<<-<++=+⋅++=+∙+t t t e t e e e t e t e e e t t t t e t e e t e t e t e e e t 得反向共线时，与，即的夹角为与
又当12t ⎛⎛⎫∴⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的取值范围是：
[]
()()
()
2
01PQ BC BP CQ BA AP CA AQ
BA CA AP CA BA AQ AP AQ
AP CA BA a θθπ∈∙=+∙+∙+∙+∙+∙--
例2、选题目的：向量加减运算，数量积运算及几何图形的运用
解： 设与的夹角为，， = =0+ =2
2
2
21
2cos 2
cos PQ BC a a a a a θθ∙-∙∙∙--
2 = =a
C P
B A
Q
cos 10PQ BC BP CQ θθ∴==∙
当，即亦即与的夹角为0时，取最大值0本题也可建立平面直角坐标系，运用向量的坐标运算求解
例3、选题目的：利用向量作载体，复习函数、不等式等有关知识 解：[[
1,0===∙∴⊥又
2
2
)3()3(2x x -+∙-+=∙=
10624+-=x x
()()
()()(
)22
22
22
33610100
3333033,c x x c d c d c d a x b ya xb a x x a b x x b
x y x x x x x ≤∴-+≤≤≤⊥∴∙=⎡⎤∙=+-∙-+⎣⎦+++∙+--=∴=-⎡=-∈⎣
43 x 解得 又 而 =-y =-y+x 故y=f x 2)当1∧x ()(
)(()()()()()()()2222121212
22212
221216
16316
1,2,16161616f x mx m x x
x x
g x g x x x x x x x x x x x x x x ≥-⇔+≤+≤+
∈-=+
---+-+
⎛⎫
-+- ⎪
⎝⎭∴ 121211111恒成立恒成立 考查g x 在上的增减性 任取x ,x 且x x ， x =x x =x x 112∧∧x ∧x ∧22212
16
0,4,
4x x x x -+11x x ∧∧∨
CD
BD D O AO y x BAC BAC AC AB BC AC AB BAC m x g x x g x g x g x g 、点，连结于交圆延长设识的综合应用备选题：向量与平几知的取值范围是时内递增在内递减；同理可得，在+=-
=-⨯⨯=∠=⋅∴=∠-=⨯⨯-+=⋅-+=∠-∞==∴∴<-∴2
15
)21(53cos 120,2
1
5327532cos ]
9,(,12)(2)6,2()()21()(0
)()(0
222222min 21
cos AB
AC BAD CAD AD AD ⊥⊥∠==∠==
则AB BD,AC CD.
)
1(2
9
21592
159cos 33
7,2
=-⇒-
=∠⨯⨯∙+=∙y x y
x BAD y x AC
()()()152525222
111311132,915915
x y x y AO AB AC
-
+===∴=+
同理可得由1得
C
D
（本题也可用建立平面直角坐标系的方法求解，或过O 作OE//AC 交AB 于E ，在AEO ∆中运用正弦定理求解）
三、应用练习 b -⋅--2)(2523,21()21,23(423232,0(1
、或、；、、垂心；、 )
2(02)1(2052),(1622=-∴⊥=+∴==y x a c y x y x c ）设、
()()22
1244
x x y y ==-⎧⎧⎨⎨
==-⎩⎩由解得或 ()()
)()()()()
2,42,422220
c c a b a b a b a b ∴==--+⊥-∴+∙-=
或 225232025320452a ab b ab ab ∴+-=∴⨯+-⨯==- 5cos 1ab a b θθπ-
∴===-∴= ()
2222
70a b c d a b c d a b c d +++=+=-++=+ 、得平方得
22222222,,b c d a a c b d a c b d
+=+∴==∴== 同理
是矩形
四边形又为平行四边形四边形ABCD a b b a c b b a c a ABCD ∴⊥=∙∴∙-=∙∴∙=∙-=∴∴,0
1
3,131)1()2)1(31
10,31313131//,3
1
313
1
3218-=
-==+∴≠=+∴=--∴+-=+-=-=+==
x x
y x y y
x xy xy y x y x x
y x AC
AB x AM AG MG D BC AG 得由，不平行与且）（（则于并延长交）连、
01
1120131x x x
y x ≤⎧⎪
≤≤⎨=≤⎪-⎩由得∧∧ 13sin 21sin 21
2-==∠⋅⋅∠⋅⋅=∆∆x x XY BAC AC AB MAN
AN AM S S ABC
AMN
2
2111313924
x x x =⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭ = 2
111311120224x x x ⎛⎫≤≤⇒≤≤⇒≤-≤
⎪⎝⎭ 2
12149=⇒≤≤⇒∆∆x S S ABC AMN 时， 2
1
1;94)(
max
min ===∆∆∆∆）时（ABC AMN ABC AMN S S x S S
A N
M G B D C
课时
2平面向量与三角、解几的综合
复习目标：掌握平面向量与三角函数、解析几何等内容的综合应用 重点：平面向量与三角函数、解析几何的综合
难点：平面向量及三角、解几有关公式、知识、方法的综合应用 一、知识梳理
1、平面向量坐标形式的运算法则
2、三角函数有关公式
3、解析几何的基本解题方法 二、基础题组
1、平面直角坐标系中，O 为原点，已知两点A(3,1)，B(-1，3)，若点C 满足OC OA OB αβ=+
，其中
,1R αβαβ∈+=且，则点C 的轨迹方程为 ( )
(A)
2
2
5+=（x-1）（y-2） (B) 32110x y +-= (C) 20x y -= (D) 250x y +-=
2、平面向量(,)a x y = 、22
(,)b x y = ，(1,1)c = ，(2,2)d = ，若1a c b d ∙=∙= ，这样的向量a 有
( )
(A)1个 (B)2个 (C)多于2个 (D) 不存在
3、下列条件中，不能确定三点A 、B 、P 共线的是 ( )
(A) 22sin 33cos 33MP MA MB =+ (B) 22sec 33tan 33MP MA MB =-
(C) 22csc 33cot 33MP MA MB =- (D) 22sin 33cos 57MP MA MB =+
4、已知a b c o ++= ，3a = ，5b = ，7c =
，则,a b 的夹角为
5、已知(2,0)OB = ，(2,2)OC = ，)CA αα=
，则OA 与OB 夹角范围是
7、 已知向量33(cos
,sin )22x x a = ，)2
sin ,2(cos x x b -=且(0,)2x π
∈， 若()2f x a b a b λ=∙-+ 的最小值是3
2
-，求λ的值。

三、典型例题
例1．设函数()f x a b =∙，其中(2cos ,1)a x =，(cos )b x x =()x R ∈
(1)若()1f x =,33x ππ⎡⎤
∈-⎢
⎥⎣
⎦，求x ； (2)若2sin 2y x =按向量(,)c m n = （2
m π
<）平移后得()y f x =的图象，求,m n 的值。

例2．设02
π
θ<<，(3cos ,2sin )a θθ= 与向量(1,0)b =
的夹角为α，求函数y αθ=-的最小值。

（陈
题新编）
例3．过抛物线24x y =的对称轴上任一点P （0，m ）（m>0）作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是
点P 关于原点的对称点，P 分AB
所成的比为λ。

求证：()QP QA QB λ⊥- 。

备选题：已知双曲线的焦点在x 轴上，1P 、2P 分别在它的两条渐近线上，P 在双曲线上且1220PP PP +=
，
4272
1=∆P PP S ，12
458
OP OP ∙=- ，求双曲线方程。

（陈题新编）
四、小结
平面向量与三角函数、解析几何的综合，常与向量的坐标形式、数量积、夹角、模等有关，运用向量知识转化为通常的数学问题后，三角变换及解析几何知识的应用就成为解题关键。

五、应用练习
1、已知平面上直线l 的方向向量与43
(,)55
e =- ，点O （0，0）和A （1，-2）在l 上的射影分别上1O 和
1A ，则11O A e λ=
，其中λ= ( )
(A)
115 (B) 11
5
- (C)2 (D) 2- 2、在直角坐标平面上，向量(1,3)OA = ，(3,1)OB =-
在直线l 上的射影长相等，则直线l 的斜率为
3、设(1cos ,sin )a αα=+ ，(1cos ,sin )b ββ=- ，(1,0)c =
，(0,)απ∈，(,2)βππ∈，a 与c 的夹角为1θ，b 与c 的夹角为2θ，且126πθθ-=，求sin
4αβ
-
4、已知向量,cos )a x x ωω= ，(cos ,cos )b x x ωω= ，0,()f x a b ω>=∙
，()f x 的最小正周
期为π。

（1）求ω； （2）当03
x π
<≤
时，求()f x 的值域
5、已知(1,cos )OP x = ，(cos ,1)OQ x = ，,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，OP
与OQ 的夹角为θ
(1)求cos θ关于x 的函数()f x ； (2)求θ的最值。

6、已知向量(1,1)m = ，向量n 与m 的夹角为34
π
，且1m n ∙=-
(1)求向量n
(2)若向量n 与(1,0)q = 的夹角为2
π，向量2(cos ,2cos )2c p a = ，其中A 、C 为ABC ∆的内角，且
A 、
B 、
C 成等差数列，求：n p +
的取值范围。

7、给定抛物线C ：2
4y x =，F 是C 的焦点，过F 的直线l 交C 与A 、B 两点，
(1)设l 的斜率为1，求OA 与OB
夹角的大小；
(2)设FB AF λ=
，[]4,9λ∈，求l 在y 轴截距的取值范围。

课时2 平面向量与三角、解几的综合答案
一、基础题组
1．D ； 2．B ； 3．D ； 4．
3π； 5．5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
；
6．解：3131
cos cos sin sin cos22222
a b x x x x x ∙=-=
2|cos |a b x +===
[0]2
x π
∈ ， ∴cos x ≥0，因此2cos a b x += ∴f (x )＝a b ∙ －2λa b +
即2221)(cos 2)(λλ---=x x f
]2
0[π
，∈x ∴0≤cos x ≤1
①若λ＜0，则当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾； ②若0≤λ≤1，则当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值221λ--， 由已知得23212-
=--λ，解得：2
1=λ ③若λ＞1，则当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值λ41-， 由已知得2341-=-λ，解得：8
5
=λ，这与1>λ相矛盾． 综上所述，2
1
=
λ为所求． 二、典型例题
例1．选题目的：利用向量作载体，研究三角公式及图象变换
解：
1).2()2cos cos21f x x x x x ==++ 2sin 216x π⎛⎫=+
+ ⎪⎝
⎭
令2sin 2116x π⎛⎫
+
+=- ⎪⎝
⎭
sin 26x π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭ 5,,2,,23362663x x x πππππππ⎡⎤
⎡⎤∈-+∈-∴+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦∴ 4x π=-
2).函数2sin2y x =按向量(,)c m n =
平移后得到函数[]2sin 2()y x m n =-+的图象
由1)得()2sin 2()112f x x π⎡⎤
=+
+⎢⎥⎣
⎦
，2
m π<∴ ,1
12
m n π=-=
例2．选题目的：以向量作载体，研究角的最值求法。

解：cos a b a b α∙==∙ []0,0,,0,22ππθαπα⎛⎫
<<∈∴∈ ⎪⎝⎭
∴sin α==
，∴2
tan tan 3
αθ=
，（此式可直接由三角函数定义得到）
∴21tan tan tan 13tan tan()231tan tan 1tan 2tan 3tan y θαθαθαθθθ
θ
--=-=
==-+++
≥=，当且仅当32tan tan θθ=
，即tan θ==时取等号， 又,0,,,tan 222y x
πππαθαθ⎛⎫
∈∴-<-<= ⎪⎝⎭ 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上递增， ∴
min arctan y ⎛==- ⎝⎭
例3
y
解：设直线AB 的方程为：1122,(,),(,)y kx m A x y B x y =+ 由2
4y kx m x y
=+⎧⎨
=⎩得：2
12440,4x kx m x x m --=∴∙=- 由Ｐ分AB 所成的比为λ，得1212
0,1x x x x λλλ+=∴=-+
又Ｑ与Ｐ关于原点对称，∴
Ｑ（０，-m ），从而=QP （０，２m ）
11221212(,)(,)(,(1))QA QB x y m x y m x x y y m λλλλλ-=+-+=--+-
[]2211211222()2(1)2(1)44x x x x QP QA QB m y y m m m x x λλλ⎡⎤∙-=-+-=+∙++⎢⎥⎣⎦
0444)(244)
(22
2122121=+-+=++=x m
m x x m x m x x x x m ()QP QA QB λ∴⊥-
.
备选题：选题目的：与例３类似。

解：设1,0,
2XOP παα⎛⎫
∠=∈ ⎪⎝⎭
,
则1212127sin 22445cos 28OP OP OP OP αα⎧∙∙=⎪⎪⎨⎪∙∙=-⎪⎩
,得12tan 25α=-
22
2tan 12
,6tan 5tan 601tan 5αααα∴
=---=-
3tan 2α=或2
tan 3
α=-（舍）
∴ 渐近线方程是：x y 23
±=
∴ 不妨设P 1(x 1，23x 1),P 2 (x 2, —23
x 2), P(x 0, y 0)
则=∙2
1OP OP x 1x 2 —49x 1x 2= —∴,845
x 1x 2=29 设双曲线方程为122
22=-b
y a x （a>0,b>0）则a b a b 23,23==
∴双曲线方程为：19422
22=-a y a x
由,221=+PP 得
,0)2
3
,()23,(202020101=---+--y x x x y x x x ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
-=+=210210213
2x
x y x x x ，P 在双曲线上 94299898,198,19)21
(4)32(
22
122
2122
212221=∴=⨯===∴=-++∴b x x a a x x a x x a x x ∴所求双曲线为：.1942
2=-
y x
三. 应用练习
1.D ；
2.-2或
2
1; 3．
2
2)2cos ,2(sin
2
sin
22)2sin ,2(cos 2cos 221π
βθββ
β
α
θααα-
=∴==
∴=
又1
sin
,21-
=--
=-∴
=
-β
απ
β
απ
θθ
4.
1
)6
2sin(212cos 212sin 23cos cos sin 3)()12++
=++=
+=π
ωωωωωωx x x x x x f
1,22==∴
ωπω
π
2)]2
3,1[)(,656
26
,3
0,1)6
2sin()(∈≤
+
<∴
≤
<++=x f x x x f ππ
π
π
θπ
5. 1) ]4,4[,cos 1cos 2cos 2
π
πθ-∈+=
x x
x 2)令,cos t x =则)(12)(],1,22[
2t g t t x f t =+=∈ t t
t g +=
12)( 在]1,2
2
[
上递增,,1)1()(max ==∴g t g ,1cos 3
22,322)22(
)(min ≤≤∴==θg t g 又],0[πθ∈ 故当4π
±
=x 时,3
2
2arccos
max =θ；当0=x 时,0min =θ. 6.1)设),,(y x n =由,1-=⋅n m 有1=+y x ①
与的夹角为
43π,
有4
3cos π=⋅
1,122=+∴=y x ②
由①②得⎩⎨⎧=-=01y x 或⎩
⎨⎧-==10
y x
)0,1(-=∴或)1,0(-=
2)由与垂直知)1,0(-=
由A, B, C 成等差数列,得2B=A+C,∴B=
3π,A+C=3
2π,320π
<<A
)cos ,(cos )12
cos 2,(cos 2
C A C
A =-=+
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31 ).25,22[)45,21[2
1)32cos(135323320)3
2cos(211)]234cos(2[cos 2112
2cos 122cos 1cos cos 22+⇒∈+⇒<+≤-⇒<+<⇒<<++=-++=+++=+=+A A A A A A C A C A πππππππ
7.1) 由抛物线焦点为F(1,0),直线l 的斜率为1,得1:-=x y l
设),(),,(2211y x B y x A ,由,412⎩⎨⎧=-=x
y x y 得0162=+-x x
4141
3,cos 4116)(4[3
1)(2,1,62121212
2222121212121212121-==〉〈∴=+++=+⋅+=-=++-=+=⋅==+x x x x x x y x y x x x x x y y x x OB OA x x x x
2) 设⎩⎨⎧-=-=-⇒=-=1212)1(1),1(:y y x x FA FB x k y l λλλ 由,42⎩⎨⎧=-=x
y k kx y 得0442=--k y ky k
y y 421=+∴② 421-=⋅y y ③ 由①②,得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=-=k y k y )1(4)1(421λλλ 代入③,得214)1(422-+=-=λλλλk 当]9,4[∈λ时,可证λλ1
+是增函数,因此
2
14-+λλ是减函数
]3
4,43[]43,34[],916,169[2⋃--∈-∴∈∴k k 即l 在y 轴上的截距的范围是].3
4,43[]43,34[⋃--
①。